第三节 无穷小(量)和无穷大(量).ppt

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1、1一、无穷小一、无穷小(量量)定义定义以零为极限的函数以零为极限的函数(或数列或数列)称为称为无穷小无穷小(量量).例如例如,注注:1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.2.3 无穷小无穷小(量量)和无穷大和无穷大(量量)2无穷小和极限的关系无穷小和极限的关系:定定理理 变变量量y 以以A为为极极限限的的充充分分必必要要条条件件是是：变变量量y 可以表示为可以表示为A 与一个无穷小量的和。即与一个无穷小量的

2、和。即limy=A y=A+a a，其中其中a a 是无穷小是无穷小 。证略证略.定理表明：定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：无穷小量的性质：1有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理定理2无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。3例例1解解 4例例2例例35二、无穷大量二、无穷大量定义义 在自变量的某一变化过程中在自变量的某一变化过程中,若变量若变量y y的绝对值的绝对值|y|y|无限地增大无限地增大,

3、则称则称y y为无穷大为无穷大,记为记为若若y y恒为正且恒为正且y y无限地增大无限地增大,则称则称y y为正无穷大为正无穷大,记为记为若若y y恒为负且恒为负且|y|y|无限地增大无限地增大,则称则称y y为负无穷大为负无穷大,记为记为6几点说明:(1)无穷大量定义对数列也适用(2)无穷大是相对于自变量某个变化过程而言的.例如,时,是无穷大,而 时,不是无穷大.(3)无穷大是指自变量的某个变化过程中,其绝对值无限增大的变量,而不是绝对值很大很大的常量.7(4)定义只是无穷大的一种直观描述,而不是严格的数学定义.(或+,或)的严格数学定义是:对任意给定的正数M(不论多么大),总存在0,使当0

4、|xx0|M(或f(x)M,或f(x)M)8证证 得证得证.xoy例例49无穷大量与无界变量的关系无穷大量与无界变量的关系(1)(1)无穷大量显然是无界变量；无穷大量显然是无界变量；(2)(2)但无界变量不一定是无穷大量。但无界变量不一定是无穷大量。例如数列例如数列再如，再如，但它并不是无穷大量。但它并不是无穷大量。10三、无穷大量与无穷小量的关系三、无穷大量与无穷小量的关系意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.例例511例例6解解所以原极限为所以原极限为-1；所以所以12四、无穷小量的比较四、无穷小量的比较例如例如,比值极限不同比值极限不同,反映了两者趋向于零的反映了两者趋向于零的“快快慢慢”程度不同程度不同.观观察察各各极极限限下节证下节证13定义定义：14说明说明:1 1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶才能说它们阶的高低或是否同阶.2 2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的能比较阶的高低的.15例例716例例8证证17例例9证证18例例10但是，但是，不存在，不存在，