(精品)高数不定积分.ppt
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1、1不定积分的概念与基本积分公式2 换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数的不定积分第八章 不定积分1不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式第八章 不定积分在第三章我们研究了已知 f,如何求 f 的导数 f 的表达式,得到了一些计算法则,例如:(f+g)=f+g,(f g)=f g+f g,(f)=f 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式,我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若 f 为初等函数,f 的表达式能求出.我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。问题:在已知 f 的表达式时,f 的表达式是什么形式呢?即是,已知函数 f 的表达式,求 f 的原函数是什么。.基
2、本积分表 换元积分法 分部积分法 有理函数积分本章主要内容本章主要内容:例如,在区间(,)内,因为(sin x)cos x,所以 sin x是 cos x的一个原函数。提问:提问:cos x还有其它的原函数吗?提示:提示:cos x的原函数还有sin xC。定义1 如果在区间 I 上,可导函数 F(x)的导数为 f(x),即对任一 xI,都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx,则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上的原函数。原函数概念两点说明:两点说明:2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常
3、数)。1、如果F(x)是 f(x)的原函数,那么F(x)C 都是 f(x)的原函数,其中 C 是任意常数。定义1 如果在区间 I 上,可导函数 F(x)的导数为 f(x),即对任一 xI,都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx,则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上的原函数。原函数概念注注2.符号差别:与不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念1.定义:定义:设I为某区间,称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分,记作积分号被积函数积分变量注注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数的微分。数一族函数(3)定理定理1.设F(x)是f
4、(x)在区间I上的一个原函数,则(4)其中C为任意常数0 x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4 例例1 例例2 例例3 解:解:-1O 1x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线,而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 例例4求过点(1,3),且其切线斜率为2x的曲线方程。解解:设所求的曲线方程为 yf(x),则 y f(x)2x,即f(x)是2x
5、的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3),故 31C,C2。于是所求曲线方程为yx22。2 1O12x2112 yyx2+2yx2(1,3)所以y=f(x)x2C。例例5:解:解:容易看到两边除以3,得求导数的性质yy=x2xyx因此,2.不定积分的性质:不定积分的性质:1)2)3)4)3.基本积分公式基本积分公式积分公式积分公式导数公式导数公式1231)2)3)5)6)7)56744)10)11)10119)98)84.积分公式的简单应用积分公式的简单应用例例1.求解解:例例2.求解解:例例3.求解解:例例4.求f(x)=x2+1,x0时,练习:练习:3(8,9,10)例例16例例18例例
6、19例例20练习:练习:3(24,28,30)例例21例例22三三 第二类换元法第二类换元法第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分下面介绍的第二类换元法是通过变量替下面介绍的第二类换元法是通过变量替换换 将积分将积分证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元法第二类积分换元法例例1313 求求解解1 1 三角代换三角代换例例1414 求求解解 令令例例1515 求求解解 令令注注三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.例例1616 求求解解令令2 2 根式代换根式代换考虑到被积函数中的根号是困难所在,故考
7、虑到被积函数中的根号是困难所在,故当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时,可采用令时,可采用令 (其中(其中 为各根指数的最小公倍数)为各根指数的最小公倍数)例例1717 求求解解令令3 3 其他形式代换其他形式代换注注1 积分中为了化掉根式除采用上述代换外还积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换可用双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式 中中,令令注注2 2 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 例例1818 求求令令解解例例1919 求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高基基本本积积分分表表续续考虑积分考虑积分解决思路解决思路
8、利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式四四 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 下面利用两个函数乘积的求导法则,得下面利用两个函数乘积的求导法则,得出求积分的基本方法出求积分的基本方法分部积分法分部积分法.对此对此不等式两边求不定积分不等式两边求不定积分即即分部积分公式:关键:恰当选取u和确定v.如何选取u:(LIATE法)L-对数函数I-反三角函数A-代数函数T-三角函数E-指数函数根据LIATE法,f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部
9、积分公式,若选f(x)=u,则vg(x)注:而v=g(x).例例1 1 求积分求积分解解令令如果令如果令显然,显然,选择不当,积分更难进行选择不当,积分更难进行.一般地,若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数的乘积的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求积分求积
10、分解解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积,就考虑设对数函数为积,就考虑设对数函数为 .例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设反三角函数为积,就考虑设反三角函数为u.例例6 6 求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。复原法在求不定积分时有着广泛的应用。例例7 7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解用用分部积分法,当分部积分法,当在在 积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。例例9 9 求积分求积分解解解解两边同时对两边同
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