第4章 线性方程组解的结构.ppt

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1、第四章 线性方程组的解的结构 1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用 3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构14.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整

2、理前面知识点的同时，方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。深入研究解的性质和解的结构。2(4-1)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)一、非齐次方程组解的存在性定理一、非齐次方程组解的存在性定理3定理定理定理定理4.1.14.1.1对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组(4-1)向量向量 可由可由A的列向量组的列向量组线性表示。线性表示。4定理定理定理定理4.1.24.1.2设设的线性方程组的线性方程组的系数行列式的系数行列式Cramer法则法则则方程组有唯一解则方程组有唯一解,

3、且解为且解为:(4-2)5二、齐次方程组解的存在性定理二、齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)6定理定理定理定理4.1.34.1.3对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组(1)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关推论推论1当方程的个数当方程的个数m小于未知量的个数小于未知量的个数n，则，则(4-3)必有非零解。必有非零解。7定理定理定理定理4.1.44.1.4设设的线性方程组的线性方程组有非零解有非零解(4-4)8例例1 设设n(n2)阶方阵阶方

4、阵A是可逆矩阵，证明是可逆矩阵，证明无解。无解。例例2 对于非齐次方程组对于非齐次方程组(1)证明证明:如果如果AX=b有唯一解，则有唯一解，则AX=0仅有零解；仅有零解；(2)如果如果AX=0仅有零解，则仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？一定有唯一解吗？94.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构解向量：解向量：齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(3)解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为基础解系基础解系基础解系基础解系)，如何求，如何求?(1)解集的特点解集的特点?(2)解集的秩是多少解集的秩是多少?首先，回答第（首先，回答第（1）个问题。）个问题。1

5、0解空间解空间:性质性质1注：注：在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。如果如果 只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果 有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。11基础解系基础解系12通过下面的例子通过下面的例子,针对一般的方程组针对一般的方程组例例1回答所提问题回答所提问题.下面我们用一个例子回答第下面我们用一个例子回答第(2)和第和第(3)个问题，个问题，同时也是定理同时也是定理4.2.1的例证。的例证。13第一步第一步第一步第一步:对系数矩阵对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形初等行变换化行最简形

6、B从行最简形能得到什么？从行最简形能得到什么？第二步第二步第二步第二步：写出同解的方程组：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程保留第一个未知数在方程的左边的左边,其余的都移到右边其余的都移到右边.右边的又叫自由变量右边的又叫自由变量)自由变量的个数自由变量的个数=?14第三步第三步第三步第三步:令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式写出通解，再改写成向量形式 是解吗是解吗?线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?是基础解系吗是基础解系吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数=?第四步第四步第四步第四步:写出基础解系写出基础解系15

7、再来分析一下基础解系的由来再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第二步的同解方程组为第三步的通解为第三步的通解为就是就是取取代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得然后再拼成的解向量然后再拼成的解向量.类似的类似的16这就启发我们这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数等于自由变量的个数(这里这里3个个).只要令只要令为三个线性无关的向量为三个线性无关的向量.代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得然后再拼成解向量然后再拼成解向量.必然是线性无关的必然是线性无关的,从而也是基础解系从而也是基础解系.由此得到下面关于齐

8、次线性方程组的的解法二由此得到下面关于齐次线性方程组的的解法二.17第一步第一步第一步第一步:同前（化系数矩阵为最简阶梯型）同前（化系数矩阵为最简阶梯型）第二步第二步第二步第二步:同前同前第三步第三步第三步第三步:令令代入代入(1)求求再拼基础解系再拼基础解系:第四步第四步第四步第四步:写出通解写出通解18设设是是矩阵，如果矩阵，如果的的基础解系存在，基础解系存在，且且每个基础解系中含有每个基础解系中含有个个解向量。解向量。定理定理定理定理4.2.14.2.1推论推论推论推论2 2设设是是矩阵，如果矩阵，如果则则齐次线性方程组齐次线性方程组的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础

