2-1离散型随机变量及其概率分布.ppt

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1、 随机变量的分布与数字特征随机变量的分布与数字特征第二章第二章1一、随机变量的概念、性质、分类 2-1 离散型随机变量及其分布律四、小结二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布三、二项分布、泊松分布及其它分布三、二项分布、泊松分布及其它分布21.随机变量的定义一、随机变量的概念一、随机变量的概念表示表示表示表示表示表示3定义定义 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母 X，Y，Z,或希腊或希腊字母字母,，,.等表示。等表示。4随机变量随着试验的结果不同而取不同的值，随机变量随着试验的结果不同而取不同的值，由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一

2、定的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律。此随机变量的取值也有一定的概率规律。(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数，但它与普通的函数有随机变量是一个函数，但它与普通的函数有着本质的差别，普通函数是定义在实数轴上的着本质的差别，普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的而随机变量是定义在样本空间上的.(样本空间的样本空间的元素不一定是实数元素不一定是实数)2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同5实例实例 1 掷一个硬币，观察出现的结果掷一个硬币，观察出现的结果,共有两种共有两种情况情况:若用若

3、用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X(e)是一个随机变量。是一个随机变量。6若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时,则有则有可得随机变量可得随机变量 X,(e)实例实例 2 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:7 性质性质 1 随机变量取任何值的概率均为非负。随机变量取任何值的概率均为非负。二、随机变量的性质二、随机变量的性质性质性质 2 随机变量取所有可能值的概率为随机变量取所有可能值的概率为 1。8三、随机变量的分类三、随机变量的分类离散型离散型(1)离散型随机变量

4、所取的可能值是有限多个或离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个无限多个 (可列个可列个),),叫做离散型随机变量。叫做离散型随机变量。观察掷一个骰子出现的点数。观察掷一个骰子出现的点数。随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例 11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它9实例实例 2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 连续射击连续射击,直至直至命中时的射击次数命中时的射击次数,则则 X 的可能值是的可能值是:实例实例 3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是 0.8,现该射手射了现该射手射了 30 次次,则随

5、机变量则随机变量 X 记为记为击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:10实例实例 2 随机变量随机变量 X 为为 测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b)内的任一值。内的任一值。实例实例 1 随机变量随机变量 X 为为 灯泡的寿命灯泡的寿命.(2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量。叫做连续型随机变量。则则 X 的取值范围为的取值范围为 112-1.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一、概率函数一、概率

6、函数二、分布函数二、分布函数12说明说明一、离散型随机变量的分布律定义定义13离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或14二、分布函数的概念 为了对离散型和连续型随机变量为了对离散型和连续型随机变量 r.v（随意变数）以及更广泛类型的（随意变数）以及更广泛类型的 r.v 给出给出一种统一的描述方法，下面引进了分布一种统一的描述方法，下面引进了分布函数的概念。函数的概念。15 161.分布函数的定义分布函数的定义设设 X 是一个是一个 r.v，称，称为为 X 的分布函数的分布函数.记作记作 X F(x)或或 FX(x).|x 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标看

7、作数轴上随机点的坐标,则分则分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X 落在区间落在区间-,x的概率。的概率。17 问：在上式中，问：在上式中，X,x 皆为变量。皆为变量。二者有什二者有什么区别？么区别？x 起什么作用？起什么作用？F(x)是不是概率？是不是概率？X 是随机变量是随机变量,x 是参变量。是参变量。F(x)是是 r.v X 取值不大于取值不大于 x 的概率。的概率。18 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落在区间（在区间（x1,x2的概率为：的概率为：Px1 X x2=P X x2-P X x1 =F(x2)-F(x1)因此，只要知道了随机变量

8、因此，只要知道了随机变量 X 的分布的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述。函数，它的统计特性就可以得到全面的描述。19说明说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况。的概率情况。(2)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量。们可以用数学分析的工具来研究随机变量。202.分布函数的性质(单调不减性单调不减性)21即任一分布函数处处右连续。即任一分布函数处处右连续。22重要公式重要公式证明证明23离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变

9、量离散型随机变量分布律与分布函数分布律与分布函数的关系的关系24例 1 设某药检所从送检的药品中先后抽取三件，如果送检的 10 件中有 2 件失效，试列出检验出次品数 的概率分布表，并求其分布函数。解 由检验出次品数是随机变量 ，其可能取值为 0，1，2；通过古典概率的定义，计算可得25所以，其概率分布如右表。0120.46670.46670.066626当 时，当 时，当 时，当 时，于是，的分布函数为从表可知，的分布函数为：27请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗?答答不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币,令令

10、28补充例补充例 2 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币,令令求求随机变量随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解29302-1.3、常见离散型随机变量的概率分布311.二项分布二项分布1)、贝努利概型、贝努利概型试验结果具有对立性的 次独立重复试验称为 重贝努利试验，简称贝努利试验。(1)对立性，每次试验的结果只能是对立事件中的一个，要么出现 ，要么出现 贝努利试验的特点：(2)独立性，每次试验的结果互不影响，且各次试验中事件 出现的概率都相等.32例例2 设某药治某病的治愈率为 ，现在用此药试治该病5例，问治愈3例的概率是多少？解解 假设 第 例未治愈 第 例治愈，那么，假设 治愈3例 故治疗5例就

