数理统计Ⅱ第一章.ppt

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1、理学院：郑石秋理学院：郑石秋 20122012年年9 9月月应用数理统计学应用数理统计学1.1、导言导言1.4、统计量的及其分布（抽样分布统计量的及其分布（抽样分布）1）标准正态分布标准正态分布2）(卡方卡方)分布分布3）t t分布分布4）F分布分布1.2、总体和样本总体和样本1.3、直方图和经验分布函数直方图和经验分布函数第一章第一章数理统计的基本概念数理统计的基本概念什么是数理统计？什么是数理统计？它的主要研究对象和任务是什么？它的主要研究对象和任务是什么？数理统计的特点是什么？数理统计的特点是什么？数理统计学是一门应用性很强的学科数理统计学是一门应用性很强的学科.它的研它的研究对象和主要

2、任务是怎样以究对象和主要任务是怎样以有效的方式有效的方式收集、收集、整整理和分析理和分析带有随机性的数据带有随机性的数据，以便对所考察的问，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议动提供依据和建议.数理统计的特点数理统计的特点是应用面广，分支较多是应用面广，分支较多.数理数理统计首先就是因为生物学、遗传学和农业科学研究统计首先就是因为生物学、遗传学和农业科学研究的需要而兴起的，在近一个世纪的发展中，数理统的需要而兴起的，在近一个世纪的发展中，数理统计几乎不同程度地渗透到所有人类活动的领域。计几乎不同程度地渗透到所有人类

3、活动的领域。在农业方面，方差分析已经是农业试验的常在农业方面，方差分析已经是农业试验的常规手段；在工业生产中规手段；在工业生产中,正交试验设计方法在新产正交试验设计方法在新产品、新工艺、新材料的开发研究过程中得到广泛应品、新工艺、新材料的开发研究过程中得到广泛应用；在医学中，显著性检验是说明一些药物和治疗用；在医学中，显著性检验是说明一些药物和治疗手段疗效的典型方法；在国防尖端武器的研制中，手段疗效的典型方法；在国防尖端武器的研制中，精度分析主要也是用数理统计的方法；精度分析主要也是用数理统计的方法；到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真

4、正诞生了数理统计学学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科这门学科.从历史的典籍中，人们不难发现许多关于从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断外的推断.学习统计无须把过多时间化在计算上，可学习统计无须把过多时间化在计算上，可以更有效地把时间用在基本概念、方法原理的

5、以更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确理解上正确理解上.国内外著名的统计软件包：国内外著名的统计软件包：SAS，SPSS，STAT等，都可以让你快速、简便地等，都可以让你快速、简便地进行数据处理和分析进行数据处理和分析.由于学时有限，课程的的这部分内容重点由于学时有限，课程的的这部分内容重点在于介绍数理统计的一些重要概念和典型的统在于介绍数理统计的一些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识计方法，它们是实际中最常用的知识.计算机的诞生与发展，为数据处理提供了计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合是必

6、然的发展趋势是必然的发展趋势.数理统计不同于一般的资料统计，它更侧数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析集、整理和分析.由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来楚地呈现出来.但客观上只允许我们对随机现象进行次数但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说不多的观察试验，也就是说,我们

7、获得的只是我们获得的只是局部观察资料局部观察资料.数理统计的任务就是研究怎样有效地收数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的集、整理、分析所获得的有限有限的资料，对所的资料，对所研究的问题研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结尽可能地作出精确而可靠的结论论.在数理统计中，不是对所研究的对象全在数理统计中，不是对所研究的对象全体体(称为称为总体总体)进行观察，而是抽取其中的部进行观察，而是抽取其中的部分分(称为称为样本样本)进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），），并通过这些数据对总体进行推断并通过这些数据对总体进行推断.数理统计简介数理统计我们已经学习过概率论的基本内

8、容，下面我们我们已经学习过概率论的基本内容，下面我们介绍数理统计，它以概率论为理论基础，运用概介绍数理统计，它以概率论为理论基础，运用概率论的基本知识，对被研究的随机现象进行多次率论的基本知识，对被研究的随机现象进行多次观察或试验，研究怎样有效地收集、整理和分析观察或试验，研究怎样有效地收集、整理和分析受到随机影响的数据，以便对研究对象的客观规受到随机影响的数据，以便对研究对象的客观规律性作出统计推断或预测，直至为采取决策提供律性作出统计推断或预测，直至为采取决策提供合理的可靠依据。合理的可靠依据。本章介绍总体、随机样本和统计量等基本概念，本章介绍总体、随机样本和统计量等基本概念，并着重介绍几

