(精品)第三节泰勒公式.ppt

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1、第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 第三章第三章 二、泰勒公式的引入二、泰勒公式的引入一、多项式的一、多项式的泰勒公式泰勒公式三三、泰勒公式泰勒公式四、泰勒公式的应用四、泰勒公式的应用回顾回顾拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式:或或问题问题:能否推广此公式能否推广此公式?泰勒公式泰勒公式!一、多项式的泰勒公式一、多项式的泰勒公式问题问题:说明：说明：在在 x=a(a0)邻近邻近 f(x)具有什么性质？具有什么性质？说明：说明：按按 x a 的方幂把的方幂把 f(x)展开展开:多项式多项式 f(x)的的泰勒公式泰勒公式按按 x a 的方的方幂把幂把 f(x)展开展开例例1.解解:00例

2、例2.解解:按按 x 的方幂展开的方幂展开,即是按即是按 x 0 展开展开.牛顿二项展开式是牛顿二项展开式是泰勒公式的特例泰勒公式的特例!三、泰勒公式的引入三、泰勒公式的引入不足不足:1.精确度不高精确度不高;2.误差不能估计误差不能估计.方法方法:满足满足:一次多项式一次多项式误差：误差：问题：问题：能否找到三个常数能否找到三个常数 ，使得，使得f(x)一次近似式一次近似式则令则令 x a,在上式两端取极限得在上式两端取极限得误差：误差：二次多项式：二次多项式：f(x)二次近似式二次近似式f(x)的的n 次泰勒多项式次泰勒多项式(n次近似式次近似式):类似地，类似地，f(x)的的 n 阶阶泰

3、勒公式泰勒公式误差：误差：公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.四、泰勒公式四、泰勒公式具有直到具有直到 n+1 阶的导数阶的导数,其中其中则当则当x(a,b)时，时，泰勒中值定理：泰勒中值定理：*证明：证明：令令(称为余项称为余项),则有则有证毕证毕.说明说明:泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.带有拉格朗日型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式佩亚诺型余项佩亚诺型余项带有佩亚诺型余项的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式阶泰勒公式误差误差带有拉格朗日型余项带有拉格朗日

4、型余项的的麦克劳林公式麦克劳林公式.带有带有佩亚诺佩亚诺型余项型余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式.则有误差估计式则有误差估计式带有带有拉格朗日型余项拉格朗日型余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式:解解:例例3.解解:例例4.误差估计误差估计:其误差其误差由此可求由此可求 e 的近似值的近似值:例例5.解解:在泰勒公式中取在泰勒公式中取 n=2m,则则0其中其中（佩亚诺型）（佩亚诺型）误差误差:（拉格朗日型）（拉格朗日型）42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近类似可得类似可得其中其中其中其中其中其中例例6.解解:例例7.解解:例例8.求极

5、限求极限解解:五、泰勒公式的应用五、泰勒公式的应用 解解:例例9.例例10.解解:例例11.证：证：(仅当仅当 x=0 时等号成立时等号成立).).例例12.证证:由泰勒公式可得由泰勒公式可得两式相加两式相加,得得内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算近似计算(3)其他应用其他应用求极限求极限,证明不等式证明不等式 等等.(2)利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数,思考与练习思考与练习 1.利用泰勒公式求利用泰勒公式求解解2.证证:其中其中两边同乘两

6、边同乘 n!=整数整数+假设假设 e 为有理数为有理数(p,q 为正整数为正整数),则当则当 时时,等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾!4.证明证明 e 为无理数为无理数 .证证:时时,当当故故 e 为无理数为无理数.等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.泰勒泰勒 (1685 1731)英国数学家英国数学家,他早期是牛顿学派最他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一优秀的代表人物之一,重要著作有重要著作有:正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715)线性透视论线性透视论(1719)他在他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式年就得到了现代形式的泰勒公式.他是他是有限差分理论的奠基人有限差分理论的奠基人.麦克劳林麦克劳林 (1698 1746)英国数学家英国数学家,著作有著作有:流数论流数论(1742)有机几何学有机几何学(1720)代数论代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数.作业作业P145:1,3,5,6.