复变函数---第一章.ppt

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1、 场论与复变函数场论与复变函数主讲教师：张静 Email:复变函数 1.复数与复变函数 2.解析函数 3.复变函数的积分 4.级数 5.留数 6.共形映射简介简介场论 1.矢量分析 2.场论 3.哈密顿算子 简介简介第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一、二、三节第一、二、三节 复数及其代数运算复数及其代数运算第四、五、六节第四、五、六节 复复变函数变函数（概念、极限、连续）（概念、极限、连续）1-3 复数及其代数运算复数及其代数运算一、复数的概念一、复数的概念注意注意:复数不能比较大小.第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算二、复数的几种表示方法二、复数的几种表示方法1.代数法

2、代数法:2.几何法几何法:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算r3.向量法向量法:复数的模三角不等式几何上第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算复数的辐角:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算4.三角法三角法:5.指数法指数法:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算三、复数的运算（指集合相等）第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算特别的 几何意义几何意义:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算（指集合相等）第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算4.共轭复数的运算第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算5.幂与根幂与根幂:（德摩佛公式De Moi

3、vre第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算方根方根:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算四、曲线的复数方程四、曲线的复数方程第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算例1 指出下列方程表示的曲线解解:法法 1.法法 2.第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算解解:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算解解:解解:由向量的性质第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算解解:由几何意义，圆的方程为第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算例4 指出满足下列条件的点 z 的全体所构成的图形.解解:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算解解:第第一一节节复复数数

4、及及其其代代数数运运算算解解:如图:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算另解另解:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算五、复球面五、复球面作一球面与复平面在坐标圆点相切第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算规定规定:称球面为复球面第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算4-6 复变函数（极限、概念、连续）复变函数（极限、概念、连续）一、区域一、区域1.邻域邻域:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）2.内点内点:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续

5、续）3.开集开集:若G内每一点都是内点，称G是开集4.区域区域:连通的开集称为开区域，简称区域（连通集是指集合内任何两点可用完全属于5.边界点边界点:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）集合的折线连接起来）的点，也有不属于D中的点，称P为D的边界点。有属于D6.闭区域闭区域:7.有界区域有界区域:称D为有界区域，否则，为无界区域.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）二、单连通与复连通域二、单连通与复连通域1.平面曲线的几个概念平面曲线的几个概念（1）连续曲线）连续曲线:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（

6、概概 念念、极极 限限、连连 续续）称为复变量实参数曲线方程。（2）光滑曲线）光滑曲线:（3）简单曲线）简单曲线:(直观上为无重点曲线);第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）则称曲线为简单闭曲线.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）2.单连通区域单连通区域:若区域B内任何一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的变形而缩成一点，则称B为单连通区域.多连通区域多连通区域:不是单连通的连通区域.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）单连通域（无洞）多连通域（有洞）B三、复变函数三、

7、复变函数1.定义定义:则称复变数w是复变数z的函数.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）2.复变函数与实变函数的关系复变函数与实变函数的关系第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）例如:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）称函数 为映射解解:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）解解:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续

8、续）4uv例如例如:注注:Z平面与W平面重合.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）解解:法法 1.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）Z法法 2 四、复变函数的极限和连续性四、复变函数的极限和连续性1.极限定义极限定义:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）几何意义几何意义:说明说明:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）定理定理1:第第 二二 节节 复复

9、 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）注注:此定理的意义在于，复变量函数极限问题，可转化为求实变量二元函数的极限问题.证明:书上26页证明证明:法法 1:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）k取不同时，极限值不相等.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）法法 2:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）定理定理2（四则运算法则）（四则运算法则）第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）2.连续定义连续定义:连续的等价定义连续的等价定义:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）定理定理 3:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）定理定理4:（1）连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍连续.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）例如例如:特别指出特别指出:第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概概 念念、极极 限限、连连 续续）