9、个常用统计量及抽样分布。并着重介绍几个常用统计量及抽样分布。1.2.11.2.1总体总体总体总体将将研究对象的某项数量指标的值的全体称为研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体总体总体总体，总体中的每个元素称为总体中的每个元素称为个体个体个体个体。总体依其包含的个体总数分为总体依其包含的个体总数分为有限总体有限总体有限总体有限总体和和无限总体无限总体无限总体无限总体。当当有限总体所包含的个体的总数很大时，可以近有限总体所包含的个体的总数很大时，可以近似地将它看成是无限总体。似地将它看成是无限总体。1.2总体和样本总体和样本例例例例1.1.某工厂生产的灯泡的寿命的全体是一个总体，某工厂生产的灯泡

10、的寿命的全体是一个总体，每个灯泡的寿命是一个个体；某天某厂生产的一每个灯泡的寿命是一个个体；某天某厂生产的一批钢筋强度的全体是一个总体，每一根钢筋的强批钢筋强度的全体是一个总体，每一根钢筋的强度是一个个体。这两个总体都是有限总体；而若度是一个个体。这两个总体都是有限总体；而若是此工厂生产的所有钢筋的强度所组成的总体就是此工厂生产的所有钢筋的强度所组成的总体就是一个无限总体。是一个无限总体。例例例例2.2.：要研究某大学学生的学习情况，则该校的全：要研究某大学学生的学习情况，则该校的全体学生构成问题的总体。每一个学生则是该总体的体学生构成问题的总体。每一个学生则是该总体的一个个体。一个个体。总体

11、随研究的范围而定，如在总体随研究的范围而定，如在例例例例2 2中，如你研究中，如你研究则总体就大多了则总体就大多了:它包含全国所有在学的大学生它包含全国所有在学的大学生.总体总体如何定如何定,取决于研究目的取决于研究目的,也受人力物力时间等因素的也受人力物力时间等因素的限制限制.对于大多数实际问题对于大多数实际问题,总体中的个体是一些实在总体中的个体是一些实在的人或物的人或物,而而问题中所注意的问题中所注意的,并不在于这些人或物本并不在于这些人或物本身身,而在于所关心的某种指标而在于所关心的某种指标.例如一个学生有身高体例如一个学生有身高体重姓氏笔划籍贯出身重姓氏笔划籍贯出身.等特征等特征,当

12、我们研究学生当我们研究学生学习成绩时学习成绩时,对这些都不关心对这些都不关心,而只注意其考分如何而只注意其考分如何.在在例例例例1.1.中中,我们只注意元件的寿命如何我们只注意元件的寿命如何.这样这样,也可以把我们感兴趣的那个指标值就作为也可以把我们感兴趣的那个指标值就作为该个体该个体(例如例如,大学生大学生A得得90分分,即以即以90这个数代替这个数代替A),而总体就由一些数所组成而总体就由一些数所组成.单是这样还不行单是这样还不行.这里有两个问题这里有两个问题:一是一是总体中这样总体中这样一大堆杂乱无章的数没有赋予什么数学或概率的性一大堆杂乱无章的数没有赋予什么数学或概率的性质质,因而无法

13、使用有力的概率论工具去研究它因而无法使用有力的概率论工具去研究它;二是二是各种总体变得没有区别各种总体变得没有区别.例如例如,大学生的学习成绩也大学生的学习成绩也是一堆数是一堆数,一大批元件的寿命也是一堆数一大批元件的寿命也是一堆数,大家都一大家都一样了样了.解决这些问题的途径解决这些问题的途径,就涉及就涉及总体这个概念的总体这个概念的核心核心总体的概率分布总体的概率分布.例如例如,电子元件寿命分电子元件寿命分布为指数分布布为指数分布,学生的学习成绩可以假定为服从正学生的学习成绩可以假定为服从正态分布态分布.总体分布不同总体分布不同,分析的方法也就不同分析的方法也就不同,赋有赋有一定概率分布的