11、是做5次贝努利试验。治疗5例治愈3例的所有结果为，如下：33于是又 又 种事件 互相排斥，因此 故用此药试治该病5例，治愈3例的概率为 所以 34定理定理(贝努利公式)在贝努利试验中，若事件 在一次试验中出现的概率为 则在 重试验中事件恰好出现 次的概率为 如果上例的治愈率为0.7，那么治疗5例治愈3例的概率就是35若若 X X 的分布律为：的分布律为：其中其中 q q 1 1 p p则称随机变量则称随机变量 X X 服从参数为服从参数为 n,pn,p 的的二项分布二项分布 记为记为36两个基本性质(1)(2)37例例4 设 求 解解 直接用公式计算用查表法计算更简便情况1 38当二项分布中的

12、概率 较大时 为其对立事件的概率 但可转化若事件 出现的次数 那么其对立事件 出现的次数 其中 因此 记住较大时 情况2 39例例5 已知 求 解解 设 为 所代表事件的对立事件，则 其中 所以 40二项分布的最可能成功次数二项分布的最可能成功次数 使 取最大值时的 称为二项分布的二项分布的最可能值最可能值就是 次独立重复试验中事件 最可能出现的次数，记为 41当 时,有 单调增加 当 时,有 单调减少 若 是整数，则 这时 故最可能值 是 和 若 是非整数，则 最可能值 42例如 最可能值为4；最可能值为3和2；最可能值为2？43例例6 据报道，有10的人对某药有肠道反应。为了考察此药的质量

13、，现随机选取5人服用此药，试求：(1)其中 个人(2)不多于2人有反应的概率；(3)有人有反应的概率。有反应的概率；解解 随机选取5人服药，各人间对药物的反应具有独立性，且每人服药有反应的概率均为0.10，这就相当于做5次独立无重复试验，即 的贝努利试验。故反应的人数 按二项分布的计算概率的方法可得（分布表如下表）：440123450.590490.328050.072900.008100.000450.00001(1)有反应的概率如上表(2)不多于2人有反应的概率：这说明，服药的人有不多于2人有反应几乎是肯定的45（99.144），而多于2人有反应几乎是不可能的。因此，试验中如果有超过2人有

14、反应，则可以认为10的人有反应的报道不真实。(3)有人有反应的概率 46例例7 某批产品有80的一等品，若进行重复抽样试验，设共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值 ，并用二项分布公式验证这一结果。若4个样品中没有或只有1个一等品，试说明此产品的质量.解解 由题意可知，抽检4个样品，相当于做4重贝努利试验，其中一等品的个数 因为 为整数，所以 的最可能值为4和3 47的概率分布如下表所示。012340.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096通过上表可以看出，随机变量 和 时，其概率最大，与前面的推断结果一致。由表还可以看出，4个样品中没有或只有一个一等品的概率为“

15、小概率原则”概率不超过0.05的事件算作小概率事件 48分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大，且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又大，且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理。因而此抽样可近似当作放回抽样来处理。例例1 1 备份题49解解50图示概率分布图示概率分布512.泊松分布泊松分布(稀有事件模型稀有事件模型)52泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个

16、数的情况时,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布.53地震地震 在生物学、医学、工业统计、保险科学及在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 ,泊松分布是常见的。泊松分布是常见的。例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布。都服从泊松分布。火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水54电话呼唤次数电话呼唤次数

17、交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学、医学、工业统计、保险科学及在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 ,泊松分布是常见的。泊松分布是常见的。例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布。都服从泊松分布。5556泊松定理泊松定理（了解）（了解）57二项二项分布分布 泊松分布泊松分布n很大很大,p 很小很小上面我们提到上面我们提到5859 6061 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定

18、理计算所求概率为所求概率为解解补充例补充例10 10 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为 0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有 1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于 2 的概率是多少的概率是多少?62设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取 0 与与 1 两个值两个值,它的它的分布律为分布律为3.两点分布两点分布实例实例 1“抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况。况。则称则称 X 服从服从(0

19、-1)分布或两点分布分布或两点分布.记为记为 Xb(1,p)63 随机变量随机变量 X 服从服从(0-1)分布。分布。其分布律为其分布律为64 两点分布是最简单的一种分布，任何一个只两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于都属于两点分布。两点分布。说明说明654.几何分布几何分布若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从几何分布。服从几何分布。实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p，对该批产品做，

20、对该批产品做有放回的抽样检查，直到第一次抽到一只次品为有放回的抽样检查，直到第一次抽到一只次品为止止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品)，那么所抽到的，那么所抽到的产品数目产品数目 X 是一个随机变量是一个随机变量,求求 X 的分布律。的分布律。66所以所以 X 服从几何分布。服从几何分布。说明几何分布可作为描述某个试验说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功首次成功”的概率模型。的概率模型。解解675.超几何分布超几何分布设设 X 的分布律为的分布律为 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到。到。说明说明68离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结超几何分布超几何分布69