同济大学第二版概率论课后习题答案11309.pdf

《同济大学第二版概率论课后习题答案11309.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学第二版概率论课后习题答案11309.pdf（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-习题一解答 1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同；记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 一分钟内 呼叫次数不超过次；从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间。解 ，记为一分钟内接到的呼叫次数，则 ，记为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 ，2.袋中有 个球，分别编有号码 至，从中任取 球，设 取得球的号码是偶数，取得球的号码是奇数，取得球的号码小 于，问下列运算表示什么事件：；解 是必然事件；是不可能事件；取得球的号码是，；取得球的号码是，；取得球的号码为奇数，且不小于 取得球的号码 为，；取得球的号

2、码是不小于的偶数取得球的号码为，；取得球的号码是不小于的偶数取得球的号码为，3.在区间 上任取一数，记 ，求下列事件的表达式：；解 或 因为，所以；或 或 或 4.用事件的运算关系式 表示下列事件：出现，都不出现（记为）；都出现，不出现（记为）；所有三个事件都出现（记为）；三个事件中至少有一个出现（记为）；三个事件都不出现（记为）；不多于一个事件出现（记为）；不多于两个事件出现（记为）；三个事件中至少有两个出现（记为）。；解 ；5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一 件，设表示事件“第 次抽到废品”，试用表示下列事件：第一次、第二次中至少有一次抽到废品；只有第一次抽到废品

3、；三次都抽到废品；至少有一次抽到合格品；只有两次抽到废品。解 ；6.接连进行三次射击，设 第 次射击命中，三 次射击恰好命中二次，三次射击至少命中二次；试用表示和。解 习题二解答 1从一批由 件正品、件次品组成的产品中任取 件产品，求其中恰有件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数 ，记求概率的事件为，则有利于的样本点数 于是 2一口袋中有 个红球及 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 第一次、第二次都取到红球的概率；第一次取到红球，第二次取到白球的概率；二次取得的球为红、白各一的概率；第二次取到红球的概

4、率。解 本题是有放回抽取模式，样本点总数记题求概率的事件分别为 有利于的样本点数，故 有利于的样本点数 ，故 有利于的样本点数 ，故 有利于的样本点数 ，故 3一个口袋中装有 只球，分别编上号码 至，随机地从这个口 袋中取只球，试求：最小号码是 的概率；最大号码是 的概 率。解 本题是无放回模式，样本点总数 最小号码为，只能从编号为，这四个球中取 只，且有一次抽到，因而有利样本点数为 ，所求概率为 最大号码为，只能从，号球中取，且有一次取到，于 是有利样本点数为，所求概率为 4一个盒子中装有 只晶体管，其中有 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取次，每次取只，试求下列事件的概率：只都合格；只

5、合格，只不合格；至少有只合格。解 分别记题、涉及的事件为，则 -注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知 5掷两颗骰子，求下列事件的概率：点数之和为；点数之和不超过；点数之和为偶数。解 分别记题、的事件为样本点总数含样本点 解 样本点总数为 ；因，且与互斥，因而 含样本点 含 样 本 一共个样本点。8设一质点一定落在 平面内由 轴、轴及直线 所围成 的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直 线 的左边的概率。点 解 记求概率的事件为，则 为图中阴影部分，而，6把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记

6、求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以 7总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：事件：“其中恰有一位精通英语”；事件：“其中恰有二位精通英语”；事件：“其中有人精通英语”。最后由几何概型的概率计算公式可得 图 9（见前面问答题 ）10已知 ，求 ；解 ，；11设 是两个事件，已知 ，试求 及 解 注意到，因 而 于 是，；习题三解答 1已知随机事件 的概率 ，随机事件的概率，条件概率 ，试求及 解 2一批零件共 个，次品率为，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。解 3某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为 ，两