14、总体就称为统计总体一定概率分布的总体就称为统计总体.因此因此,经过以经过以上几步的分析上几步的分析,我们就得出在数理统计学中我们就得出在数理统计学中“总体总体”,这个基本概念的要旨这个基本概念的要旨总体就是一个概率分布总体就是一个概率分布.当总体分布为指数当总体分布为指数分布时分布时,称为指数分布总体称为指数分布总体;当总体分布为正态分布当总体分布为正态分布时时,称为正态分布总体或简称正态总体称为正态分布总体或简称正态总体,等等等等.两个总体两个总体,即使其所含个体的性质根本不同即使其所含个体的性质根本不同,只只要有同一的概率分布要有同一的概率分布,则在数理统计学上就视为是则在数理统计学上就视

15、为是同类总体同类总体.例如人的寿命也可以服从指数分布例如人的寿命也可以服从指数分布,它与它与元件寿命的分布一样元件寿命的分布一样,处理二者的统计问题的方法处理二者的统计问题的方法也一样也一样,即可视为同一类总体即可视为同一类总体.对以上所说的要作对以上所说的要作一点说明一点说明:上面虽然我们假定上面虽然我们假定了元件寿命服从指数分布了元件寿命服从指数分布,但并没有指定其中参数但并没有指定其中参数之值之值.既然既然未知未知,原则上原则上可取可取0到到内任何值内任何值,故更故更正确地应当说正确地应当说:总体分布是一个概率分布族总体分布是一个概率分布族(在此为在此为指数分布族指数分布族)的一员的一员

16、.这分布族包含一个参数这分布族包含一个参数称为单参数分布族称为单参数分布族.在在例例例例2 2中，总体分布中，总体分布正态分布正态分布N(,2),包含两个参包含两个参数数,和和 2(可取任何实数值而可取任何实数值而 2只能取大于只能取大于0的的值值),是一个两参数分布族是一个两参数分布族.另外另外,在有些情况下在有些情况下,我我们只是假定总体有一定的概率分布而并不明确知道们只是假定总体有一定的概率分布而并不明确知道其数学形式其数学形式.如在如在例例例例1 1中中,也可以只承认寿命有一定也可以只承认寿命有一定的概率分布函数的概率分布函数F(x),F(0)=0(因寿命总大于因寿命总大于0),其他别

17、其他别无所知无所知.这时这时,总体分布不能通过若干个未知参数表总体分布不能通过若干个未知参数表达出来达出来,这种情况称为非参数总体这种情况称为非参数总体.对非参数总体对非参数总体,虽不知其数学形式虽不知其数学形式,但统计问题照样但统计问题照样可以提出来可以提出来.例如估计平均寿命的问题例如估计平均寿命的问题,不假定元件不假定元件寿命分布为指数分布也有意义寿命分布为指数分布也有意义,且使用且使用去估计平去估计平均寿命看来仍是一个合理的方法均寿命看来仍是一个合理的方法.自然自然,由于分布的由于分布的形式未知形式未知,进一步的讨论困难就更大进一步的讨论困难就更大,这些在以后会这些在以后会逐步指明逐步

18、指明.上面所讲的总体概念上面所讲的总体概念,在很大程度上要归在很大程度上要归功于数理统计学最主要的奠基者功于数理统计学最主要的奠基者,伟大的英国统计学伟大的英国统计学家家R.A.费歇尔费歇尔.他引进了他引进了“无限总体无限总体”,这个概念这个概念现实问题中现实问题中,当所考察的个体是由一些看得见、摸当所考察的个体是由一些看得见、摸得着的对象所构成时得着的对象所构成时(如如例例例例2 2),总体总是有限的总体总是有限的.有限总体相应的分布只能是离散的有限总体相应的分布只能是离散的,其具体形式将其具体形式将与个体总数有关且缺乏一个简洁的数学形式与个体总数有关且缺乏一个简洁的数学形式,这会这会使有力

19、的概率方法无法使用使有力的概率方法无法使用.引进无限总体的概念引进无限总体的概念,在概率论上相当于用一个连续分布去逼近离散分布在概率论上相当于用一个连续分布去逼近离散分布.当总体所含个体极多时当总体所含个体极多时,这种逼近所带来的误差这种逼近所带来的误差,从从应用的观点看已可以忽略不计应用的观点看已可以忽略不计.更好的是更好的是,事实证明事实证明:几种常见且在概率论上较易处理的分布几种常见且在概率论上较易处理的分布,如指数分如指数分布和正态分布等布和正态分布等,尤其是正态分布尤其是正态分布,对许多实用问题对许多实用问题的总体分布给出了足够好的近似的总体分布给出了足够好的近似,而围绕着这些分而围

