数学物理方法第6章.ppt

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1、第六章第六章 拉普拉氏变换拉普拉氏变换6.2 6.2 拉普拉氏变换拉普拉氏变换6.3 6.3 拉普拉氏变换反演拉普拉氏变换反演6.1 6.1 符号法符号法（一）、（一）、拉普拉氏变换的定义拉普拉氏变换的定义6.2 6.2 拉普拉氏变换拉普拉氏变换对于任意函数对于任意函数 f(t)，设设 t0,f(t)0,只要只要 足够大，足够大，g(t)=f(t)e-t 的付氏变换为的付氏变换为令令记记称为称为 f(t)的的拉普拉普拉氏变换函数拉氏变换函数（像函数）（像函数）G()的逆变换的逆变换称称 f(t)为为原原函数函数像函数像函数例：求例：求 L1原原函数函数f(t)解：解：例：求例：求 Lt,Ltn

2、 解：解：例：求例：求 Lest,s为常数为常数解：解：例：求例：求 Ltf(t),f(t)为任意函数为任意函数解：解：（二）、（二）、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质（1）、线性定理）、线性定理证明：证明：如：如：则则（2）、导数定理）、导数定理证明：证明：（3）、积分定理）、积分定理证明：证明：令令（4）、相似定理）、相似定理证明：证明：（5）、延迟定理）、延迟定理证明：证明：（6）、位移定理）、位移定理证明：证明：（7）、卷积定理）、卷积定理证明：证明：若若其中其中称为称为 f1(t)与与 f2(t)的卷积的卷积tt=令令例：求例：求 Lsin t,Lcos t解：解：6.3 6.3

3、 拉普拉氏变换反演拉普拉氏变换反演例：求例：求解：解：的的 Laplace 逆变换逆变换由位移定理由位移定理例：求例：求解：解：的的 Laplace 逆变换逆变换和位移定理和位移定理由延迟定理由延迟定理例：求例：求解：解：的的 Laplace 逆变换逆变换由卷积定理由卷积定理例：求例：求解：解：的的 Laplace 逆变换逆变换求导求导求导求导再求再求导导6.4 6.4 拉普拉氏变换应用拉普拉氏变换应用例：求电路方程例：求电路方程解：解：例：求常微分方例：求常微分方 程初值问题程初值问题解：解：例：求定解例：求定解 问题解问题解解：方程两边进行解：方程两边进行 Laplace 变换变换例：求例：求 RLC 电路电路 的初值问题的初值问题解：解：LCRK 1）2）3）例：积分例：积分解：解：例：试用例：试用Cauchy积积分定理计算函数分定理计算函数解：解：分别沿分别沿:l1:l2:的积分的积分留数定理补充留数定理补充小弧引理：小弧引理：设：设：f(z)沿圆弧沿圆弧Cr：z-a=rei (1 2,r充分小），上充分小），上连续，且连续，且在在Cr上一致成立，则上一致成立，则证：证：例：计算积分例：计算积分解：解：由约当引理由约当引理例：计算积分例：计算积分解：解：例：计算积分例：计算积分解：解：考虑考虑