7、项投资都做的概率为 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记 基 金，股票，则 4给定 ，验证下面四个等式：，解 5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为，若坐火车，迟到的概率是，若坐船，迟到的概率是，若坐汽车，迟到的概率是，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 迟到，坐火车，坐船，坐汽车，乘飞机，则 ，且按题意 ，由全概率公式有：6已知甲袋中有 只红球，只白球；乙袋中有 只红球，只白球。求下列事件的概率：随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解记该球是红球，取自甲袋，取自

8、乙袋，已知，所以 -7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量 分别占全厂的，各车间产品的次品率分别为，求该厂产品的次品率。解 8发报台分别以概率，发出 和，由于通信受到干扰，当发出 时，分别以概率和收到 和，同样，当发出信号 时，分别以和的概率收到和。求收到信号的概率；当收到时，发出的概率。解 记 收到信号，发出信号 9设某工厂有 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分 别占总产量的，各个车间成品中次品的百分比分别为，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 生产的概率。解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件 次 品，因此 10设 与 独立，且 ，求下列事件

9、的概率：，解 11已知 独立，且 ，求 解 因，由独立性有 从而 导致 再由 ，有 所以。最后得到 12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为，求目标被命中的概率。解 记 命中目标，甲命中，乙命中，丙 命中，则 ，因而 13设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。解 记 通达，元件 通达，则 ，所以 图 14假设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一 周五个工作日里发生 次故障的概率。解 15灯泡耐用时间在 小时以

10、上的概率为，求三个灯泡在使用 小时以后最多只有一个坏了的概率。解 16设在三次独立试验中，事件 出现的概率相等，若已知 至少出现一次的概率等于，求事件在每次试验中出现的概率 ；解 20某宾馆大楼有 部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正 在运行的概率均为，求：在此时刻至少有台电梯在运行的概率；在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；在此时刻所有电梯都在运行的概率。解 记 在第 次试验中出现，解 依假设 所以，此即 17加工一零件共需经过 道工序，设第一、二、三道工序的次品率 分别为、假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的 次品率。习题四解答 解 注意到，加工零件为次品，当且仅当 道工序中至

11、少有一道出 现次品。记 第 道工序为次品，则次品率 1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。18三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为，求此密码被译出的概率。解 记 译出密码，第 人译出，则 19 将一枚均匀硬币连续独立抛掷 次，恰有次出现正面的概率 是多少？有次至次出现正面的概率是多少？（）；（）；（）；（）。解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 是否满 足下列二个条 件：其一条件为，其二条件为。-依据上面的说明可得（）中的数列为随机变量的分布律；（）中的 数列不是随机变量的分布律，因为 ；（）中的数列为 随机变量的分布律；（）中的数列不是随机

12、变量的分布律，这是因为 。2.试确定常数，使 成为某个随机变量 的分布律，并求：；。解 要使 成为某个随机变量的分布律，必须有 ，由此解得 ；（）（）。3.一口袋中有个球，在这个球上分别标有，这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字的分布律与分布函数。解 可能取的值为，且 ，即的分布律为 概率 的分布函数 4.一袋中有个乒乓球，编号分别为，从中随机地取 个，以表示取出的个球中最大号码，写出的分布律和分布函数。解 依题意可能取到的值为，事件表示随机取出的 个球的最大号码为，则另两个球的只能为号，号，即 ；事件表示随机取出的个球的最大号码为，；同 因此另外个

13、球可在、号球中任选，此时 理可得 。的分布律为 概率 的分布函数为 5.在相同条件下独立地进行次射击，每次射击时击中目标的概率为，求击中目标的次数的分布律。解 依题意服从参数的二项分布，因此，其分布律 ，具体计算后可得 概率 6.从一批含有件正品及件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出 直到取得正品为止所需次数 的分布律。（）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（）每次取出的产品都不放回这批产品中；（）每次取出一件产品后总是放回一件正品。解（）设事件 表示第 次抽到的产品为正品，依题意，而 相互独立，且 即服从参数 的几何