20、绕着这些分布建立了深入而有效的统计方法布建立了深入而有效的统计方法.最后最后,关于总体这个概念还需要说明一个问题关于总体这个概念还需要说明一个问题.从从一个例子入手一个例子入手,设有一个物体设有一个物体,其真实的重量其真实的重量a未知未知,要通过多次量测的结果去估计它要通过多次量测的结果去估计它.请问在这个问题中请问在这个问题中总体是什么总体是什么?若不假思索若不假思索,可能回答说可能回答说:因为与所研究的问题因为与所研究的问题有关的对象有关的对象,就只这个物体就只这个物体,故这个物体故这个物体,或者其重或者其重量量a,就构成总体就构成总体,这个回答不对这个回答不对.其所以不对其所以不对,一则

21、一则因为因为a未知未知.即使即使a已知已知(这时自然不存在估计它的这时自然不存在估计它的问题问题,但测量其重量仍有意义但测量其重量仍有意义,例如例如,可能是为了考可能是为了考察天平的准确程度如何察天平的准确程度如何),这个回答仍不对这个回答仍不对,因为你既然通过量测因为你既然通过量测,那么那么,你你所研究的问题所研究的问题,实质上是实质上是“通过量测结果去估计通过量测结果去估计a之之值其精度如何值其精度如何”.这样这样,每一个可能的量测结果都是每一个可能的量测结果都是一个个体一个个体,而总体是由而总体是由“一切可能的量测结果一切可能的量测结果”组成组成.这只是一个想像中存在的集合这只是一个想像

22、中存在的集合,因为不可能去进行无因为不可能去进行无限次量测限次量测,把所有可能的量测结果一一列出来把所有可能的量测结果一一列出来.这与这与我们前面几个例子中那种看得见摸得着的总体不同我们前面几个例子中那种看得见摸得着的总体不同:这里的总体只是在想像中存在这里的总体只是在想像中存在,它的个体是通过试验它的个体是通过试验“制造制造”,出来的出来的每秤一次每秤一次,就制造出一个量测就制造出一个量测值值.这种情况在实际应用中非常之多这种情况在实际应用中非常之多.给这种总体规定分布也一样给这种总体规定分布也一样.拿本例来说拿本例来说,只须说一只须说一句句“量测结果服从某某分布量测结果服从某某分布(如正态

23、分布如正态分布)”,就行就行.如果不绕这么一个圈子如果不绕这么一个圈子,而直接说而直接说:量测结果是随机量测结果是随机的的,它服从某某分布它服从某某分布,可能读者会感到更易接受可能读者会感到更易接受.上上述分析是为了突出统计总体这个概念的这种抽象形述分析是为了突出统计总体这个概念的这种抽象形式式,以体现这个概念的普遍性以体现这个概念的普遍性.在某些统计学著作中在某些统计学著作中,也常把总体称为也常把总体称为“母体母体”.以后，我们提到的总体和个体时，一般都是指具以后，我们提到的总体和个体时，一般都是指具体对象的数量指标，而不是笼统地指具体对象。体对象的数量指标，而不是笼统地指具体对象。1.2.

24、21.2.2样本样本样本样本 样本是按一定的规定从总体中抽出的一样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体部分个体.所谓所谓“按一定的规定按一定的规定”,就是指总体中的每就是指总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会一个个体有同等的被抽出的机会,以及在这个基础上以及在这个基础上设立的某种附加条件设立的某种附加条件.由于我们的兴趣不在于个体本由于我们的兴趣不在于个体本身而在于其某一特征指标值身而在于其某一特征指标值,所得样本表现为若干个所得样本表现为若干个数据数据X1,X2,Xn,n称为称为“样本大小样本大小”,或或“样本容量样本容量”,“样本量样本量”。样本。样本X1,X2,Xn中的每一个中的每

