高考数学培优第36讲椭圆、双曲线、抛物线5544.pdf
《高考数学培优第36讲椭圆、双曲线、抛物线5544.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学培优第36讲椭圆、双曲线、抛物线5544.pdf(19页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第三十六讲 椭圆双曲线抛物线 A 组 一.选择题 1.(2017 年全国 2 卷理)若双曲线C:22221xyab(0a,0b)的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2,则C的离心率为()A 2 B3 C2 D2 33【答案】A【解 析】圆 心 到 渐 近 线0bxay 距 离 为2213 ,所 以2322bcaec,故选 A.2设椭圆C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F,P是C上的点,212PFFF,01230PF F,则C的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33【答案】选 D.【解析】在21Rt PF F中,令2|1PF,因为01230PF F,
2、所以112|2,|3PFFF.所以1212|232|3FFceaPFPF.3.(2017 年天津卷理)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 A B C D【答案】B【解析】由题意得224,14,2 2188xyabcabc ,选 B.4 已知l是双曲线22:124xyC的一条渐近线,P是l上的一点,12,F F是C的两个焦点,若120PF PF,则P到x轴的距离为 A.2 33 B.2 C.2 D.2 63【答案】选 C.【解析】12(6,0),(6,0)FF,不妨设l的方程为2yx,设00(,2)P xx 由21200000(6,2)(
3、6,2)360PF PFxxxxx 得02x ,故P到x轴的距离为022x,故选 C 5.已知双曲线C:2218yx 的左右焦点分别是1,2F F,过2F的直线l与C的左右两支分别交于,A B两点,且11AFBF,则AB=A.2 2 B.3 C.4 D.2 21【答案】选 C.【解析】由双曲线定义可知:21AFAF2a,122BFBFa;两式相加得:21124AFAFBFBFa 又11AFBF,式可变为224AFBFa=4 即AB=4 5(2017 年全国 3 卷理)已知双曲线 C:22221xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点,则 C 的方程为
4、()A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy【答案】B【解析】由题意可得:3,32bca,又222abc,解得224,5ab,则C 的方程为2145xy.本题选择 B 选项.二.填空题 6.(2017 年全国 1 卷理)已知双曲线C:22221xyab(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60,则C的离心率为_。【答案】2 33【解析】如图所示,APMN,MN为双曲线的渐近线byxa上的点,(,0)A a,AMANb 因为APMN 所以30PAN(,0)A a到直线byxa的距离22|1bA
5、Pba 在Rt PAN中,cosPAPANNA 代入计算得223ab,即3ab 由222cab得2cb 所以22 333cbeab 7已知双曲线C:22221xyab0,0ab的左顶点为A,右焦点为F,点0,Bb,且0BA BF,则双曲线C的离心率为 【答案】512【解析】设 F(c,0),又 A(a,0),由0BA BF,得:(a,b)(c,b)0,所以,有:2bac,即22caac,化为210ccaa,可得离心率 e512。8.与双曲线221xy过一、三象限的渐近线平行且距离为2的直线方程为 .【答案】20 xy;【解析】双曲线221xy过一、三象限的渐近线方程为:0 xy 设直线方程为:
6、0 xyb所以22b,解得2b 三.解答题 9.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为12 0F,点2B 2,在椭圆C上,直线0ykx k与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N()求椭圆C的方程;()在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 解:()解法一:设椭圆C的方程为22221(0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab 设椭圆的右焦点为22 0F,已知点22B,在椭圆C上,由椭圆的定义知122BFBFa,所以23 224 2a 所以2 2a,从而2b
7、 所以椭圆C的方程为22184xy 解法二:设椭圆C的方程为22221(0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab 因为点22B,在椭圆C上,所以22421ab 由解得,2 2a,2b 所以椭圆C的方程为22184xy ()解法一:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点00,Exy(不妨设00 x),则点00,Fxy 联立方程组22,184ykxxy消去y得22812xk 所以022 212xk,022 212kyk 所以直线AE的方程为22 2112kyxk 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x
8、得22 2112kyk,即点22 20,112kMk 同理可得点22 20,112kNk 假设在x轴上存在点(,0)P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即2222 22 20112112kktkk,即240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 解法二:因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点00(,)E xy,则点00(,)Fxy 所以直线AE的方程为002 22 2yyxx 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x 得002 22 2yyx,即点002 20,2
9、2yMx 同理可得点002 20,2 2yNx 假设在x轴上存在点,0P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即200002 22 202 22 2yytxx,即22020808ytx ()因为点00(,)E xy在椭圆C上,所以2200184xy,即220082xy 将220082xy代入()得240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 解法三:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点2 2cos,2sinE(0),则点2 2cos,2sinF 所以直线AE的方程
