材料力学(土木类)第五章梁弯曲时的位移(2).ppt

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1、上次课回顾：上次课回顾：1 1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角2 2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程3、挠曲线近似微分方程的积分、挠曲线近似微分方程的积分4、积分常数确定、积分常数确定位移边界条件，连续条件，光滑条件。5、积分法求解梁位移的思路：、积分法求解梁位移的思路：建立合适的坐标系；建立合适的坐标系；求弯矩方程求弯矩方程M(x)；建立近似微分方程：建立近似微分方程：用约束条件或连续条件，确定积分常数；用约束条件或连续条件，确定积分常数；求求指定截面的挠度和转角指定截面的挠度和转角 积分求积分求和和5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角

2、由于：由于：1）小变形，轴向位移可忽略；小变形，轴向位移可忽略；简单载荷下梁的挠度和转角见附录简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV。因因此此，梁梁的的挠挠度度和和转转角角与与载载荷荷成成线线性性关关系系，可可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。）线弹性范围工作。例例5-5 利利用用叠叠加加原原理理求求图图a所所示示弯弯曲曲刚刚度度为为EI的的简简支支梁的跨中挠度梁的跨中挠度wC和两端截面的转角和两端截面的转角 A，B。解解：可可将将原原荷荷载载看看成成为为图图b所所示示关关于于跨跨中中C截截面面的的正正 对称和反对称荷载的叠加。

3、对称和反对称荷载的叠加。qBACxyl/2l(a)(b)+lACBq/2Al/2CBl/2q/2q/21）对对正正对对称称荷荷载载，跨跨中中截截面面C的的挠挠度度和和两两端端的的转转角角分别为：分别为：2）对对反反对对称称荷荷载载，跨跨中中截截面面C的的挠挠度度等等于于零零，并并可可分别将分别将AC段和段和CB段看成为段看成为l/2简支梁，即有：简支梁，即有：将将相应的位移进行叠加，即得：相应的位移进行叠加，即得：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）（逆时针）（逆时针）例例5-6 利利用用叠叠加加原原理理求求图图示示弯弯曲曲刚刚度度为为EI的的悬悬臂臂梁梁自由端自由端B截面的挠度和转角。截面的

4、挠度和转角。解解：原原荷荷载载可可看看成成为为图图a和和b两两种种荷荷载载的的叠叠加加，对对应应 的变形和相关量如图所示。的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC12l直线直线wB1(a)qD1qB2wD1FqD1BD直线直线wD1wB2(b)对图对图a，可得可得C截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：由由位移关系可得此时位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）qB1FqC1wC1wC1qC12l直线wB1(a)对图对图b，可得可得D截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：同理可得此时同理可得此时B截面

5、的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）qD1qB2wD1FqD1BD直线wD1wB2(b)将将相应的位移进行叠加，即得：相应的位移进行叠加，即得：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）例例5-7 由由叠叠加加原原理理求求图图示示弯弯曲曲刚刚度度为为EI的的外外伸伸梁梁C截截面的挠度和转角以及面的挠度和转角以及D截面的挠度。截面的挠度。解解：可可将将外外伸伸梁梁看看成成是是图图a和和b所所示示的的简简支支梁梁和和悬悬臂臂 梁的叠加。梁的叠加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）对图）对图a，其又可看成为图其又可看成为图c

6、和和d所示荷载的组合。所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图图c中中D截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角为：截面的转角为：图图d中中D截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角为：截面的转角为：将将相应的位移进行叠加，即得：相应的位移进行叠加，即得：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）（2）对）对图图b，C截面的挠度和转角分别为：截面的挠度和转角分别为：所以：所以：原原外伸梁外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqBawCq例例5-8 利用叠加原理求图示弯曲刚度为利用

7、叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁的中间铰梁铰接点铰接点B处的挠度和处的挠度和B点右截面的转角以及点右截面的转角以及D截面的挠截面的挠度，其中：度，其中：F=2qa。解解：可可在在铰铰接接点点处处将将梁梁分分成成图图a和和b所所示示两两部部分分，并并可可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：qAEIEIFBCa/2DaaF/2wB直线BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a)BCq(b)F/2BC图图a和和b中分别给出了两部分的变形情况。中分别给出了两部分的变形情况。(c)并且图并且图b又可分解为图又可分解为图c所示两种载荷的组合。所示两种载荷的组合。