25、一个Xi也称也称为样本为样本.有时有时,为区别这种情况为区别这种情况,把把X1,.,Xn的全体称为一的全体称为一“组组”,样本样本,而而Xi称为其中的第称为其中的第i个样本个样本.在一个具体问题中在一个具体问题中,样本样本X1,X2,Xn是一些具是一些具体的数据体的数据.而在理论的研究上而在理论的研究上,则要把它看成为一些则要把它看成为一些随机变量随机变量.因为抽到哪一些个体是随机的因为抽到哪一些个体是随机的,因而其指因而其指标值标值,即即X1,X2,Xn,也是随机的也是随机的.设想样本是一个设想样本是一个一个地抽出来一个地抽出来.第一次抽时第一次抽时,是从整个总体中抽一个是从整个总体中抽一个

26、.因而因而X1的分布也就与总体分布相同的分布也就与总体分布相同.如果这一个不如果这一个不放回去放回去,到第二次抽时到第二次抽时,总体中已少了一个个体总体中已少了一个个体,其其分布有了变化分布有了变化,因此因此X2的分布会与的分布会与X1的分布略有差的分布略有差别别.但是但是,如果总体中所包含的个体极多如果总体中所包含的个体极多,或如理论或如理论上设想的上设想的,总体中包含无限多个体总体中包含无限多个体,则抽掉一个或几则抽掉一个或几个个,对总体的分布影响极少或毫无影响对总体的分布影响极少或毫无影响.这时这时,X1,.,Xn独立且有相同的分布独立且有相同的分布,其公共分布即总体分布其公共分布即总体

27、分布.这是这是在应用上最常见的情形在应用上最常见的情形,也是理论上研究得最深入的也是理论上研究得最深入的情形情形,本节主要考虑这种情况本节主要考虑这种情况.在数理统计学上在数理统计学上,称这称这种情况为种情况为:X1,.,Xn是从某总体中抽出的独立随机是从某总体中抽出的独立随机样本样本,或简称为从某总体中抽出的样本或简称为从某总体中抽出的样本.当总体中所当总体中所含个体数不太大时含个体数不太大时,情况就不同情况就不同.一般，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观一般，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得数据来推断总体的性质。被抽出察，然后根据所得数据来推断总体的性质。被抽出的部分

28、个体，的部分个体，叫做总体的一个样本。叫做总体的一个样本。叫做总体的一个样本。叫做总体的一个样本。定义定义定义定义设设X是具有分布函数是具有分布函数F的随机变量，若的随机变量，若是是具有同一分布函数具有同一分布函数F的的相互独立的随机变量，则称相互独立的随机变量，则称为从为从分布函数分布函数F（或总体或总体F、或总体或总体X）得到的容量为得到的容量为n的的简单随机样本，简单随机样本，简单随机样本，简单随机样本，简称简称样本样本样本样本，它们的观察值它们的观察值称为称为样本值样本值样本值样本值，又，又称为称为X的的n个个独立的观察值。独立的观察值。独立的观察值。独立的观察值。事实上我们抽样后得到

29、的资料都是具体的、事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值确定的值.如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量人测量身高，得到身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是个数，它们是样本取到的值而不是样本样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量随机变量.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）总体（理论分布）？样本样本样本值样本值统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断样本值，去推断总体的情况总体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总

30、体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁由由由由定义得定义得定义得定义得：若若为为F的一个样本，的一个样本，则则的的联合分布函数为联合分布函数为又又若若X具有概率密度具有概率密度f，则则联合概率密度为联合概率密度为若若总体总体X是离散型随机变量，来自总体是离散型随机变量，来自总体X的样本的样本的的联合分布律为：联合分布律为：例例例例3 3设总体设总体X服从指数为服从指数为 的泊松分布，求容量的泊松分布，求容量为为9的样本的联合概率分布。的样本的联合概率分布。解

31、：解：解：解：因总体因总体X的概率分布为的概率分布为故故样本的联合分布为：样本的联合分布为：例例例例4 4设总体设总体，求容量为，求容量为n的的样本的联合概率密度函数。样本的联合概率密度函数。解：解：解：解：X的概率密度函数为的概率密度函数为故故样本样本的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：1.2.31.2.3参数和参数空间参数和参数空间参数和参数空间参数和参数空间正如前面所述，在数理统计问题的分布一般来正如前面所述，在数理统计问题的分布一般来说是未知的，需要通过样本来推断。但如果对总体说是未知的，需要通过样本来推断。但如果对总体绝对地一无所知，那么所能做出的推断的可信度一绝对地一无所知