14、分布。（）由于每次取出的产品不再放回，因此，可能取到的值为，的分布律为 概率 （）可能取到的值为，所求的分布律为 概率 由于三种抽样方式不同，导致的分布律也不一样，请仔细体会它们 的不同处。7.设随机变量 ，已知 ，求与 的 值。解 由于，因此 。由此可算得 即 解得 ；此时，。8.掷一枚均匀的硬币次，设随机变量表示出现国徽的次数，求的分布函数。解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此服从 的二项分布，即 由此可得的分布函数 ，-，9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 服从参数 的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以的概率充分满足顾客的需要？解 设至少要进件物品，由

15、题意应满足 即 查泊松分布表可求得 。10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为，在某天该段时间内有辆汽车通过，求事故次数不少 于 的概率。解 设 为 辆汽车中出事故的次数，依题意，服从 的二项分布，即，由于较大，较 小，因此也可以近似地认为 服从 的泊松分布，即，所求概率为 11.某试验的成功概率为，失败概率为，若以表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出的分布律。解 设事件表示第 次试验成功，则，且 相 互独立。随机变量取意味着前 次试验未成功，但第次试验成功，因此有 所求的分布律为 概率 12.设随机变量的密度函数为 ，其他，试求：（）常数；（）的分布函数。

16、解（）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一 为；其二为，因此有，解得，其中 舍去，即取。（）分布函数 13.设随机变量 的密度函数为 ，求：（）系 数；（）；（）的分布函数。解（）系数必须满足 ，由于 为偶函数，所以 解得；（）（）14.证明：函数 （为正的常数）为某个随机变量的密度函数。证 由 于 ，且 ，因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。15.求出与密度函数 对应的分布函数的表达式。解 当 时，当 时，当 时，综合有 16.设随机变量 在 上服从均匀分布，求方程 有实 根的概率。解 的密度函数为 ；其他 方程 有实根的充分必要条件为 ，即，因此所 求

17、得概率为 或 。17.设某药品的有效期以天计，其概率密度为 ，其他 求：的分布函数；至少有天有效期的概率。解 。-18.设随机变量 的分布函数为 （）的密度函数 。求的密度函数，并计算 和。20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：）服从 解 由分布函数 与密度函数 的关系，可得在 的一切连续 点处有 ，因此 的指数分布，其密度函数为 ，某顾客在窗口等 其他 其他 待服务，若超过，他就离开。所求概率 ；（）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；。（）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到 19.设随机变量 的分布函数为 ，求 服务的概率。表示某顾客在银行的窗口等

18、待服务的时间，依题 常数；随机变量的密度函数。解（）设随机变量 解：要 使 成为随机变量 的分布函数，必须满足 意服从 的指数分布，且顾客等待时间超过 就离开，因此，即 顾客未等到服务就离开的概率为 ；计算后得 （）设 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 服从 的二项分布，所求概率为 解得 另外，可验证当 时，也满足分布函数 21.设服从 ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（）；（）；（）；（）；其余的几条性质。（）。（）解 查正态分布表可得 （）；（）；（）；（）解 所求得概率为 （）。22.设服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（）；（）；（）；（）；（）；（）。解当 时，

19、借助于该 24.某人上班所需的时间（单位：）已知上班时间为 ：，他每天：出门，求：（）某天迟到的概率；（）一周（以天计）最多迟到一次的概率。解（）由题意知某人路上所花时间超过分钟，他就迟到了，因此所求概率为 性质，再查标准正态分布函数表可求得 ；（）；（）记为天中某人迟到的次数，则 服从 的二 （）项分布，天中最多迟到一次的概率为 ；（）。；（）；（）；（）。23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布 ，合格品的规格规 定为，求该厂滚珠的合格率。习题五解答 1.二维随机变量只能取下列数组中的值：，且取这些组值的概率依次为 ，求这二 维随机变量的分布律。解 由题意可得的联合分布律为 -2.一口袋中有四

