复变函数的积分1.ppt

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1、第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考2一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,3简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭

2、曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.42.积分的定义积分的定义:5(6关于定义的说明关于定义的说明:7二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1.存

3、在的条件存在的条件证证正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,89根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,10当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式122.积分的计算法积分的计算法13在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.14例例1 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x15(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x16y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为17例例2 18例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为19例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为20重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.21三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式22性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