微积分1-3章.ppt

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1、3.函数的极限在在数列的极限中：数列的极限中：因此，因此，数列的极限数列的极限 自变量取正整数的函数的极限自变量取正整数的函数的极限.本节本节我们要讨论一般的函数我们要讨论一般的函数 的极限问题的极限问题.播放播放一、函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.一般地一般地,当当 时时,无限接近无限接近于某一确定的于某一确定的数值数值A,则称则称A为为函数函数 的极限的极限.定义定义(定性的描述定性的描述)1、定义：2、几何解释:xy0f(x)AX X其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点落在落在绿色绿色区域

2、内区域内.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限 A的的 邻域邻域,X 0,A+A 对满足对满足|x|X的一切点的一切点 x,xy0f(x)X XA其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域,X 0,.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足|x|X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.xy0f(x)X XA其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域,X 0,.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足|x|X

3、的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.xy0f(x)AX X其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域,X 0,.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足|x|X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.xy0f(x)AX NX XX XX XX XX X 此类极限定义也称此类极限定义也称函数极限的函数极限的 X X定义定义定义定义其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域,X 0,.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足|x|X 的一切点

4、的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.3、另两种情形:xy0f(x)AX其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落在落在绿色绿色区区域内域内.x x 趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,(f(x)A的情况的情况)xy0f(x)AX.x x 趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,(f(x)A的情况的情况)其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落在落在绿色绿色区区域内域内.xy0f(x)AX.(一般情况一般情况)x x 趋于正

5、无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时的极限时的极限时的极限时的极限对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落在落在绿色绿色区区域内域内.证证例1二、时函数的极限 当当 时时,无限接近无限接近于某一确定的于某一确定的数值数值A,则称则称A为为函数函数 的极限的极限.定义定义(定性的描述定性的描述)问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定义：注：注：2、几何解释:xy0f(x)A当当该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落

6、在落在绿色绿色区域内区域内.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,A+A Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,当当Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内

7、.A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,当当Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,当当Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,x0的空去心的空去心 邻域邻域,当当Axy0函数的极

8、限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,当当 x0的去心的去心 邻域邻域,Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,当当 x0的去心的去心 邻域邻域,Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点

9、点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,当当Axy0几何上：几何上：几何上：几何上：函数有极限函数有极限等价于这种等价于这种 邻域邻域与与去心去心 邻域邻域之间之间存存在着无限的对应在着无限的对应.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限因此，因此，函数函数的极限定义也称的极限定义也称函数函数极限的极限的 定义定义定义定义.f(x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在

10、落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域邻域,x0的去心的去心 邻域邻域,当当证证例例3证证例2例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.例5证证证证例6例如例如,3.单侧极限左极限左极限右极限右极限xy0f(x)A该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.函数的函数的函数的函数的左极限左极限左极限左极限 A的的 邻域，邻域，x0的左半的左半 邻域，邻域，A+A Axy0f(x)函数的函数的函数的函数的左极限左极限左极限左极限.该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域，邻

11、域，x0的左半的左半 邻域，邻域，Axy0f(x)函数的函数的函数的函数的左极限左极限左极限左极限.该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域，邻域，x0的左半的左半 邻域，邻域，Axy0f(x)函数的函数的函数的函数的左极限左极限左极限左极限.该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域，邻域，x0的左半的左半 邻域，邻域，Axy0f(x)函数有函数有左极限左极限等价于等价于这种这种 邻域邻域与与左半左半 邻邻域域存在着无限的对应存在着无限的对应.函数的函数的函数的函数的

12、左极限左极限左极限左极限.几何上：几何上：几何上：几何上：该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.A的的 邻域，邻域，x0的左半的左半 邻域，邻域，左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,证证例7三、函数极限的性质2.(2.(局部局部)有界性有界性1.1.唯一性唯一性注注:本段结论对本段结论对6种极限过程都成立种极限过程都成立.定理定理3 3推论推论3.(局部)保号性定理定理3 3*(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理44.子列收敛性证证例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系:函数极限存在则它的任何子列的极限都存函数极限存在则它的任何子列的极限都存在在,且相等且相等.注:1.可利用函数的极限可利用函数的极限,求数列的极限求数列的极限;若有一子列若有一子列极限不存在极限不存在,或两子列极限不相等或两子列极限不相等,则则函数极限不存在函数极限不存在.证证例8二者不相等二者不相等,作业:P37 1.(2)(3)2(1)3.6.8.小 结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.思考题解答