20、个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以、分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求 的分布律及。解 可能的取值为，可能的取值为，相应的，其概率为 或写成 。3.箱子中装有件产品，其中件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取次，定义随机变量、如下：，若第一次取出正品；，若第二次取出正 品；，若第一次取出次品；，若第二次取出次 品。分别就下面两种情况求出二维随机变量 的联合分布律：（）放回抽 样；（）不放回抽样。解（）在放回抽样时，可能取的值为，可能取的值也为，且 或写成 （）在无放回情形下，、可能取的值也为 或，但取

21、相应值的 概率与有放回情形下不一样，具体为 或写成 4.对于第 题中的二维随机变量 的分布，写出关于及关于 的边缘分布律。解 把第题中的联合分布律按行相加得 的边缘分布律为 概率 按列相加得的边缘分布律为 概率 5.对于第题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于及关于的边缘分布律。解 在有放回情况下的边缘分布律为 当 时 ；图 当 时，；概率 的边缘分布律为 当 时，；当 时，概率 在无放回情况下的边缘分布律为 概率 的边缘分布律为 概率 6.求在上服从均匀分布的随机变量 的密度函数及分布函数，其中为轴、轴及直线 围成的三角形区域。解 区域见图。易算得的面积为 ，所

22、以 的密度函数 其他 的分布函数 当 或 时，；综合有 或 且 且 且 且 7.对于第 题中的二维随机变量 的分布，写出关于及关于 的边缘密度函数。解 的边缘密度函数为 其他 其他 的边缘密度函数为 其他 其他 8.在第题的两种情况下，与是否独立，为什么？解 在有 放回情况下，由于 ，而 ，即 ；容易验证 ，由独立性定 义知与相互独立。在无放回 情况下，由 于 ，而 ，易见 ，所以 与 不相互独立。9.在第题中，与是否独立，为什么？解 ，而 ，易 见 ，所以与不相互独立。10.设、相互独立且分别具有下列的分布律：概率 概率 写出表示的分布律的表格。解 由于与相互独立，因此 例如 其余的联合概率

23、可同样算得，具体结果为 11.设与是相互独立的随机变量，服从上的均匀分布，服从参数为的指数分布，求 的联合密度函数及。解 由均匀分布的定义知 其他 由指数分布的定义知 其他 因为与独立，易得 的联合密度函数 其他 概率 ，其中区域 见图，经计算有 图 。12.设二维随机变量的联合密度函数为 其他 求：（）系数；（）；（）证明与相互独立。解（）必须满足 ，即 ，经 计算得 ；（）；（）关于的边缘密度函数-其他 其他 同理可求得的边缘密度函数为 其他 易见 ，因此与相互独 立。13.已知二维随机变量的联合密度函数为 其他 （）求常数；（）分别求关于及关于的边缘密度函数；（）与是否独立？解（）满足

24、，即 解得；（）的边缘密度函数 其他 其他 的边缘密度函数为 其他 其他 （），而 ，易见 ，14.设随机变量与的联合分布律为 且 ，（）求常数的值；（）当取（）中的值时，与是否独立？为什么？解（）必须满足 ，即 ，可 推出 ，另外由条件概率定义及已知的条件得 由此解得 ，结合 可得到，即 （）当 时，可求得 ，易见 因此，与不独立。15.对于第 题中的二维随机变量 的分布，求当 时的条 件分布律。解 易知 ，因此 时的条件分布律为 因此与不相互独立。概率 16.对 于 第 题中的二维随机变量 的分布，求当 时的条件密度函数。解 的边缘密度函数为（由第题所求得）其他 由条件密度函数的定义知当

25、时的条件密度函数为 其他 其他 习题六解答 1.设的分布律为 概率 ；（）。求出：以下随机变量的分布律。（）；（）解 由的分布律可列出下表 概率 由此表可定出 （）的分布律为 概率 （）的分布律为 概率 （）的分布律为 概率 其中 。2.设随机变量 服从参数 的泊松分布，记随机变量 若 试求随机变量的分布律。若 解 由于服从参数 的泊松分布，因此 而 ；。即的分布律为 概率 3.设的密度函数为 求以下随机变量的密度函 其他 -数：（）；（）；（）。解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然 后再求密度函数。如果为单调可导函数，则也可利用性质求得。（）解法一：设，则的分布函数

