(精品)第2章随机变量的分布与数字特征.ppt

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1、第二章第二章 随机变量的分布及其数字特征随机变量的分布及其数字特征2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一一.随机变量的概念随机变量的概念 为为了了全全面面地地研研究究随随机机试试验验的的结结果果,揭揭示示客客观观存存在在着着的的统统计计规规律律性性,我我们们将将随随机机试试验验的的结结果果与与实实数数对对应应起起来来,将将随随机机试试验验的的结结果果数数量量化化,引引入入随机变量的概念随机变量的概念.引入随机变量后,就可以用随机变量X描述事件.一般对于任意的实数集合L,X L表示事件|X()L.通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.二二.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率

2、分布 分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质分布律具有以下性质:上表称为随机变量X的概率分布表。例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律.解解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4.以p=1/2代入得.(2)从而从上面的例子可知，若已知离散型随机变量的概率分布p(xi)，则对任意区间I,三三.分布函数分布函数分布函数的性质分布函数的性质 例:设随机变量X的

3、分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2)=3/4-1/4=1/2 P2 X 3 =F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk k=p pk k,k k=1,2,=1,2,由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X X的分布函数为的分布函数为F(F(x x)=PX

4、)=PXx x=PX=PX=x xk k=p pk k 这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和.解解(1)(2)X-124Pk0.20.50.3五、连续型随机变量及其概率密度五、连续型随机变量及其概率密度综上所述如果令 则有 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义 由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数是一个连续函数.设X为连续型随机变量,则对任意的实数ab即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面积.因此,X取任意单点值a的概率从而密度函数的性质密度函数的性质连续型随机变量的密度函数有如下性质：连续型随机变量的密

5、度函数有如下性质：注注：若某一函数满足以上性质1，2，则它可以作为某个连续型随机变量的分布函数。解解 f(x)的图形如图 从而得 例例:试确定常数a,使为某个随机变量X的概率密度,且计算事件1.5X 2的概率.解解 因所以a=2.故从而作业P44,4，5，6，9，112.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的描述并不使人感到方便.设一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.

6、如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.1.随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的

7、频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X).如果则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.注：要求是因为离散型随机变量的取值可以按不同顺序排列，而改变顺序时，数学期望的取值不应改变。而 能保证不管离散型随机变量的顺序如何，的值都一样。所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称 例例:有A，

8、B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为 解解 分布律为：X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为：1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为E(X)=自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x)是连续型随机变量X的密度函数,取分点x0 x1xn+1则随机变量X落在xi=(xi,xi+1)中的概率为与X近似的随机变量Y的数学期望为由微积分知识自然想到X的数学期望为为连续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望,记为记为E(X).定义定义:设连续型随机变量X的密度函

9、数为p(x),若 则称 如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解解所以E(X)不存在.但1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数).(1)设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk,k=1,2,.(2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若则则有证明证明：这里仅对离散型随机变量的情形予以证明。由数学期望定义有X-1 0 1 2P0.1 0.3 0.4 0.2Y=2X

10、-3-5 -3 -1 1P0.1 0.3 0.4 0.20 1 4P0.3 0.5 0.21.4 数学期望的性质数学期望的性质1.若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.证明证明(1)设离散型随机向量X分布列为X=xi=pi,i=1,2,则(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则(3)因为PX=C=1,故E(C)=E(X)=C1=C下面给出第一条性质的证明。其他请同学们完成。例例:若若EX,EX2都存在，试证明都存在，试证明证明证明 E(X-EX)2=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2

11、 =E(X2)-E(X)21.5 随机变量的随机变量的方差方差 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?分析原因：分析原因：A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的.怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,

12、但运算不方便;(4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.定义：定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2称为X的标准差标准差 定理定理:方差实际上是随机变量X的函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(

