第五章 常微分方程.ppt

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1、第五章第五章 常微分方程常微分方程微分方程的基本概念微分方程的基本概念一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法1 解解（1）（1）式两端积分，得）式两端积分，得:即即（2）把条件把条件“x=1，y=2”代入（代入（2）式，得）式，得 于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为例例 1 一曲线通过点（一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点），且在该曲线上任一点 M（x，y）处的切线的斜率为处的切线的斜率为 2x，求这曲线的方程。求这曲线的方程。根据导数的几何意义，根据导数的几何意义，第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念设所求曲线方程为设所求曲线

2、方程为2解解3代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需4微分方程：微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程。含有未知函数的导数（或微分）的方程。未知函数是一元函数的微分方程。未知函数是一元函数的微分方程。未知函数是多元函数的微分方程。未知函数是多元函数的微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.微分方程微分方程 的阶的阶:常微分方程常微分方程:偏微分方程：偏微分方程：5（5）一般地，一般地，n 阶微分方程阶微分方程的形式是的形式是 y 是是未知函数，未知函数，x 是自变量。是自变量。而且一定含

3、有而且一定含有 ；是是的函数，的函数，解中含有任意常数，且解中含有任意常数，且独立独立的任意常数的个数等于的任意常数的个数等于 微分方程的阶数。微分方程的阶数。通解通解：如果函数如果函数代入微分方程后，代入微分方程后，能使方程变为恒等式，能使方程变为恒等式，则称则称 为为微分方程的解微分方程的解。满足满足初始条件初始条件的解。的解。特解特解：三阶微分方程。三阶微分方程。一阶微分方程。一阶微分方程。6n 阶微分方程的阶微分方程的初始条件初始条件是指如下的是指如下的 n 个条件：个条件：求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题.这里这里 是给定的是给定的n+1个常数。个

4、常数。当当时，时，或或写作写作一般初值问题可写为：一般初值问题可写为：初值问题初值问题:称它为称它为微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线。微分方程的解的图形是一条曲线，微分方程的解的图形是一条曲线，满足初始条件的特解就是通过点满足初始条件的特解就是通过点 的一条积分曲线。的一条积分曲线。7解解8所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)9小结小结微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;思考题思考题10思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.11