第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性.ppt

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1、第3讲函数的奇偶性与周期性f(x)f(x)或f(x)f(x)或相同相反(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.判断函数的奇偶性有三种方法：（1）定义法（2）图像法（3）性质法3、奇偶性推广（对称性）（1）若 则 的图像关于直线 对称，即f(x+a)为偶函数（2）若 则 的图像关于 对称，即f(x+b)为奇函数f(xT)f(x)存在一个最小（3）几种不同的给出函数周期的形式若若若5.与对称性联系函数的奇偶性1.函数f(x)=-x的 图 象 关 于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点

2、对称D.直线y=x对称解析:f(x)=-x是奇函数,所以图象关于原点对称.答案:C考点一解析解析2.(2012南京模拟)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.答案:B解析解析3.(密码改编)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1

3、)=.解析:由f(0)=0得b=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+21-1)=-3.答案:-3解析解析4.讨论下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x|(x2+1);解:(1)此函数的定义域为R.f(-x)=|-x|(-x)2+1=|x|(x2+1)=f(x),f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.解析解析f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.解析:f(x)的周期为5,f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)为R上的奇函数.f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.答案:A考点二函数的奇偶性与周期性1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=

4、1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于()2.已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2011)等于()A.-2B.2C.-18D.18解析:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数.f(2011)=f(-1),又f(x)为奇函数.f(-1)=-f(1).而当x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(1)=2.f(2011)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:A解析解析解析解析1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递减的是考点三()A.y=x2+cosxB.y=-|x|

5、C.y=lg2xD.y=解析:对于A项,函数为偶函数,但在(0,+)上的单调性不确定.对于B项,函数为偶函数,在(0,+)上为减函数.解析解析函数性质的综合运用对于C项,函数为奇函数,在(0,+)上为增函数.对于D项,函数为奇函数,在(0,+)上为减函数.答案:B2.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.7B.6C.5D.4解析:依题可知f(x)=f(x+3),故f(2)=f(5)=0.又f(x)是定义在R上的奇函数,f(-x)=-f(x).f(-2)=-f(2)=0,f(-2)=f(1)=f(4)=0.又奇函数

6、有f(0)=0,解析解析f(3)=f(6)=0.又f(-)=f()且f(-)=-f()f()=-f(),f()=0,f()=f()=0.在(0,6)内f(x)=0解的个数最小值为7.答案:A3.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.(1)求f()及f();(2)证明:f(x)是周期函数.解:(1)对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f(x)=f()f()0,x0,1,f(1)=f(+)=f()f()=f()2,解析解析f()=f(+)=f()f()=f()2,f(1

7、)=a0.f()=,f()=.(2)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称,f(x)=f(1+1-x),f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x),f(-x)=f(2-x).f(x)=f(2+x).f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.1.因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.2.对于抽象函数不等式,往往通过函数的奇偶性将其转化为f(x1)f(x2)的形式,再利用函数的单调性脱去符号“f”,且勿忽略变量的定义域.规范解答3如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题解析解析解析解析