32、，那么所能做出的推断的可信度一般也极为有限。般也极为有限。在很多情况下，往往是知道总体分布的形式。在很多情况下，往往是知道总体分布的形式。而不知道的仅仅是分布中的参数。而不知道的仅仅是分布中的参数。这种情况在实际中是大量的。因为总体的分布这种情况在实际中是大量的。因为总体的分布形式往往可以通过具体的应用背景或以往的经验加形式往往可以通过具体的应用背景或以往的经验加以确定。以确定。例例例例5 5考虑如何由样本考虑如何由样本X1,X2,Xn的实际背景确定统的实际背景确定统计模型，即总体计模型，即总体X的分布：的分布：（1）样本记录随机抽取）样本记录随机抽取n件产品的正品、废品情况。件产品的正品、废

33、品情况。（2）样本表示同一批）样本表示同一批n个电子元件的寿命（小时）。个电子元件的寿命（小时）。（3）样本表示同一批）样本表示同一批n件产品某一尺寸（件产品某一尺寸（mm）。）。分析分析分析分析 通过分析或经验，容易知道通过分析或经验，容易知道（1）X服从两点分布，其概率分布为服从两点分布，其概率分布为所需所需确定的是参数确定的是参数（2）X通常服从指数分布，其密度函数为通常服从指数分布，其密度函数为所需所需确定的是参数确定的是参数（3）X通常服从正态分布通常服从正态分布，其密度函数为，其密度函数为所需确定的是参数所需确定的是参数其中其中参数空间参数空间参数空间参数空间对于每个总体，我们称其

34、分布中参数一切可能对于每个总体，我们称其分布中参数一切可能取值的集合为参数空间，记为取值的集合为参数空间，记为如在例如在例5中中其中其中今后对于统计推断，如果总体的分布形式已知，今后对于统计推断，如果总体的分布形式已知，仅对参数进行推断，我们就称之为仅对参数进行推断，我们就称之为参数推断参数推断（估计，（估计，检验），否则则称之为检验），否则则称之为非参数推断非参数推断（估计，检验）。（估计，检验）。1.3.1直方图直方图设设X1,X2,，Xn是总体是总体X的一个样本的一个样本,又设总体具有又设总体具有概率密度概率密度f f，如何用样本来推断如何用样本来推断f f?注意到现在的样本是注意到现在

35、的样本是一组实数，因此一个直观的办法是将实轴划分为若干小一组实数，因此一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值落在每个小区间中的个数，根据大区间，记下诸观察值落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。具体做法如下：在每一小区间上的密度。具体做法如下：1.3直方图和经验分布函数直方图和经验分布函数若总体分布未知，要用样本对总体分布进行若总体分布未知，要用样本对总体分布进行非非参数推断参数推断，常用的方法是，常用的方法是直方图直方图和和经验分布函数经验分布函数10找出找出取取略小于

36、略小于取取略大于略大于20将将分成分成m个个小区间小区间,mn,小区间长度可以不等小区间长度可以不等设设分点为分点为在分在分小区间时，小区间时，注意每个注意每个小区间中都要有若干个观察值，而且观察值小区间中都要有若干个观察值，而且观察值不要落在分点上。不要落在分点上。30记记落在小区间落在小区间中中观察值的个数观察值的个数(频数频数)计算频率计算频率列表分别记下各列表分别记下各小区间的频数小区间的频数频率。频率。40在直角坐标系的横轴上，标出在直角坐标系的横轴上，标出各点各点分别以分别以为为底边，做高为底边，做高为的的矩形，矩形，即得即得直方图直方图实际上实际上,我们就是用直方图对应的分段函数

37、我们就是用直方图对应的分段函数来来近似总体的密度函数近似总体的密度函数f(x).这样做为什么合理这样做为什么合理?我们我们引进引进“唱票随机变量唱票随机变量”对对每个小区间每个小区间 定义定义 则则Xi是独立同分布的两点分布是独立同分布的两点分布:其中其中由由柯尔莫哥洛夫强大数定律柯尔莫哥洛夫强大数定律我们有我们有以以概率为概率为1成立成立,于是当于是当n充分大时充分大时,就可就可用用来来近似近似代替上式右边以代替上式右边以为曲边的为曲边的曲边梯形曲边梯形的的面积面积,而且若而且若m充分大充分大,较小时较小时,我们就可用小矩我们就可用小矩形形的的高度高度来来近似取代近似取代1411481321

