(精品)第三章线性方程组和矩阵的初等变换.PPT

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1、本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较解线性方程组的方法内容丰富，难度较大大.引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解求解线性方程组线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程解解用用“回代回代”的方

2、法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变

3、换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆

4、变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两例如，两个个线性方程组同解，线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零

5、行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形例如，例如，特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.三

6、、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换思考题思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为思考题解答思考题解答解解一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩例例1解解例例2解解例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此此方法简单！方法简单！问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？证证二、矩阵秩的求

7、法二、矩阵秩的求法 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例5 5解解分析：分析：三、小结三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩

8、的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题思考题思考题解答思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的

9、nDn从而从而这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即即充分性充分性.(),nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx=()(),BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn

10、-即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性.()(),BRAR=设设()()(),nrrBRAR=设设证毕证毕其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量,小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化

11、成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法即得与即得与原方程组同解的方程组原方程组同解的方程组由此即得由此即得例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故故方程组无解方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变

12、换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：例例 设有线性方程组设有线性方程组解解其通解为其通解为这时又分两种情形：这时又分两种情形：()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解解故原故原方程组的通解为方程组的通解为定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等

13、方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.二、初等矩阵的应用二、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，

14、则存在有限个初等方阵方阵证证即即利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：解解例例即即初等行变换初等行变换例例解解列变换列变换列变换列变换解解例例3 3三、小结三、小结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题思考题思考题解答思考题解答解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,而而得得.而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得初等变换的定义初等变换的定义换法换法变换变换倍法倍法变换变换消法消法变

15、换变换初初等等变变换换 逆逆变变换换三三种种初等变换都是可逆的，且其逆变换是初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵的等价矩阵的等价三种三种初等变换对应着三种初等矩阵初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵（）倍法变换：以数（）倍法变换：以数（非零）乘某行（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：

16、以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯

17、形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如行最简形矩阵行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如矩阵的标准形矩阵的标准形所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准

18、形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵定义定义矩阵的秩矩阵的秩定义定义定理定理行行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理定理定理定理定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理齐齐次次线性方程组线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐非齐次次线性方程组线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解10线性

19、方程组的解法线性方程组的解法定理定理11初等矩阵与初等变换的关初等矩阵与初等变换的关系系定理定理推论推论一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题典型例题求求矩阵的秩有下列基本方法矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩（）用初等变

20、换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施

21、行初等行变换化为阶梯形矩阵注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组二、求解线性方程组例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解解解对

22、方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解解法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为从而得到方从而得到方程组的通解程组的通解解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵解解注意注

23、意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法或者或者例例解解第三章测试题第三章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共2424分分)1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多

24、解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是4 4线性方程组线性方程组有解的充要条件是有解的充要条件是二、计算题二、计算题(第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分)2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵四、证明题四、证明题(每小题每小题8 8分，共分，共1616分分)(每小题每小题7 7分，共分，共1414分分)测试题答案测试题答案