13、XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好.例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6例例：X为一随机变量，方差存在，令证明：当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.证明证明：显然，当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.这个例子表明，若用常数C来预测X，X的实际取值与C存在偏差X-C,平均意义下的偏差程度用均方误差E(X-C)2来衡量,则最好的误差应使得E(X-C)2最小，C=EX做到这一点。1.6 随机变量的矩与切比雪夫不等式随机变量的矩与切比雪夫不等式定义定义:若若EXk(k=1,2,)存在存在(E|

14、X|k小于正无穷小于正无穷),则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩,简称简称k阶矩，阶矩，E|X|k为为X的的k阶绝对矩阶绝对矩.定理定理2.2 随机变量X的t阶矩存在，则其s(0st)阶矩存在。证明证明 设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x).推论推论：设k为正整数，C为常数，如果 存在则 也存在，特别地 也存在定义定义 若若 EXk(k=1,2,)存在存在,则称则称 为为X的的k阶阶中心矩中心矩.为为X的的k阶绝对中心矩。阶绝对中心矩。注注：数学期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩。由以上定理，若EX2存在，则数学期望和方差都存在。定理定理2.3 设h(x)是非负函数，X是一

15、个随机变量，且Eh(X)存在，则对任意 ，有证明证明：设X的密度函数为f(x),则推论推论1（马尔可夫不等式）设X的k阶矩存在，则对任意 ，有推论推论2（切比雪夫不等式）设X的方差存在，则对任意推论推论3 随机变量的方差为0当且仅当存在一个常数a,使得PX=a=1.证明 充分性显然，下证必然性。首先注意到从而有由切比雪夫不等式，有从而得因此EXEX-EX+x作业 P55，2，52.3 常用的离散型分布常用的离散型分布1.退化分布退化分布一个随机变量X以概率1取某一常数，即PX=a=1,则称X服从a处的退化分布退化分布。2.两点分布两点分布(0-1分布分布)X01Pk1-pp显然，EX=a,DX

16、=0.此时，称X服从参数为p的两点分布(0-1分布)，或称X是参数为p的伯努利随机变量。显然，EX=p,DX=p(1-p)注：在实际中，服从两点分布的随机变量通常根据实验中某一事件A的发生与否构造出来。例如，设P(A)=p,P()=1-p,则随机变量参数为p的两点分布。这个随机变量也相当于表示A发生的次数的随机变量。例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95X服从(0-1)分布3、n个点上的均匀分布个点上的均匀分布特殊的随机变量取特殊的随机变量取n个值个值,等可能等可能,即即:

17、称称X服从服从n个点上的均匀分布个点上的均匀分布.其期望与方差分别其期望与方差分别为为:4.二项分布二项分布在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p,(0p0为例):xy0 xy0根据积分，容易验证证毕x2.标准正态分布函数表附表2的使用方法0 x-x作业 P69,5,92.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.如果已知随机变量X的分布,另一随机变量Y=g(X)是X的函数,如何求Y的分布(2.90).2.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布例例:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的分布律.解解 Y所有可能取的值为0,1,4.由PY=0=P(X-1)2=

18、0=PX=1=0.1PY=1=P(X-1)2=1=PX=0+X=2=PX=0+PX=2=0.7PY=4=P(X-1)2=4=PX=-1=0.2即得Y的分布律为3.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 在许多实际问题中，常需要考虑随机变量函数的分布.如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的函数.在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=f(X)分布.例例2.29:2.29:设随机变量X具有概率密度pX(x),-x0时有于是得Y的概率密度为由上例，若X服从标准正态分布，则Y=X2的概率密度函数为我们把密度函数为pY(y)的随机变量Y称作自由度为1的分布。例例2.30对数正态分布对数正态分布 如果随机变量Y=lnX服从正态分布，则称X服从参数为的对数正态分布。试求对数正态分布的密度函数。解解 由于Y=lnX服从正态分布，所以于是，当x0时，FX(x)=0;所以，X的密度函数为作业P73,3,4,9