数学物理方法（Method of mathematical Physics）.ppt

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1、数学物理方法（Method of mathematical PhysicsMethod of mathematical Physics）复变函数论4/3/20231太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数论n复数n复变函数n导数n解析函数n本章小结4/3/20232太原师范学院 物理系 焦志莲复数u数的扩张（完善化）l自然数l减法不封闭整数l除法不封闭有理数l不完备2 实数l方程可解性复数4/3/20233太原师范学院 物理系 焦志莲复数u复数的表示代数表示 z=x+iy x=Real(z),y=Imagine(z)三角表示 z=r(cos+i sin)r=|z|,=Arg(z)指数表示 z=r

2、exp(i)exp(i)=cos+i sin4/3/20234太原师范学院 物理系 焦志莲复数u几何表示l关系x=r cosy=r sinr=(x2+y2)=Arctan(y/x)l特点无序性复数无大小 矢量性：复数有方向4/3/20235太原师范学院 物理系 焦志莲复数u运算l加减法 (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)l乘除法 r1exp(i1)r2exp(i2)=r1r2 expi(1+2)l幂和开方 r exp(i)n=rn exp(in)r exp(i)1/n=r1/n exp(i/n)l复共轭 z=x+iy z*=x iy z=r exp(i)z*=r e

3、xp(-i)4/3/20236太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u概念l定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:xy复变函数：f:zwl举例 f(n)=fn=(1+i)n,nN f(z)=zn f(z)=exp(z)f(z)=ln(z)4/3/20237太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数l更多的例子 w=az2 w=az2+bz+c w=1/(az+b)w=(az+b)w=Ln(az+b)w=sin z w=Arccos z w=an zn w=an sin(nz)w=(1-z2/n22)w=exp(-z2)dz4/3/20238太原师范学院 物理系 焦志莲复

4、变函数4/3/20239太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数n分析与比较u定义域和值域l相同点：都是数集l不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。l典型例子：|x|2 是连通的，1|x|是不连通的；|z|2是单连通的，1|z|是复连通的。4/3/202310太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u映射l相同点在形式上：y=f(x),w=f(z)l不同点在变量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。l联系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚

5、部。4/3/202311太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u结构l相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。l不同点：基本实变函数 xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本复变函数 zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因 cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i4/3/202312太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数n基本函数u二次函数l定义:w=z2l分析 u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2 u=x2-y2,v=2xyl性质对称性、无周期性无界性、单值性4/3/202313太原师范学院 物

6、理系 焦志莲复变函数u三次函数l定义：w=z3l分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3 u=x3 3xy2,v=3x2y-y3 l性质对称性无周期性无界性单值性4/3/202314太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u指数函数l定义：w=exp(z)l分析u+iv=exp(x+iy)=exp(x)cosy+i sinyu=exp(x)cos y,v=exp(x)sin yl性质不对称性周期性exp(z+2i)=exp(z)无界性单值性4/3/202315太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u对数函数l定义：w=Ln(z)l分析u+iv=Ln r exp(i)=ln r

7、+i u=ln r,v=l性质对称性非周期性无界性多值性：=argz+2k (k=0,1,2,)4/3/202316太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数u三角函数l定义：w=sin(z)l分析u+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)+i cos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)l性质对称性周期性无界性单值性4/3/202317太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数的导数n基本概念实变函数复变函数极限连续导数4/3/202318太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数的导数u可导条件l分析C-R条件ux=vy，vx=-uy充要条件偏导数 ux，vy，vx

8、，uy 连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。4/3/202319太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数的导数l典型情况初等函数在定义域内都可导；函数Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。l导数的计算法则：复变函数的求导法则与实变函数完全相同；例子：(sin2z)=2 sin z cos zexp(z2)=2 z exp(z2)(z3)”=6 z4/3/202320太原师范学院 物理系 焦志莲复变函数的导数u导数的意义l微商表示f(z)=dw/dz l模：|f(z)|=|dw|/|dz|l幅角：Argf(z)=Arg(dw)-Arg(dz)

9、4/3/202321太原师范学院 物理系 焦志莲解析函数n定义u点解析：函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导。u区域解析：函数f(z)在区域B上每一点都解析。n性质u调和性：解析函数的实部与虚部都是调和函数，即 u=uxx+uyy=0,v=vxx+vyy=0u正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0 或曲线 u(x,y)=C1,v(x,y)=C2 相互垂直。4/3/202322太原师范学院 物理系 焦志莲解析函数n应用例例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组

10、成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y,vy=ux=2x dv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C4/3/202323太原师范学院 物理系 焦志莲解析函数例例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。分析：分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。解：解：设电势为 u=f(x2+y2)ux=2xf,uxx=2f+4x2f”uy=2yf,uyy=2f+4y2f”uxx+uyy=4f

11、+4(x2+y2)f”=0 令 t=x2+y2,g=f(t)，则有g+t g=0 g=-ln t+C f=1-ln(x2+y2)(x2+y2)+C4/3/202324太原师范学院 物理系 焦志莲解析函数例例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。分析：分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个 解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y,vy=ux=2x dv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C4/3/202325太原师范学院 物理系 焦志莲本章小结n复变函数u定义：两个复数集合之间的映射；u特点：定义域和值域为2维；定义域出现复连通现象；不能用一个图形完全描述；极限存在的要求提高；u分析：可以分解成2个二元实函数；n解析函数u满足C-R条件；u实部和虚部都是调和函数，相互正交。4/3/202326太原师范学院 物理系 焦志莲The end!4/3/202327太原师范学院 物理系 焦志莲