8、（1）对图）对图b，可得其可得其B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：进行相应的叠加可得：进行相应的叠加可得：（向下）（向下）（逆时针）（逆时针）（2）图图a可可看看成成为为右右支支座座有有一一定定竖竖直直位位移移（位位移移量量为为wB）的简支梁，此时的简支梁，此时D截面的挠度为：截面的挠度为：（向下）（向下）F/2wB直线BwDFw/2AF(a)例例5-9 用用叠叠加加原原理理求求图图示示弯弯曲曲刚刚度度为为EI的的悬悬臂臂梁梁B截截面的挠度和转角面的挠度和转角。解解：分分布布荷荷载载可可看看成成为为无无数数微微小小集集中中荷荷载载所所组组成成，求梁的位移也可利用叠加原理。任取一个微段求

9、梁的位移也可利用叠加原理。任取一个微段dx。xdxlABq0yxq(x)可将该微段上的均布力看成为作用在可将该微段上的均布力看成为作用在x处的一个处的一个微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图a所示。所示。xxABq(x)dxdwBl(a)由由附录附录IV可知该微力作用下可知该微力作用下x处梁的位移为：处梁的位移为：对图对图a所示任意截面所示任意截面x处取微段处取微段dx，则作用在微则作用在微段上的微集中荷载为：段上的微集中荷载为：在在x=0,l范范围围对对q(x)dx的的作作用用进进行行叠叠加加，相相当当于于对上两式在前述范围内积分，即：对上两式在前述范

10、围内积分，即：其在其在B处产生的挠度和转角分别为：处产生的挠度和转角分别为：5-4 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施1、梁的刚度校核 保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：与与为许可值，可查设计手册。为许可值，可查设计手册。其中，其中，例例5-10 5-10 图示简支梁，图示简支梁，F=40kN,l=4.5m,=150MPa,w/l=1/400,E=200GPa,选择工字钢型号。选择工字钢型号。解：解：1 1、由强度条件选择工字、由强度条件选择工字钢型号：钢型号：应选22a工

11、字钢，Wz=309cm3,Iz=3400cm42、校核刚度、校核刚度选择选择22a工字钢。工字钢。2）减少梁的跨度或增加支承。）减少梁的跨度或增加支承。2、提高刚度措施 除除外外加加载载荷荷外外，梁梁的的位位移移w、还还与与梁梁的的弯弯曲曲刚刚度度EI成成反反比比，与与跨跨长长l的的n次次方方成成正正比比，因因此此，提提高高刚度的措施有：刚度的措施有：1）升高）升高EI。各种钢材各种钢材E相差不大，主要提高相差不大，主要提高I，在，在截面面积截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。如如工字形、箱形等截面。工字形、箱形等截面。如下图所示结构：如下图所示结

12、构：超静定梁超静定梁:BABACB5-5 弯曲应变能或或图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：rq (b)OqqM eM e(a)M elM e则应变能为：则应变能为：可见，满足线性关系。可见，满足线性关系。外力功：外力功：功能转换定律：功能转换定律：或：或：全梁的弯曲应变能为：全梁的弯曲应变能为：需分段列出时，需分段列出时，V 分段求，然后求和。分段求，然后求和。对对横力弯曲：弯曲应变能横力弯曲：弯曲应变能+剪切应变能剪切应变能对对弯弯曲曲应应变变能能，取取dx段段（见见左左图图）：dx很很小小，dM(x)为为一一阶阶无无穷小量，则穷小量，则dx段上的应变能为段上的应变能为对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。M(x)+dM(x)M(x)F(x)Srdqdx例例5-11 求求图图示示弯弯曲曲刚刚度度为为EI的的悬悬臂臂梁梁内内储储存存的的应应变能，并利用功能原理求变能，并利用功能原理求A端的挠度端的挠度wA。解：梁的弯矩方程为：解：梁的弯矩方程为：梁内的梁内的应变能为：应变能为：外载外载F所作的功为：所作的功为：由由功能定理有：功能定理有：xwABF Al即：即：最后可得最后可得A端的挠度为：端的挠度为：