26、其他 其他 4.对圆片直径进行测量，测量值 服从上的均匀分布，求圆面 解法二：，其他 ，而 ，则 其他 其他 积的概率密度。解 圆面积 ，由于均匀取 中的值，所以的密度函 数 其他 且 为单调增加函数 ，其反函数 ，的密度函数为 其他 其他 （）设 ，则 ，的密度函数 其他 其他 （）设，由于只取 中的值，所以 也为单调函数，其反函数 ，因此的密度函数为 5.设随机变量服从正态分布 ，试求随机变量的函数 的密度函数。，所以 不 解 ，此时 为单调函数不能直接利用性质求出。须先求的分布函数。即证明了 。8.设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量 若 ；若 ；其他 若 其他 设随机变量服从参

27、数为的指数分布，求随机变量的函数 的密度函数。解 其他 的反函数 ，因此所求的的密度函数为 试求随机变量函数的分布律。解 ，则 其他 而 ；。因此所求分布律为 其他 概率 9.设二维随机变量 的分布律 其他 7.设服从，证明 服从 其中 为两个常数且 。由于 所 以 证 明 ，记 ，则 当 时，为 单 增 函 数，其 反 函 数 因此 的密度函数为 求以下随机变量的分布律：（）；（）；（）；（）。解 ，概率 -解（）由于 ，且与独立，由分布可加 知 ，即 性 从而得到 （）经计算有 概率 概率 （）（）由于 概率 概率 （）从联合分布律可求得的边缘分布律为 概率 由此得的分布律为 概率 （）概

28、率 .设随机变量、相互独立，（）记随机变量 ，求的分布律；（）记随机变量，求的分布律。从而证实：即使、服从同样的分布，与的分布并不一 定相同，直观地解释这一结论。因此 概率 易见与 的分布并不相同。直观的解释是的 与的取 值并不相同，这是因为 与并不一定同时取同一值，因而导致它们的 分布也不同。.设二维随机变量 的联合分布律为 （）求的分布律；（）求的分布律。解（）随机变量可能取到的值为，中的一个，且 概率 .设二维随机变量 服从在上的均匀分布，其中为直线 ，所围成的区域，求 的分布函数及密度函数。解 的联合密度函数为 ，则的分 设 其他.布函数 综合有 概率 其中区域 ，（）随机变量可能取到

29、的值为，中的一个，且 当 时，积分区域见图，此时 当 时，积分区域见 图 ，此时 综合有 同理可求得 区域的面积 其 中 是 区 域 限 在 中的那部分。当 时，积分区域见图，此时 图 图 图 区域的面积 其他 13.设 ，用函数表达随机变量 的密度函数为 的密度函数。解 设 则的分布函数 其中 中 是区域限在 的那部分。当 时，积分区域见图，此时 。对积分变量作变换 ，得到 综合有 图 于是 ，交换积分变量的次序 得 从而，的密度函数为 ，把与的地位对换，同样可得到 的密度函数的另一种形式 。习题七解答 的密度函数 1.设 的分布律为，X-1 0 1 2 -概 率 求（），（），（），（）。

30、解 由随机变量的分布律，得 所以 另外，也可根据数学期望的性质可得：的泊松分布，且已知 2.设随机变量 服从参数为 ，求 的值。解 3.设表示次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为，试求的数学期望。解 所以 故 4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在，（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外 汇 万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解 设随机变量表示平均收益（单位：万元），进货量为吨 则 要使得平均收益最大，所以 得（吨）5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的 概率相应为，假设各