38、38154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145下面通过例题介绍直方图下面通过例题介绍直方图例例6下面列出了下面列出了84个伊特拉斯坎个伊特拉斯坎(Etruscan

39、)人人男子的男子的头颅的最大宽度，试检验这些数据是否来自正态总体头颅的最大宽度，试检验这些数据是否来自正态总体（取（取=0.1）解：解：为了粗略了解这些数据的分布情况，我们先根据为了粗略了解这些数据的分布情况，我们先根据所给数据画出直方图，下面就来介绍直方图所给数据画出直方图，下面就来介绍直方图上述数据的最小值、最大值分别为上述数据的最小值、最大值分别为126，158，即所有数，即所有数据落在区间据落在区间126，158上，现在取区间上，现在取区间124.5，159.5，它能覆盖区间它能覆盖区间126，158，将区间，将区间124.5，159.5等分为等分为7个区间，小区间的长度记为个区间，小

40、区间的长度记为，=(159.5-124.5)/7=5称为组距。小区间的端点称为组限。数出落在每个小区称为组距。小区间的端点称为组限。数出落在每个小区间内的数据的频数间内的数据的频数，算出频率，算出频率结果见下表结果见下表组组 限限频数频数频率频率累积频率累积频率124.5129.510.01190.0119129.5134.540.04760.0595134.5139.5100.11910.1786139.5144.5330.39290.5715144.5149.5240.28570.8572149.5154.590.10710.9524154.5159.530.03571现在自左至右依次在各

41、个小区间上作以现在自左至右依次在各个小区间上作以为高的小为高的小矩形矩形如上图（如诸小区间的长度不等，记第如上图（如诸小区间的长度不等，记第i个小区间的个小区间的长度为长度为i,则对第则对第i个小区间作高为个小区间作高为的矩形）这样的图形称为直方图，显然这种小矩形的的矩形）这样的图形称为直方图，显然这种小矩形的面积就等于数据落在该小区间的频率面积就等于数据落在该小区间的频率由于当由于当n很大时，频率接近于概率，因而一般来说，很大时，频率接近于概率，因而一般来说，每个小区每个小区间上的间上的小矩形的面积接近于概率密度曲线之下该小矩形的面积接近于概率密度曲线之下该小区小区间之上的曲边梯形的面积。于

42、是间之上的曲边梯形的面积。于是一般来说，直方图的一般来说，直方图的外廓曲线接近于总体外廓曲线接近于总体X的概率密度曲线的概率密度曲线,从本例的直方图看，它有一个峰，中间高，两头从本例的直方图看，它有一个峰，中间高，两头低，比较对称。看起来样本很像来自正态总体。现在低，比较对称。看起来样本很像来自正态总体。现在作作2拟合检验，检验假设拟合检验，检验假设H0：X的概率密度为的概率密度为1.3.21.3.2样本的分布函数样本的分布函数样本的分布函数样本的分布函数(经验分布函数经验分布函数经验分布函数经验分布函数)由于总体由于总体X的分布函数的分布函数F(x x)未知，设有它的样本未知，设有它的样本,

43、我们同样可以从样本出发找到一我们同样可以从样本出发找到一个个已知量来近似它，这就是已知量来近似它，这就是经验分布函数经验分布函数它的构造方法是这样的，将它的构造方法是这样的，将n个样本值按大小排成个样本值按大小排成的的顺序，记顺序，记为为不大于不大于x的样本值出现的的样本值出现的频率，则频率，则称称为为样本的分布函数，样本的分布函数，它等于它等于n次独立重复次独立重复试验中，事件试验中，事件出现的频率。它具有分布函数出现的频率。它具有分布函数的的一切性质。一切性质。.只在只在处有跃度为处有跃度为在此观察值处的跃度为在此观察值处的跃度为的的间断点，若有间断点，若有个个观察值相同，则观察值相同，则

44、经验分布函数的性质经验分布函数的性质格里汶科格里汶科定理定理设设总体分布函数为总体分布函数为样本的分布函数为样本的分布函数为则则即当即当n+时，时，以以概率概率1关于关于x均匀收敛于均匀收敛于。它表面，当。它表面，当n很大时，可以用很大时，可以用近似近似代替代替格里汶科资料格里汶科资料BorisVladimirovichGnedenkoBorn:1Jan1912inSimbirsk(nowUlyanovskaya),RussiaDied:27Dec1995inMoscow,Russia样本是总体的代表和反映，它提供关于总体的一些样本是总体的代表和反映，它提供关于总体的一些信息，是进行统计推断的

