数列求和专题.ppt

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1、数列求和专题数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1 运运 用用 公公 式式 法法3 错错 位位 相相 减减 法法4 裂裂 项项 相相 消消 法法2 通通 项项 分分 析析 法（分组求和法）法（分组求和法）5 奇偶并项求和法奇偶并项求和法1.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 例例1 1：若若实数数a,ba,b满足：足：求：求：分析分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为列其首项为a，公比为公比为ab，因此由题设求出因此由题设求出a,b，再再用等比数列前用等比数列前n项和公式求和项和公式求和例例2 求和：求和

2、：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：解：1，1/a,1/a21/an是首项为是首项为1，公比为，公比为1/a的等比数列，的等比数列，原式原式=原因：原因：上述解法错误在于，当公比上述解法错误在于，当公比1/a=1即即a=1时，前时，前n 项和公式项和公式不再成立。不再成立。例例2 求和：求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)在求等比数列前在求等比数列前n项和时，要特别项和时，要特别注意公比注意公比q是否为是否为1。当。当q不确定时不确定时要对要对q分分q=1和和q1两种情况讨论求两种情况讨论求解。解。对策：对策：2.2.分组求和法分组求和法：若数列若数列 的通项可转化为的

3、通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前n n项和项和 则则例例3.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和（1）解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 小活页小活页 P31 例例1例例5、Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)分析分析：观察数列的前几项：观察数列的前几项：1(2n-1)(2n+1)=（-）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相裂项相消法消法113=（-213111）例例5、Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)解

4、：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)=（-）21 2n-11 2n+11Sn=（-+-+-)2131115131 2n-11 2n+11=（1 -）21 2n+11 2n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。有规律的抵消项，进而达到求和的目的。4.4.拆项相消法拆项相消法（或裂项法）：（或裂项法）：若数列若数列 的通项公的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（或（）则可用如下方法求前）则可用如下方

5、法求前n n项和项和 .例例6、设、设 是公差是公差d 不为零的等差数列不为零的等差数列，满足满足 求：求：的前的前n项和项和它的拆项它的拆项方法你掌方法你掌握了吗？握了吗？常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：例例4、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)分析分析这是一个等差数列这是一个等差数列n与一个等比数列与一个等比数列xn-1的对应的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1 -nxn n项这时等式的

6、右边是一个等这时等式的右边是一个等比数列的前比数列的前n项和与一个项和与一个式子的和，这样我们就可式子的和，这样我们就可以化简求值。以化简求值。错位相减法例例4、求和、求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1)解：解：Sn=1+2x+3x2+nxn-1xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x=-nxn3.3.错位相减法错位相减法：设数列设数列 是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列（d d不等于零），数列不等于零），数列 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列(q(q不不等于等于1 1），数列），数列 满足：满足：则则 的前的前n n项和项和为：为：练习：练习：求和求和Sn=1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n答案：答案：Sn=3-2n+32n