同济高数1_2数列的极限.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入目录 上页 下页 返回 结束 正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积目录 上页 下页 返回 结束 2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不

2、竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”目录 上页 下页 返回 结束 二、数列极限的定义例如例如目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数目录 上页 下页 返回 结束 问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:目录 上页 下页 返回 结束 目录

3、 上页 下页 返回 结束 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：数列极限的定义数列极限的定义目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释:其中其中目录 上页 下页 返回 结束 数学语言描述:例例.设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S.当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 (刘徽割圆术)目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知证明证

4、证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为0.目录 上页 下页 返回 结束 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明数列是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,

5、则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,但因交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.目录 上页 下页 返回 结束 2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如虽有界但不收敛.有数列目录 上页 下页 返回 结束 3.收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若且有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)则则目录 上页 下页 返回 结束*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列是数列的任一

6、子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*目录 上页 下页 返回 结束 四、极限存在准则四、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 1.夹逼准则夹逼准则(准则1)(P50)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证证:利用夹逼准则.且由目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2）(P52)(证明略)目录 上页 下页 返回 结束 例例6.

7、设证明数列极限存在.(P53P54)证证:利用二项式公式,有目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正正又比较可知目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又内容小结 目录 上页 下页 返回 结束*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N,使当时,证证:“必要性”.设则时,有 使当因此“充分性”证明从略.有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼

8、准则;单调有界准则;*柯西准则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 1,*3(2),*4 P56 4(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则目录 上页 下页 返回 结束 2.设证证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相拆项相消消”法法