31、部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差。解的可能取值为，有-10.设随机变量相互独立，它们的密度函数分别为 求。解，所以 ，所以 ，相互独立，所以 。11.设服从在上的均匀分布，其中为轴、轴及直线 所围成的区域，求（）；（）；（）的值。解 先画出区域的图 其他 其他 其他 12.设随机变量的联合密度函数为 其他 求。解 先画出区域 的图 其他 其他 16.及按公式 算得的值相等。这 里，、依次表示的分布密度。证明 17.设 的方差为，利用契比晓夫不等式估计 的 值。解 18.设随机变量 和 的数学期望分别为 和，方差分别为 和，而相关系数为，根据切比雪夫不等式估计

32、 的值。13.设随机变量 相互独立，且 ，解 求。解 所以 14.设 ，求（）；（）。21.在人寿保险公司里有 个同龄的人参加人寿保险。在 年内 解：（）每人的死亡率为，参加保险的人在 年的第一天交付保险费 元，死亡时家属可以从保险公司领取 元。试用中心极限定理求保险公司 亏本的概率。（）解 设死亡人数为，保险公司亏本当且仅当 ，即。于是，由棣莫弗 拉普拉斯定理，公司亏 15.设随机变量 相互独立，求 本的概率为 。解 -习题九解答 1.设 是来自服从参数为 的泊松分布 的样本，试写出样本的联合分布律。解 2.设 是来自 上的均匀分布的样本，未知 （）写出样本的联合密度函数；（）指出下列样本函

33、数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（）设样本的一组观察是：写出样本均值、样本方差和 标准差。解 （）其他 （）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（）样本均值 样本方差 样本标准差 。3.查表求 ，。解 ，。4.设，求常数，使 。解 由 分布关于纵轴对称，所以 即为。由附表可查得 ，所以 。5.设 是来自正态总体 的样本，试证：（）；（）。证明：（）独立同分布于 ，由 ，即 分布的定义，。（）易 见，即 分布的定义，由 ，即 。6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 都服从。（）试给出常数，使得 服从 分布，并指出它的自由度；（）试给出常数，使得 服从

34、分布，并指出它的自由 度。解 （）易见，即为二个独立的服从 的随机变量平方和，服从 分布，即；自由度为。（）由于 ，则 。又 ，与 相互独立，则 即 即，自由度为。7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（）；（）；（），其中。解 （）（）（），其中 8.某市有个年满岁的居民，他们中年收入超过万，受过高等教育。今从中抽取人的随机样本，求：（）样本中不少于的人年收入超过万的概率；（）样本中和之间的人受过高等教育的概率。-解 （）引入新变量：，第 个样本居民年收入超过 万 ，第 个样本居民年收入没超过 万 其中 易见：又因 ，故可以近似看成有放回抽样，相 互独立。样本中年收入超过 万

35、的比例即为，由于 较大，可以使用渐近 分布求解，即 ，所求概率即为 （）同（）解法 引入新变量：，第 个样本居民受过高等教育 ，第 个样本居民未受过高等教育 其中 答：（）样本中不少于 的人年收入超过 万的概率为；（）样本中和之间的人受过高等教育的概率为 。1.设是取自总体的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（），其中未知，；（），其中 未知，。解（），故的矩估计量有 另，的分布律为 ，故似然函数为 对数似然函数为：令 解得的最大似然估计量 。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（），令 ，故 的矩估计量 。另，的密度函数为 故似然函数为 其他 对数似然函数为

36、 习题十解答 解得 的最大似然估计量 。可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.设 是取自总体的一个样本，其中服从参数为 的 泊松分布，其中 未知，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一 组样本观测值 频数 求 的矩估计值与最大似然估计值。解，故的矩估计量 。由样本观测值可算得 另，的分布律为 故似然函数为 对数似然函数为 解得 的最大似然估计量 ，故 的最大似然估计值。3.设 是取自总体的一个样本，其中服从区间 的 均匀分布，其中 未知，求 的矩估计。解 ，令，故 的矩估计量 。4.设是取自总体的一个样本，的密度函数为 其他 其中 未知，求 的矩估计。解 ，令 ，故 的矩估计量为 。