45、依据。当我们从总体信息，是进行统计推断的依据。当我们从总体X获得获得一个样本一个样本X1，X2，Xn后，在应用时，往往不是直后，在应用时，往往不是直接使用样本观察值的原始数据进行统计推断，而是要接使用样本观察值的原始数据进行统计推断，而是要对样本进行加工、整理和提炼，以达到尽可能压低随对样本进行加工、整理和提炼，以达到尽可能压低随机干扰，集中有用信息。常用的方法是针对所关心的机干扰，集中有用信息。常用的方法是针对所关心的问题，构造出问题，构造出不包含未知参数不包含未知参数的样本的某种函数，利的样本的某种函数，利用这些样本的函数对总体用这些样本的函数对总体X进行统计推断。样本的这进行统计推断。样

46、本的这种函数称为种函数称为统计量。统计量。1.4统计量及其分布统计量及其分布例例例例77从某地区随机抽取从某地区随机抽取从某地区随机抽取从某地区随机抽取5050户农民，调查其年收入情户农民，调查其年收入情户农民，调查其年收入情户农民，调查其年收入情况，得到下列数据（每户人均元）：况，得到下列数据（每户人均元）：924800916704870104082469057449097298812666847649404088046108526027547889627047128548887688488821192820878614846746828792872696644926808101072874

47、2850864738试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大致分析。致分析。显然如果不进行加工，面对这一堆显然如果不进行加工，面对这一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据，很难得出什么印象，但是只要对这些的数据，很难得出什么印象，但是只要对这些数据稍事加工，便能作出大致分析。数据稍事加工，便能作出大致分析。如记各如记各农户的年收入数为农户的年收入数为X1,X2,，X50，则，则考虑考虑这样，我们可以由这样，我们可以由得到该地区农民人均收入水平属得到该地区农民人均收入水平属中等，从中等，从可以得出该地区农民贫富悬殊不大的结论可以得出该地区农民贫富悬殊不大的

48、结论的的函数，若函数，若是是连续函数且连续函数且中中不含任何未知参数，则不含任何未知参数，则是一是一统计量。统计量。定义定义定义定义设设是是相应于样本相应于样本的的样本值，则称样本值，则称的的观察值。观察值。是是来自总体来自总体X的一个样本，的一个样本，定义定义定义定义设设是是来自总体来自总体X的一个样本，的一个样本，是这一是这一样本的观察值。定义：样本的观察值。定义：样本平均值样本平均值样本平均值样本平均值样本方差样本方差样本方差样本方差几个常用的统计量几个常用的统计量它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本标准差样本标准差样本标准差样本标

49、准差样本样本样本样本 kk阶（原点）矩阶（原点）矩阶（原点）矩阶（原点）矩样本样本样本样本 kk阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩它反映了总体它反映了总体K阶矩阶矩的信息的信息它反映了总体它反映了总体K阶阶中心矩的信息中心矩的信息它们的观察值分别为：它们的观察值分别为：它们的观察值分别为：它们的观察值分别为：这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本本标准差、样本k阶矩、样本阶矩、样本k阶中心矩。阶中心矩。重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：若总体若总体X的的k阶原点矩阶原点矩存在，则当存在，则当n 时，有时，有其中其中g为连续函数。为

50、连续函数。因为因为独立且与独立且与X同分布，同分布，故故独立且与独立且与Xk同分布，故有同分布，故有从而由辛钦定理知从而由辛钦定理知这是下一章所介绍的矩估计法的理论根据。这是下一章所介绍的矩估计法的理论根据。设设(X1,Y1),(X2,Y2),(Xn,Yn)为二维总体为二维总体(X,Y)的样本，则下列各量为统计量：的样本，则下列各量为统计量：样本协方差样本协方差样本协方差样本协方差样本相关系数样本相关系数样本相关系数样本相关系数其中其中其观察值其观察值样本方差与修正样本方差的样本方差与修正样本方差的关系：关系：注注1当当n较大时，较大时，2当当n较小时，较小时，修正修正样本方差样本方差顺序统计