9、解系。的解向量均可构成基础解系。则则齐次线性方程组齐次线性方程组19解：解：所以只有零解，基础解系不存在。所以只有零解，基础解系不存在。例例2:求下列齐次方程组求下列齐次方程组20例例3 求四元方程组求四元方程组 的基础解系。的基础解系。21例例4设设 ,是是 的的两个不同的解向量两个不同的解向量,k 取任意实数取任意实数,则则 Ax=0 的通解是的通解是（参见（参见 P142 2）22设设 ,证明证明证证记记则由则由说明说明都是都是的解的解因此因此移项移项重要结论重要结论重要结论重要结论推论推论推论推论3 323且线性无关，则且线性无关，则_是是 Ax=0 的基础解系。的基础解系。(2),(

10、3)练习练习练习练习24例例5证明证明设设 ,首先证明首先证明利用这一结论利用这一结论证证重要结论重要结论重要结论重要结论(P156 第第13题题)25例例6求一个齐次方程组求一个齐次方程组,使它的基础解系为使它的基础解系为记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知的的 A 放在右边放在右边,转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列(A 的行的行)即可即可.解解 得基础解系得基础解系设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 ,则则取取即可即可.解解(P155 第第3题题)264.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组

11、解的结构以下总假设以下总假设有解有解,而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组的基础解系为的基础解系为这里这里27性质性质性质性质性质性质(1 1)设设 都是都是(1)的解的解,则则 是是(2)的解的解.(2 2)设设 是是(1)的解的解,是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定),则对则对(1)的任一解的任一解 x是是(2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得又形如又形如(3)的向量的向量(任取任取)都是都是(1)的解的解.由此得由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。注：非齐次方程组的解集不是空间。28定理定理定理定理4.3.1

12、4.3.1设设 是是(1)的任一解的任一解,则则(1)的通解的通解为为例例7解解29在对应的齐次方程中在对应的齐次方程中取取得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解即得方程组的一个解30设设是非齐次方程组是非齐次方程组 Ax=b 的解的解,则则是是 Ax=0 的解的解是是 Ax=b 的解的解例例831例例 9 32例例10设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量,且且求该方程组的通解求该方程组的通解.解解取取 ,则它就是解则它就是解,从而也是从而也是基础解系基础解系.

13、基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为参见参见 P147 3.331设为n阶方阵，若齐次线性方程组AX=0有非零解，则它的系数行列式（）2设和(A|b)分别表示线性方程组b的系数矩阵和增广矩阵，则方程组有解的充要条件是（）3设是的解，是其对应齐次方程的解，则是（）的解一、填空题341、n元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是 的列线性无关的列线性无关 ；的行线性无关；的行线性无关；的列线性相关；的列线性相关；的行线性相关的行线性相关2设设，是的解，是的解，是是b的解，则的解，则 是的解是的解 为为b

14、的解的解 是的解是的解 是是b的解的解3 的一组基础解系由（）个解向量组成。的一组基础解系由（）个解向量组成。x1x2x3x1x2x3二、单选题二、单选题4.已知已知的两个不同的解，的两个不同的解，的基础解的基础解系，系，k1，k2为任意常数，则为任意常数，则AX=b的通解为的通解为35三、假设三、假设Am6(m3)，r(A)=3，其中，其中是是AXb的四个线性无关的解，证明它的任意解向量都可表示为的四个线性无关的解，证明它的任意解向量都可表示为(P111 习题习题34)36（20022002数学一数学一 分分）已知阶方阵（已知阶方阵（a a1，a a2，a a，a a），），a a1，a a

15、2，a a，a a均为维列向量，已知均为维列向量，已知a a2，a a，a a，线性无关，且线性无关，且a a1a a2a a，如果如果b b a a1 a a2 a a a a，求线性方程组求线性方程组Ax b b 的通解的通解解：解：由于由于a a2，a a，a a，线性无关和线性无关和a a1a a2a a，故的故的 秩为，因此秩为，因此Ax 的基础解系只含有一个向量的基础解系只含有一个向量 由于由于 a a1a a2a a a a，知知 （，），）是是Ax 的基础解系的基础解系 再由再由 b b a a1 a a2 a a a a 知知 （，）（，）是是Ax 的一个解的一个解 所以所以Ax b b 的通解为的通解为 x=（，）（，）+k（，）（，）.37自学书自学书P.144-145 例例2、3、5。384.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用39