10、为2sin2 22 2cos2 2yx 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x 得2sincos1y,即点2sin0,cos1M 同理可得点2sin0,cos1N 假设在x轴上存在点(,0)P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即22sin2sin0cos1cos1t,即240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 10 已 知 椭 圆2222:1(0)xyWabab的 离 心 率 为32,其 左 顶 点A在 圆22:16O xy 上。(1)求椭圆W的方程;(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点,直线AP与圆O的另 一个交点为Q,是否存在点P
11、,使得3PQAP?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。解:(1)因为椭圆W的左顶点 A 在圆16:22 yxO上,令0y,得4x,所以4a.又离心率为23,所以23ace,所以32c,所以2224bac,所以W的方程为221164xy.(2)设点),(),(2211yxQyxP,设直线AP的方程为)4(xky,与椭圆方程联立得22(4)1164yk xxy,化简得到2222(14)3264160kxk xk,因为4为方程的一个根,所以21232(4)14kxk,所以21241614kxk 所以228 1|14kAPk.因为圆心到直线AP的距离为2|4|1kdk,所以222168|2
12、16211AQdkk,因为|1|PQAQAPAQAPAPAP,代入得到222222228|14331113|1118 114PQkkkAPkkkkk 显然23331k,所以不存在直线AP,使得|3|PQAP.11.已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为0204 yx。(1)求抛物线方程;(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线l,又lMN 且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于x轴,若NMEFMN,求的值。解:(1)设抛物线的方程为pxy22,则其焦点为)0,2(p,),(),(),(332211yxCyxByxA,联立0200)80(82
13、020422xpxpxyyx,88032pxx,24204202132pxxyy,又ABC的重心为焦点 F 230880113213211321pyyyypxxxxp 代入抛物线中,解得8p 故抛物线方程为xy162 (2)设),(00yxM,即切线8)(8:000ykxxyylMN,即8tan0ykNMEMN,又4tan00 xykFMEMF,NMEFMEFMExyyyyyNME2tan46416641822tan00200200,即1。12.已知椭圆C:22221(0)xyabab的左右顶点分别为,A B,右焦点为F,离心率12e,点P是椭圆C上异于,A B两点的动点,APB的面积最大值为
14、2 3(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AP与直线2x 交于点D,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并作出证明 解:(1)由题意得,222122 3212a babcca,解得:231abc 所以,椭圆方程为:22143xy.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切 证明:设直线AP:2(0)yk xk,则:(2,4)Dk,BD的中点为M为(2,2)k 联立22143(2)xyyk x,消去y整理得:2222(34)1616120kxk xk 设00,P x y,由韦达定理得:2021612234kxk,解得:2026834kxk,故有:00212234kyk xk 又1,0F,所以当1
15、2k 时,31,2P,2,2D,此时PFx轴,以BD为直径的圆22211xy与直线PF相切 当12k 时,0204=114PFykkxk,所以直线PF:2411 4kyxk,即:224401414kkxykk,所以点E到直线PF的距离22228421 41 424()11 4kkkkkdkkk 而=4BDk,即知:12dBD,所以以BD为直径的圆与直线PF相切 B 组 一.选择题 1.如图AB是长度为定值的平面的斜线段,点A为斜足,若点P在平面内运动,使得ABP的面积是定值,则动点P的轨迹是 B A P A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线【答案】选 B.【解析】我们通过这个例题可以
16、让学生进一步认识圆锥 曲线的定义.根据已知条件ABP的面积为定值,AB是长度为定值的平面的斜线段,那么点P到直线AB的距离为定值,仅仅考虑这一点,点P应该在一个圆柱的侧面上,这个圆柱是以PA所在的直线为轴,点P到直线AB的距离为底面半径.同时这个点又在平面上,点P的轨迹是平面与圆柱侧面的截线,依据圆锥曲线的定义,应该选 B.2.如果1P,2P,nP是抛物线C:24yx上的点,它们的横坐标依次为1x,2x,nx,F是抛物线C的焦点,若1210nxxx,则12nPFPFP F(A)10n (B)20n (C)210n (D)220n【答案】选 A.【解析】由抛物线的焦点为(1,0),准线为x1,由
17、抛物线的定义,可知11|1PFx,22|1P Fx,故12nPFPFP F10n 3设双曲线22221xyab的一条渐近线为2yx,且一个焦点与抛物线24yx的焦点相同,则此双曲线的方程为()A225514xy B225514yx C225514xy D225514yx【答案】选 C.【解析】抛物线的焦点为(1,0)22212cbacab解得221545ab 4.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,A B两点,若OAB的面积为133bc,则双曲线的离心率为()A52 B53 C132 D133 【答案】选 D【解 析】.由 题 意,得xc代 入byx
18、a,得 交 点(,),(,)bcbcA cB caa,则121323bcbcca,整理,得133ca,故选 D 二.填空题 5.椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为A,经过原点的直线l交椭圆C于PQ、两点,若=PQa,APPQ,则椭圆C的离心率为 .【答案】2 55【解析】不妨设点P在第一象限,由对称性可得22PQaOP,因为APPQ在Rt POA中,1cos2OPPOAOA,故60POA,易得13(,)44Paa,代入椭圆方程得:116316122ba,故222255()abac,所以离心率552e 6 已知直线:l ykxt与圆:22(1)1xy相切且与抛物线2:4C xy交于不
19、同的两点,M N,则实数t的取值范围是 【答案】(,3)(0,)【解析】因为直线与圆相切,所以 ttkkt2111222又把直线方程代入抛物线方程并整理得0442tkxx,于是由016)2(16161622ttttk,得 0t或3t 三.解答题 7.已知抛物线2:2C ypx经过点(2,2)M,C在点M处的切线交x轴于点N,直线1l经过点N且垂直于x轴.()求线段ON的长;()设不经过点M和N的动直线2:lxmyb交C于点A和B,交1l于点E,若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列,试问:2l是否过定点?请说明理由.【解析】()由抛物线2:2C ypx经过点(2,2)M,得 224p,故1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 培优第 36 椭圆 双曲线 抛物线 5544
限制150内