37、5.设是取自总体的一个样本，的密度函数为 其他 其中 未知，求 的矩估计和最大似然估计。解 ，令 ，故 的矩估计量为 ，另，似然函数 其他 对数似然函数为 解得 的最大似然估计量为 。6.设是取自总体的一个样本，总体服从参数为的 几何分布，即 ，其中 未知，求 的最大似然估计。解 似然函数 -对数似然函数 解得 的最大似然估计量为 。7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中 未 知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：）：，试求 该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。解 根据习题的结果，的矩估计和最大似然估计量都为 ，故平 ，即为。均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为

38、 解 故 的矩估计量是 的无偏估计。10.试证第 题中 的最大似然估计是 的无偏估计。证明：故 的最大似然估计 是 的无偏估计。11.设 为总体 的样本，证明 由样本观测值可算得 8.设总体 的密度函数为 知，设 是取自这个总体的一个样本，试求 解 似然函数 ，对数似然函数为 得 的最大似然估计量为 。9.在第题中 的矩估计是否是 的无偏估计？。，其中 未 的最大似然估计。都是总体均值 的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。证明 所以都是总体均值 的无偏估计。又 可见 ，所以二个估计量中 更有效。12.设 是取自总体 的一个样本，其中 未知，令 ，试证 是 的相合估计。证明 易见 ，又 由第

39、九章公式（），故 。由切比雪夫不等式，当 ，对任给 ，即是 的相合估计。习题十一解答 1.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取个，量得直径如下（单位：）：，求 的双侧置信区间和 双侧 置信区间。解 由 于 已知，所以选用 的 置信区间 。当 ，查 表 得 ，当，查表得 。代入数据得 的双侧 置信区间观测值为 ，即为。的双侧置信区间观测值为 ，即为。2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 ，未 知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对 和 作估计，为此随机抽 取七个月，其销售量分别为：，试求 的双 侧置信区间和方差 的双侧置信区间。解 由于

40、和 都未知，故 的 双侧置信区间为 ，的双侧置信区间为 ，代入数据得 ，的 双侧置信区间观测值为 ，即为。-的 双侧置信区间观测值为 ，即为。3.随机地取某种子弹发作试验，测得子弹速度的，设子弹速 度服从正态分布 ，求这种子弹速度的标准差 和方差 的双侧 置信区间。解 由于 未知，故 的双侧置信区间为 ，代 入数据得 ，的 双侧置信区间观测值为 ，即 为 。故 的双侧置信区间观测值为 ，即为。4.已知某炼铁厂的铁水含碳量（）正常情况下服从正态分布 ，且标准差 。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：（），试求未知参数 的单侧置信水平为 的 置信下限和置信上限。解 由于 已知，故 的 单侧置信下限为

41、，的 单 侧 置 信 上 限 为 ，代入数据得 ，故 的 单侧置信下限观测值为 ，的 单侧置信上限观测值为 。5.某单位职工每天的医疗费服从正态分布 ，现抽查了天，得元，元，求职工每天医疗费均值 的双侧置信区间。解 由 于 未知，故 的 双侧置信区间为 ，代 入 数 据 得 ，故 的双侧置信区间观测值为 ，即为。6.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取 只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产 线抽取只罐头测得其平均质量 ，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差 的双侧 置 信区

42、间。解 由于 已知，故 的 的双侧置信区间为 代入数据得 ，故 的 双侧置信区间观测值为 ，即为。7.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命 和，随机的抽取甲、乙两种显像管各 只，得数据 和（单位：），且由 此算得 ，假定两种显像 ，管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求 两个总体均值之差 的双侧置信区间。解 由于 未知，故 的 双侧置信区间为 其中 ，代入数据得 ，故 的双侧置信区间观测值为 即为。8.在个男生，个女生组成的总体中，随机不放回地抽取 人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的。解 由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。样本成数 ，估计，标准差的估 。计为 9.抽取人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有人拥有私人汽车，（）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的；（）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的的置信区间。解 ，故 所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的 的置信区间观测值为 。