第一章 复数与复变函数.ppt

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1、张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程山东大学数学院主讲：主讲：郑修才郑修才张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 1.1 1.1 复数及

2、其运算复数及其运算一、复数的概念一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、复数的表示法二、复数的表示法1 1、(复平面上的复平面上的)点表示点表示 -用坐标平面上的点用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、(复平面上的复平面上的)向量表示向量表

3、示-（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角()与 轴正向的夹角 (周期性)张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform辐角主值辐角主值:注注注注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示式或借助复数向量表示.张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3 3、三角（或极坐三角（或极坐标标）表示）表示-由由得得欧拉公式5、代数表示-张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integ

4、ral Transform 复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示-将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、复数的运算三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral T

5、ransform四、复数的四、复数的n n次方根次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0

6、 0和和i i加以讨论：加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为什么？复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小可比较大小。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运运算是否相同？算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没

7、有；乘积运算的几何意义不同。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform典型例典型例题题例例1 1、判断下列命、判断下列命题题是否正确？是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）（）（）（）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、求下列复数的模与、求下列复数的模与辐辐角角（1）（2）（3）（4）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解（解（1 1）（

8、2 2）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（3）(4)张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例3 3、求满足下列条件的复数、求满足下列条件的复数z z：（1）（3）（2）且且张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例4 4 求方程求方程的根。并将的根。并将分解因式。分解因式。解 ，则的其余三个根即为所求得由张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform