第3章 动量与角动量2009版.ppt

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1、牛顿定律揭示了物体所受外力与它的加速牛顿定律揭示了物体所受外力与它的加速度之间的关系。只要知道物体在某一时刻度之间的关系。只要知道物体在某一时刻的受力情况，就可根据牛顿第二定律求出的受力情况，就可根据牛顿第二定律求出物体在该时刻获得的加速度。物体在该时刻获得的加速度。然而，实际上力对物体的作用总是要延续然而，实际上力对物体的作用总是要延续一段或长或短的时间，在这段时间内，力一段或长或短的时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总的效果。的作用将积累起来产生一个总的效果。本章将介绍力的时间积累效应的规律以及本章将介绍力的时间积累效应的规律以及由此引出的一些重要定律。由此引出的一些重要定律。

2、3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理一、动量一、动量在经典力学中，物体的质量是恒定的，可将牛顿第二定在经典力学中，物体的质量是恒定的，可将牛顿第二定律做下面的演化：律做下面的演化：瞬时状态量，瞬时状态量，SI单位单位 kgms-1引入动量后，牛顿第二定律可以表示为：引入动量后，牛顿第二定律可以表示为：任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力，其方向与合力方向一致。间作用于质点的合力，其方向与合力方向一致。表明力是使物体动量改变的原因。表明力是使物体动量改变的原因。作用于物体上的合外力的冲量等于物体动作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量

3、的增量量的增量质点的动量定理质点的动量定理二、动量定理二、动量定理动量定理和牛顿第二定律都反映了质点运动量定理和牛顿第二定律都反映了质点运动状态的变化与力的作用关系，但有差别。动状态的变化与力的作用关系，但有差别。牛顿第二定律牛顿第二定律表示的是在力的作用下质点表示的是在力的作用下质点动量的动量的瞬时变化瞬时变化规律；规律；动量定理动量定理则表示在力作用下质点动量的则表示在力作用下质点动量的持持续变化续变化情形，即在一段时间内合力对质点作情形，即在一段时间内合力对质点作用的积累效果。用的积累效果。牛顿第二定律：牛顿第二定律：动量定理：动量定理：要产生同样的效果，即同样的要产生同样的效果，即同样

4、的动量增量，力大力小都可以。动量增量，力大力小都可以。力大，时间可以短些；力小，力大，时间可以短些；力小，时间需长些。只要力的时间积时间需长些。只要力的时间积累（即冲量）一样，就产生同累（即冲量）一样，就产生同样的动量增量。样的动量增量。三、动量定理的应用三、动量定理的应用求平均冲力的大小求平均冲力的大小作用于物体上的力是作用时间极短，数作用于物体上的力是作用时间极短，数值很大而且变化很快的一种力，这种力值很大而且变化很快的一种力，这种力称为冲力。称为冲力。确定冲力随时间变化的细确定冲力随时间变化的细节很难，无法用牛顿第二节很难，无法用牛顿第二定律处理。可以测定物体定律处理。可以测定物体在冲击

5、前后的动量，以及在冲击前后的动量，以及冲力作用于物体的时间，冲力作用于物体的时间，借助动量定理来估计冲力借助动量定理来估计冲力的平均值。的平均值。合外力的冲量的方向应和受力质合外力的冲量的方向应和受力质点的动量的增量的方向一致，但点的动量的增量的方向一致，但不一定和质点的初动量或末动量不一定和质点的初动量或末动量的方向一致。的方向一致。动量定理式都是矢量公式，应用时动量定理式都是矢量公式，应用时可直接用作图法，按几何关系求解，可直接用作图法，按几何关系求解，也可用分量式求解。也可用分量式求解。冲量在任一方向的分量只能改变自己方向上冲量在任一方向的分量只能改变自己方向上的动量分量，而不能改变与它

6、相垂直的其他的动量分量，而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。方向的动量分量。例例1 1：质量为：质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，的速率飞来，被板推挡后，又以又以20m/s的速率飞出。设两速的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别且它们与板面法线的夹角分别为为45o和和30o，求：求：（1）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为若撞击时间为0.01s，求板求板施于球的平均冲力的大小和方施于球的平均冲力的大小和方向向。45o 30o nv2v1解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间

7、很短，解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为忽略重力影响。设挡板对球的冲力为F，则有：，则有：45o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：为为平均冲力平均冲力与与x方向的夹角方向的夹角。45o 30o nv2v1Oxy小球受到的冲量为：小球受到的冲量为：平均冲力为：平均冲力为：此题也可用矢量法解此题也可用矢量法解v2v1v1t45o 30o nv2v1Oxy求角度：求角度：a a为为F与与x轴夹角轴夹角平均冲力：平均冲力：例例2、一质量均匀分布的柔软细绳铅直、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平

8、桌地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。于已落到桌面上的绳重量的三倍。ox分析：分析：1.绳子自由下落，其加速度为绳子自由下落，其加速度为g。2.桌面受到的压力来自两个方面，一是已落下的绳桌面受到的压力来自两个方面，一是已落下的绳子的质量力，一是绳子下落时对桌而的冲力。子的质量力，一是绳子下落时对桌而的冲力。3.以绳子为研究对象，它受到的力有两个，重力和以绳子为研究对象，它受到的力

9、有两个，重力和桌面对它的冲力，在计算绳子受到的冲力时，重桌面对它的冲力，在计算绳子受到的冲力时，重力可忽略不计。力可忽略不计。根据动量定理，桌面根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：即：而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的长的柔绳落至桌面，随后的dt时间时间内将有质量为内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳的柔绳以以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的速率碰到桌面而停

10、止，它的动量变化率为：的动量变化率为：质点动量定理是矢量规律，要注意其矢量特点质点动量定理是矢量规律，要注意其矢量特点（例如小球垂直下落与地面作弹性碰撞后以相同的速率反弹回来）（例如小球垂直下落与地面作弹性碰撞后以相同的速率反弹回来）力的冲量是过程量，对应于一段时间；质点动量力的冲量是过程量，对应于一段时间；质点动量是状态量是状态量(瞬时量瞬时量)，对应于一个时间点，对应于一个时间点(时刻时刻)。由质点动量的改变量可以确定一段时间内合力的由质点动量的改变量可以确定一段时间内合力的冲量（即合力的积累效应），但不能确定各个瞬时冲量（即合力的积累效应），但不能确定各个瞬时的作用力的大小。的作用力的大

11、小。应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。只应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。只能在惯性系中运用。能在惯性系中运用。不同的惯性系中，冲量有相同的形式，而动量的数不同的惯性系中，冲量有相同的形式，而动量的数值和方向随参照系而变，但动量的改变量不变。值和方向随参照系而变，但动量的改变量不变。1、内力与外力、内力与外力四、质四、质点系的动量定理点系的动量定理内力：内力：系统内各质点间的相互作用力称为内力系统内各质点间的相互作用力称为内力外力：外力：系统以外的其他物体对系统内任意一质系统以外的其他物体对系统内任意一质点的作用力称为外力。点的作用力称为外力。例子：区分内力与外力例子：区分内力与外

12、力AB外力：外力：内力：内力：用水平向右的力用水平向右的力F推物体推物体B，A、B之间无相对滑动并以共同的之间无相对滑动并以共同的加速度向右运动。加速度向右运动。2、质点系动量定理、质点系动量定理两个质点组成的质点系：两个质点组成的质点系：在起始时刻在起始时刻t0，两质点动量分别为：，两质点动量分别为：在时刻在时刻t，两质点动量分别为：，两质点动量分别为：选取适当的惯性参照系，对选取适当的惯性参照系，对两质点分别运用动量定理：两质点分别运用动量定理：两式相加，且根据牛顿第三定律，有：两式相加，且根据牛顿第三定律，有：第第i个质点受到的合力为个质点受到的合力为对第对第i个质点运用动量定理有：个质

13、点运用动量定理有：将上述结果推广到由任意多将上述结果推广到由任意多个个质点组成的质点系质点组成的质点系分别列出分别列出N个质点的动量定理，相加后可得：个质点的动量定理，相加后可得：内力成对出现，其冲量的矢量和为零，即：内力成对出现，其冲量的矢量和为零，即：所以：所以：质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理3、用于质点系牛顿第二定律、用于质点系牛顿第二定律质点系动量定理质点系动量定理将上式写成微分形式：将上式写成微分形式：系统的总动量系统的总动量系统所受合外力系统所受合外力用于质点系的牛用于质点系的牛顿第二定律顿第二定律系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力系统的总动

14、量随时间的变化率等于该系统所受的合外力 质点系动量定理表明：系统总动量随时间的变质点系动量定理表明：系统总动量随时间的变化完全是外力作用的结果，化完全是外力作用的结果，系统的内力不会引系统的内力不会引起系统总动量的改变起系统总动量的改变。外力与内力的区分完全取决于所选取的研究对象。外力与内力的区分完全取决于所选取的研究对象。质点系动量定理是由牛顿定律导出的规律，只质点系动量定理是由牛顿定律导出的规律，只适用于惯性参照系。适用于惯性参照系。质点系动量定理的数学表达式是矢量方程，直质点系动量定理的数学表达式是矢量方程，直角坐标系中的分量式为：角坐标系中的分量式为：外力矢量和在某一方向的冲量等于在该

15、方向外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。上质点系动量分量的增量。例：一辆煤车以例：一辆煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为过，每秒钟落入车厢的煤为m=500kg。如。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢（车厢钢轨间的磨擦忽略不计）力拉车厢（车厢钢轨间的磨擦忽略不计）xvFdmmxvFdmm解：以解：以 m 表示时刻表示时刻t煤车和已落进煤煤车和已落进煤车的煤的总质量，此后车的煤的总质量，此后dt 时间内又时间内又有质量为有质量为 dm 的煤落入车厢。的煤落入车厢。dm在在落入车

16、厢前水平速度为落入车厢前水平速度为0，落下后的，落下后的水平速率为水平速率为v。t+dt时刻的水平总动量：时刻的水平总动量：此系统所受的水平外力为牵引力此系统所受的水平外力为牵引力F，由动量定理得：，由动量定理得：取取 m 和和 dm 组成质点系。组成质点系。该系统在该系统在t时刻的水平总量为：时刻的水平总量为：一、质点系动量守恒定律一、质点系动量守恒定律一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，系统的总动量保持不变。系统的总动量保持不变。-动量守恒定律动量守恒定律

17、3.2 动量守恒定律动量守恒定律二、几点说明二、几点说明1 1、动量是矢量。质点组动量守恒，是指质点组内、动量是矢量。质点组动量守恒，是指质点组内所有质点的动量的矢量和在过程中保持不变。所有质点的动量的矢量和在过程中保持不变。例：三个弹性小球用绳例：三个弹性小球用绳扎紧，静止地放在光滑扎紧，静止地放在光滑桌面上。细线剪断前后桌面上。细线剪断前后总动量保持为零。总动量保持为零。2 2、系统内力、系统内力外力时，可使用动量守恒定律处理外力时，可使用动量守恒定律处理问题问题。例：两物体发生碰撞时，撞击力（内力）例：两物体发生碰撞时，撞击力（内力）比空气阻力、摩擦力甚至重力都大得多，比空气阻力、摩擦力

18、甚至重力都大得多，近似认为满足动量守恒定律。近似认为满足动量守恒定律。3 3、实际问题中，常使用动量守恒矢量式的直角坐、实际问题中，常使用动量守恒矢量式的直角坐标分量式。标分量式。例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下，例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下，这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总动量在水平方向上的分量守恒。动量在水平方向上的分量守恒。4 4、动量定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性系。、动量定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性系。求：求：1 1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；、若人匀速

19、运动，他到达车尾时车的速度；2 2、车的运动路程；、车的运动路程；3 3、若人以变速率运动，上述结论如何？、若人以变速率运动，上述结论如何？例例1、m解解：以人和车为研究系统，取：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统地面为参照系。水平方向系统不受外力作用，动量守恒。不受外力作用，动量守恒。初态：初态：人和车相对地面以速人和车相对地面以速率率v0 沿沿x轴正向运动，该质点系轴正向运动，该质点系动量的水平分量为动量的水平分量为(M+m)v0末态：末态：车相对地面的速率为车相对地面的速率为v，人相对于车的速人相对于车的速率为率为-u，则人相对于地面的速率为，则人相对于地面的速率为(-u+

20、v)，质点系，质点系动量的水平分量为动量的水平分量为Mv+m(-u+v)m2)2)车的运动路程为：车的运动路程为：由水平方向动量守恒：由水平方向动量守恒：1)1)人匀速运动，到达车尾时小车的速度为人匀速运动，到达车尾时小车的速度为：u=l/t由于人匀速运动，即由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度为常量，故小车的运动速度v也为常量。此时车的运动路程可用也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。进行计算。3)若人以变速度运动，即人相对于小车的速率若人以变速度运动，即人相对于小车的速率u不不是一个恒定值是一个恒定值在任意时刻，车与人组成的质点系的动量在水平方向在任意时刻，车与人组成

21、的质点系的动量在水平方向的分量仍守恒，即仍满足下面的关系式的分量仍守恒，即仍满足下面的关系式由此解得小车的运动速率为：由此解得小车的运动速率为：u 随时间变化，故小车的运动速率也随时间变化。随时间变化，故小车的运动速率也随时间变化。小车的运动距离须用积分来求。小车的运动距离须用积分来求。车的运动距离为：车的运动距离为：人匀速和变速运动人匀速和变速运动得到的结果相同。得到的结果相同。例例2、一个原先静止的装置炸裂为质量相等的、一个原先静止的装置炸裂为质量相等的三块。已知其中两块在水平面内各以三块。已知其中两块在水平面内各以80m/s和和60m/s的速率沿垂直的两个方向飞开。求第三的速率沿垂直的两

22、个方向飞开。求第三块的飞行速度。块的飞行速度。v2yxv1Ov3q q分析：分析：以三个碎块为一质以三个碎块为一质点系。已知两碎块在水平点系。已知两碎块在水平面内运动，而质点系又不面内运动，而质点系又不受外力（由于内力远大于受外力（由于内力远大于外力，重力、空气阻力等外力，重力、空气阻力等可忽略），故第三块碎块可忽略），故第三块碎块也必在水平面内运动，且也必在水平面内运动，且质点系动量守恒。质点系动量守恒。解：解：如图在水平面内建立直角坐标系如图在水平面内建立直角坐标系xoyv2yxv1Ov3q q质点系炸裂前动量为零，由于动量守质点系炸裂前动量为零，由于动量守恒，炸裂后总动量应该也为零：恒，

23、炸裂后总动量应该也为零：因为三碎块质量相等，故有：因为三碎块质量相等，故有：设第三碎块的速度方向与设第三碎块的速度方向与x 轴成轴成q q 角，将上面的矢角，将上面的矢量式改写为分量形式，有：量式改写为分量形式，有：两式联立求解可得：两式联立求解可得：3.3 火箭飞行原理火箭飞行原理火箭是其内部燃料火箭是其内部燃料(液态氢液态氢)在氧化剂在氧化剂(液态氧液态氧)作用下作用下急剧燃烧，产生炽热气体并以高速向后喷射致使火箭急剧燃烧，产生炽热气体并以高速向后喷射致使火箭主体获得向前的动量。主体获得向前的动量。在在t 时刻，时刻，dm 尚未被喷出，火箭总质尚未被喷出，火箭总质量相对于地面的速度为量相对

24、于地面的速度为v，动量为，动量为Mv在在t+t 时刻，时刻，dm 被以相被以相对于火箭的速度对于火箭的速度(称为喷射速称为喷射速度度)u 喷出，火箭则以喷出，火箭则以v+dv 的的速度相对于地面飞行。速度相对于地面飞行。时刻时刻我们可以将火箭的总质量我们可以将火箭的总质量M M 分成两部分，一部分分成两部分，一部分是火箭主体质量是火箭主体质量M-M-dm，另一部分则是行将被喷出的，另一部分则是行将被喷出的物质质量物质质量dm。将火箭主体和喷射的物质视为一个系统，并忽略作将火箭主体和喷射的物质视为一个系统，并忽略作用于系统的仅有的一个外力用于系统的仅有的一个外力重力，则根据动量重力，则根据动量守

25、恒定律，在飞行方向的分量式为：守恒定律，在飞行方向的分量式为：燃料喷出燃料喷出后火箭主后火箭主体的质量体的质量燃料喷出燃料喷出后火箭主后火箭主体的速度体的速度燃料燃料质量质量燃料相对燃料相对于地面的于地面的速度速度燃料喷出后火箭系统燃料喷出后火箭系统的在飞行方向上的动的在飞行方向上的动量（末态动量）。量（末态动量）。燃料喷出前火箭系燃料喷出前火箭系统在飞行方向上的统在飞行方向上的动量动量(初态动量初态动量)。由于火箭上燃料由于火箭上燃料dm的喷射，使火箭总质量的喷射，使火箭总质量M减少，减少，其减少量可记为其减少量可记为-dM，故有，故有dm=-dM于是上式变为（将于是上式变为（将dm用用-d

26、M 表示）：表示）：(忽略二阶无穷小量忽略二阶无穷小量dMdv)设：火箭点火时质量为设：火箭点火时质量为mi，初速度为，初速度为vi；燃料烧完；燃料烧完时火箭的质量为时火箭的质量为mf，末速度为，末速度为vf。上式积分可得：上式积分可得：如果如果vi=0，火箭主体在其质量从，火箭主体在其质量从 M0 变到变到M 时所达时所达到的速度为：到的速度为：采用多级火箭。运行时，先让第一级火箭发动，推动采用多级火箭。运行时，先让第一级火箭发动，推动火箭主体前进；当第一级火箭燃料耗尽时让其自脱落，火箭主体前进；当第一级火箭燃料耗尽时让其自脱落，以减小以减小M 的值。第二级火箭开始工作，继续推动火箭的值。第

27、二级火箭开始工作，继续推动火箭前进，依次进行下去，直到最后一级火箭的燃耗尽并前进，依次进行下去，直到最后一级火箭的燃耗尽并脱落，剩脱落，剩余余的部分则是有效负载，能达到相当大的速的部分则是有效负载，能达到相当大的速度。度。式中，式中，M0是火箭未发射时的质量，包括负载、火箭外是火箭未发射时的质量，包括负载、火箭外壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量；壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量；M是负载及火是负载及火箭外壳等结构的质量。箭外壳等结构的质量。如如何何提提高高火火箭箭的的速速度度？方法一：提高喷射速度方法一：提高喷射速度u（难以实现）（难以实现）化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值为化学燃烧过程

28、所达到的喷射速度理论值为5 510103 3m/sm/s，而实际能达到的只有此值的一半左右。难以再提高。而实际能达到的只有此值的一半左右。难以再提高。方法二：提高质量比方法二：提高质量比M0/M（实际可行）（实际可行）3.4 质心质心一、质心的定义一、质心的定义质心就是一个质点系的质量中心质心就是一个质点系的质量中心Cm1m2m3XZYOC设一个质点系由设一个质点系由n个质点组成，以个质点组成，以m1,m2,mi,mn 分别表示各质点的质量；以分别表示各质点的质量；以 分别表示各分别表示各质点对某一坐标原点的位置矢量。质点对某一坐标原点的位置矢量。质点系质心的位置矢量在直角坐标系的分量质点系质

29、心的位置矢量在直角坐标系的分量式可表示为：式可表示为：质心位矢与坐标系的选择有关。但质心相对于质心位矢与坐标系的选择有关。但质心相对于质点系内各质元的相对位置是不随坐标的选择质点系内各质元的相对位置是不随坐标的选择而变化的，它是质点质本身的一个特定位置而变化的，它是质点质本身的一个特定位置.对于一个大的连续物体，可以认为是由许多质点组对于一个大的连续物体，可以认为是由许多质点组成的。若以成的。若以dm表示其中任一质元的质量，以表示其中任一质元的质量，以 表示表示该质元的位置矢量，则大物体该质元的位置矢量，则大物体(质量连续分布的物体质量连续分布的物体)的质心位置可用积分求得。的质心位置可用积分

30、求得。分分量量表表达达式式1 1)积分遍及所有质点系质量，如果质量为体分积分遍及所有质点系质量，如果质量为体分布，则布，则dm=dV；面分布则；面分布则dm=dS；线分布；线分布则则dm=dl2 2)对于质量分布均匀，形状又对称的实物，对于质量分布均匀，形状又对称的实物，质心位于其几何中心处。质心位于其几何中心处。C例例1、如图所示为水分子的结、如图所示为水分子的结构，它是等腰三角形，高为构，它是等腰三角形，高为h。氢原子质量为氢原子质量为mH，氧原子质，氧原子质量为量为mO。计算质心位置。计算质心位置。xOyhmHmHmO解：如图选取坐标系。根据解：如图选取坐标系。根据质心定义，有：质心定义

31、，有：例例2、一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径、一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为为R，求此半圆形铁丝的质心。，求此半圆形铁丝的质心。xOydldq qq qC分析：分析：铁丝为线性连续体，用积分来求。铁丝为线性连续体，用积分来求。xOydldq qq qC解：解：如图建立坐标系如图建立坐标系,坐标原点位于坐标原点位于圆心。半圆对圆心。半圆对y轴对称，质心应轴对称，质心应在在y 轴上。轴上。设圆弧的线密度为设圆弧的线密度为，则长度为，则长度为dl 的质元的质量为：的质元的质量为：此质元的坐标为：此质元的坐标为：根据质心的积分公式：根据质心的积分公式：即：质心在即：质心在y轴上离圆心轴上离圆心2R/

32、p p处。处。例例3、求质量均匀的一半径为求质量均匀的一半径为R 的半球的质心的半球的质心位置。位置。以以dm 表示表示 z 到到 z+dz 一层薄圆盘的质量，则：一层薄圆盘的质量，则：解：如图选取坐标系。图为半圆球的剖面解：如图选取坐标系。图为半圆球的剖面考虑高为考虑高为z处垂直于处垂直于z 轴的半球轴的半球体的圆切面，该圆切面的半径体的圆切面，该圆切面的半径为为Rcosq q。圆面积为圆面积为p p(Rcosq q)2。设该球的体密度为设该球的体密度为r r。xOzq qzdz根据质心积分公式：根据质心积分公式：由对称性由对称性xc=0 yc=0z 到到 z+dz 一层薄圆盘的质量：一层薄

33、圆盘的质量：xOzq qzdz3.5 质心运动定理质心运动定理一、质心速度一、质心速度质点系的总动量等于质点系总质量乘以质心的速度速度的定义式：速度的定义式：根据质心公式：根据质心公式：可求得质心运动的速度为：可求得质心运动的速度为：质点系总动量质点系总动量 质心动量等于质点系总动量。因此，在考虑质点质心动量等于质点系总动量。因此，在考虑质点组总动量时，总可以看成是一个质点的动量，该组总动量时，总可以看成是一个质点的动量，该质点集中了质点系全部的质量并以质速度运动。质点集中了质点系全部的质量并以质速度运动。根据根据也可等价地表示为：也可等价地表示为：即：在一段时间内，外力合力的冲量等于质心动量

34、即：在一段时间内，外力合力的冲量等于质心动量的改变量。的改变量。质点系动量定理质点系动量定理二、质心运动定理二、质心运动定理（讨论质心运动所遵从的规律）（讨论质心运动所遵从的规律）质点系总动量随时间的变化率为：质点系总动量随时间的变化率为：质心运动的加速度质心运动的加速度一个质点系的质心运动和该质点系所受外力的关系为：一个质点系的质心运动和该质点系所受外力的关系为：质心运动定理质心运动定理质心运动定理：质心运动定理：质点系质心的运质点系质心的运动动,可以看作一个质点的运动可以看作一个质点的运动:即即假设整个质点系的质量均集中在假设整个质点系的质量均集中在质心这一点质心这一点,全部外力也集中于全

35、部外力也集中于这一点这一点.Cm1m2m3m41 1、质心的运动就像一个质点的运动。、质心的运动就像一个质点的运动。一个质点系内各个质点由于内力和作一个质点系内各个质点由于内力和作用，它们的运动情况可能很复杂，但用，它们的运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单，只由质点所质心的运动可能很简单，只由质点所受的合外力决定。受的合外力决定。甩手榴弹甩手榴弹空心筋斗空心筋斗2 2、只有外力才能改变质心的运动状态。质、只有外力才能改变质心的运动状态。质点系的内力不能改变质心的运动状态。点系的内力不能改变质心的运动状态。光滑冰面上匀速运动的钣手光滑冰面上匀速运动的钣手内力不改变系统总动量内力不改变系统

36、总动量请观察圆锥体的运动。请观察圆锥体的运动。锥体上滚演示实验锥体上滚演示实验圆锥体为什么会向上运动？圆锥体为什么会向上运动？回答：回答：质心其实是在下降，质心其实是在下降，符合质心运动规律。符合质心运动规律。三、质心参照系三、质心参照系质心参照系：质心参照系：相对于相对于质心参照系，质点系的总动量为零。质心参照系，质点系的总动量为零。因此质心参照系又叫零动量参照系。因此质心参照系又叫零动量参照系。质心参照系用来研究质点系中各质点的运动较为质心参照系用来研究质点系中各质点的运动较为方便。方便。若质心系作加速运动，则质心参照系为平动非惯若质心系作加速运动，则质心参照系为平动非惯性系，各质点都需考

37、虑相应的惯性力性系，各质点都需考虑相应的惯性力例：水平光滑的铁轨例：水平光滑的铁轨上有一小车，车长上有一小车，车长L，质量为质量为M，车上有一，车上有一人，质量为人，质量为m，人和车，人和车原来静止，现设人从原来静止，现设人从车的一头走到另一走车的一头走到另一走到另一头，问人和车到另一头，问人和车各移动距离为多少？各移动距离为多少？分析：分析：将人和车看作一个系统，因人和车之间的将人和车看作一个系统，因人和车之间的内力不能改变质心的运动，故质心的内力不能改变质心的运动，故质心的X坐标在人运坐标在人运动前后不变。可利用此点解题。动前后不变。可利用此点解题。LmML/2XL/2L/2L/2OX人与

38、车都静止时的质心坐标为：人与车都静止时的质心坐标为：人走至另一头时的质心坐标为：人走至另一头时的质心坐标为：LmOXML/2X设车移动的距离为设车移动的距离为X，人移，人移动的距离为动的距离为x。有。有x=L-XyxOq qm2mmx2xcx1分析：分析：题意指明求质心的题意指明求质心的着地点，应用质点系求解。着地点，应用质点系求解。质心的运动由质点系所受质心的运动由质点系所受合外力决定，且质心动量合外力决定，且质心动量等于质点系的总动量，故等于质点系的总动量，故我们可以先利用动量定理我们可以先利用动量定理求出质心的落地点，再根求出质心的落地点，再根据质心公式求出两个弹片据质心公式求出两个弹片

39、的着地点。的着地点。yxOq qm2mmx2xcx1解：如图选取坐标系。解：如图选取坐标系。炮弹若没炸裂，则它的着地点为：炮弹若没炸裂，则它的着地点为：最高点的最高点的x坐标为坐标为x/2。由于第一部分在最高点竖直。由于第一部分在最高点竖直下落，所以着地点为：下落，所以着地点为：质点系的外力是重力，始终保持不质点系的外力是重力，始终保持不变，所以质心的运动和未炸裂的炮变，所以质心的运动和未炸裂的炮弹一样，故质心的着地点为：弹一样，故质心的着地点为：根据质心定义且两部根据质心定义且两部分同时着地，有：分同时着地，有：由此可得：由此可得：3.6 质点的角动量定理质点的角动量定理一、力矩一、力矩静止

40、的质点受到力的作用时，将开始运动；如果外静止的质点受到力的作用时，将开始运动；如果外力产生力矩，物体将转动，如外力不产生力矩，物力产生力矩，物体将转动，如外力不产生力矩，物体将不转动。体将不转动。o m由力矩的定义可知：由力矩的定义可知：注意：定义式中注意：定义式中r 在前，在前，F 在后。在后。O二、角动量二、角动量o m定义：定义：1、为表示是对哪个参考、为表示是对哪个参考点的角动量点的角动量,通常将角通常将角动量动量L画在参考点上。画在参考点上。2、角动量是矢量，其大小为、角动量是矢量，其大小为方向由方向由 决定。决定。3、SI单位：单位：角动量的定义并没有限定质点只能作角动量的定义并没

41、有限定质点只能作曲线运动或不能作直线运动。曲线运动或不能作直线运动。质点作圆周运动质点作圆周运动XYZO质点作直线运动质点作直线运动三、角动量定理三、角动量定理1 1）角动量定理的微分形式）角动量定理的微分形式对一个质点：对一个质点：质点的角动量定理质点的角动量定理XYZO根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：可得：可得：作用于质点的合力对某参考点作用于质点的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考的力矩，等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。点的角动量随时间的变化率。质点角动量定理由牛顿第二定律导出，只适质点角动量定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性系。如需在非惯性系中运用，则应用于惯性

42、系。如需在非惯性系中运用，则应考虑惯性力的力矩。考虑惯性力的力矩。质点角动量定理表明，作用在质点上的合力矩质点角动量定理表明，作用在质点上的合力矩是与角动量的时间变化率有关，而与角动量没有是与角动量的时间变化率有关，而与角动量没有必然的联系。必然的联系。质点角动量定理不仅要求力矩和角动量相对于质点角动量定理不仅要求力矩和角动量相对于同一参考点，并且，该参考点应保持不动。同一参考点，并且，该参考点应保持不动。2 2）角动量定理的积分形式）角动量定理的积分形式称为力矩的角称为力矩的角冲量或冲量矩冲量或冲量矩例：计算氢原子中电子绕原子核作圆周运例：计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角动量。动时的

43、角动量。已知：已知：求：求：L解：以原子核为参考点解：以原子核为参考点此值为狄拉克此值为狄拉克h：M对一个质点而言，若对一个质点而言，若则：则：3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理1 1、角动量守恒定律是宇宙中普、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无论在宏观上遍成立的定律，无论在宏观上还是微观领域中都成立。还是微观领域中都成立。2 2、守恒定律表明尽管自然界千变万化，、守恒定律表明尽管自然界千变万化，变换无穷，但决非杂乱无章，而是严格变换无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制约，变中有不变。地受着某种规律的制约，变中有不变。这反映着自然界的和谐统一

44、。这反映着自然界的和谐统一。什么情况下力矩可能等于零？什么情况下力矩可能等于零？表示质点处于参考点上静止不动。表示质点处于参考点上静止不动。表示所讨论的质点是孤立质点。表示所讨论的质点是孤立质点。孤立质点的动量守恒，角动量也守恒，质点保持静止或作匀速直线运动q q1 1q q2 2q q3 3A AB BCO O表示表示r与与F平行或反平行，其夹角为平行或反平行，其夹角为0或或p p。例如：有心力，即其方向始终指向（或例如：有心力，即其方向始终指向（或背离）固定中心的力，此固定中心背离）固定中心的力，此固定中心称为力心。有心力存在的空间称为称为力心。有心力存在的空间称为有心力场，万有引力场和静

45、电场都有心力场，万有引力场和静电场都属于有心力场。属于有心力场。例例1、质量为、质量为m的质点以速度的质点以速度 从参考点平抛出从参考点平抛出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。的力矩。解：解：XYZO例例2 2、用角动量守恒定律导出开普勒第二定律、用角动量守恒定律导出开普勒第二定律行星单位时间内扫过的面积相等。行星单位时间内扫过的面积相等。O Oab bc c解：行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运解：行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动。由于引力是向心力，故行星受到动。由于引力是向心力，故行星受到的对太阳的力矩为零，行星运动过程的对太阳的力矩为

46、零，行星运动过程中角动量守恒。中角动量守恒。设设:行星质量为行星质量为m，行星绕太阳运动，行星绕太阳运动,在在dt 时时间内，从间内，从a点运动到点运动到b点，其速率为点，其速率为v。dt时间内行星完成的时间内行星完成的位移为：位移为：O Oab bc c根据质点角动量的定义：根据质点角动量的定义：于是有：于是有：径矢单位时间内扫过的面积为：径矢单位时间内扫过的面积为：掠面速度掠面速度由于由于L为恒矢量，故有为恒矢量，故有证毕。证毕。O Oab bc c例例3 3、质量为、质量为m的小球系于的小球系于细绳的一端，绳的另一端细绳的一端，绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒缚在一根竖直放置的细棒上。小

47、球被约束在水平面上。小球被约束在水平面内绕细棒旋转，某时刻角内绕细棒旋转，某时刻角速度为速度为w w1 1，细绳长度为细绳长度为r1。当旋转了若干圈后，由于当旋转了若干圈后，由于细绳缠绕在细棒上，绳长细绳缠绕在细棒上，绳长度变为度变为r2，求此时小球绕，求此时小球绕细棒旋转的角速度细棒旋转的角速度w w2 2r1r2O O分析：分析：小球小球 受受3个力：绳的张力，个力：绳的张力，沿绳指向细棒，对沿绳指向细棒，对O点不产生力矩；点不产生力矩；小球的重力和水平面对小球的支撑小球的重力和水平面对小球的支撑力是一对平衡力，合力矩始终等于力是一对平衡力，合力矩始终等于零。所以小球对于细棒上系点零。所以小球对于细棒上系点(固定固定点点O)的力矩始终等于零，角动量守的力矩始终等于零，角动量守恒。恒。r1r2O O解：根据角动量守恒解：根据角动量守恒小球做圆周运动，对小球做圆周运动，对O的角动量大小为的角动量大小为由此得到：由此得到：