(精品)线性系统理论-5b.ppt

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1、能控性能控性:输出输出:y；输入输入:is回路回路的模式（模型）的模式（模型）：e-t可由可由is控制控制；回路回路的的模式（模型）模式（模型）：e-2t不能被不能被is控制控制。若若UC2(t0)=0，tt0，回路回路的模式的模式e-2t不能被激励不能被激励；若若UC2(t0)0，tt0，模式为模式为e-2t，但输入但输入is也无法控制它的变化也无法控制它的变化。回路回路的模式的模式e-t，由输出由输出y上观测不到上观测不到，y 能观测的仅仅是回路能观测的仅仅是回路的模式的模式e-2t；回路回路的模式的模式e-t，可由可由is控制控制可控可控；不能由不能由y观测观测不能观测不能观测。回路回路

2、的模式的模式e-2t,不能由不能由is控制控制不能控不能控；可由可由y 观测观测能观测能观测。5-1 5-1 引言引言 控制作用对控制系统影响的可能性控制作用对控制系统影响的可能性。能能观观测测性性:由系统的输出量确定系统状态的可能性由系统的输出量确定系统状态的可能性。引例引例1如图所示如图所示：_+R32 yC11FR11 C20.5FR21 x1、x2都是由都是由u控制，达到一定状态控制，达到一定状态系统完全能控系统完全能控；y只反映了只反映了x2系统不完全能观测。系统不完全能观测。状态状态x(t)：若若x(t0)=0，tt0，us，x(t)=0 x(t)不能控不能控；若若us=0，x(t

3、0)，tt0，y=0 x(t)不能观测不能观测；不能控不能观测的系统不能控不能观测的系统。引例引例2如图所示如图所示:Cx_+RRRR _+y引例引例3系统系统5-2 5-2 能控性能控性 定义定义定义定义（线性定常系统，状态能控性线性定常系统，状态能控性）对于线性定常系统对于线性定常系统，若若若若对初始状态对初始状态x(t0)0，存在输入存在输入u(t)，tt0,t1，能在有限时间区间能在有限时间区间tt0,t1 内内,将将x(t0)转移到状态转移到状态x(t1)=0，则称此则称此状态状态x(t0)是是能控能控的的。若若若若所有状态均可控，则称此系统是所有状态均可控，则称此系统是完全能控完全

4、能控的的；若若若若系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统系统不完全能控不完全能控。对于线性时变系统，强调对于线性时变系统，强调“x(t0)在在t0时刻能控时刻能控”。若若若若对于对于t (-,)，x(t)均可控，称为均可控，称为“一致可控一致可控”。（n n对称阵对称阵）为为非奇异非奇异。能控性判据能控性判据一一、线线性性定定常常系系统统(A,B,C)能能控控性性判判据据1.定理定理1Gram矩阵判据矩阵判据线性定常系统为完全能控的线性定常系统为完全能控的充要条件充要条件是存在有限时刻是存在有限时刻t10,使使Gram矩阵矩阵 证明

5、证明：a）充分性）充分性：=0b）必要性：）必要性：完全能控完全能控WC(0,t1)非奇异非奇异。反证法：反证法：反设反设WC(0,t1)为奇异，至少为奇异，至少于是于是，又，系统完全能控又，系统完全能控，为为满秩满秩。即即2.定定理理2秩秩判判据据的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立。即即WC(0,t1)是非奇异的是非奇异的。线性定常系统状态完全能控的线性定常系统状态完全能控的充要条件充要条件是是：能控性判别矩阵能控性判别矩阵WCrankWC=n (An n，Bn p，WCn np)（该定理也适用于线性定常离散系统该定理也适用于线性定常离散系统：证明：

6、证明：a）充分性充分性 已知已知rankWC=n 系统完全能控。系统完全能控。反证法：反证法：反证系统不完全能控。反证系统不完全能控。为奇异，则存在非零向量为奇异，则存在非零向量 使其成立使其成立：对对(1)(1)式逐次求导，直到式逐次求导，直到(n-1)次，得次，得(1)和和(2)中令中令t=0，得得由于由于 0所以所以(3)(3)式意味着式意味着WC为行线性相关为行线性相关。即有即有rankWCn，这与已知这与已知rankWC=n矛盾矛盾，所以，反证不成立所以，反证不成立系统为完全能控系统为完全能控。b）必要性：）必要性：已知系统完全能控已知系统完全能控rankWC=n反证法：反证法：反证

7、反证rankWCn。这意味着这意味着：WC为行线性相关，因此，存在非零向量为行线性相关，因此，存在非零向量 使其成立使其成立。又由又由(4)知知根据根据Cayley-Hamilton定理知定理知，An，An+1，均可表示为均可表示为，A，A2，An-1的线性组合，的线性组合，例例已知已知 可得可得：(9)式表明式表明，Gram矩阵矩阵WC(0,t1)为奇异，即系统不完全能控，为奇异，即系统不完全能控，与已知系统完全能控矛盾，反证不成立。与已知系统完全能控矛盾，反证不成立。于是，有于是，有rankWC=n。必要性得证。必要性得证。判定系统判定系统(A,B,C)是否完全能控。是否完全能控。rank

8、WC=23(n=3)系统不完全能控系统不完全能控。作变换作变换：线性定常系统的系统矩阵线性定常系统的系统矩阵A有相异特征值有相异特征值，则系统完全能控的则系统完全能控的充要条件充要条件是是M-1B中中没有元素全为零的行没有元素全为零的行。4定理定理4对角形判据对角形判据证明：证明：已知已知3定理定理3对状态变量对状态变量x(t)进行非奇异进行非奇异线性变换线性变换，即即x(t)=PZ(t)（P为非奇异为非奇异），），不改变不改变系统的系统的能控性能控性。M是系统的模式矩阵是系统的模式矩阵。（。（M=e1，e2，,en）证明：证明：M=e1，e2，,enx=Mz中第中第q行元素全为零行元素全为零

9、：反之反之，不含有全零的行，不含有全零的行，无线性相关行（因无线性相关行（因 i相异相异）由下式亦可进一步理解由下式亦可进一步理解：5.定理定理5约当规范形判据约当规范形判据设系统设系统(A,B)有重特征值有重特征值 1(1重重)，2(2重重)，k(k重重)，系统经系统经x=Tw非奇异变换后为约当规范形非奇异变换后为约当规范形：式中式中即每个重特征值即每个重特征值 i对应于一个约当块（每个约当块对应对应于一个约当块（每个约当块对应于互不相同的特征值）。于互不相同的特征值）。则系统完全能控的则系统完全能控的充要条件充要条件是是：变换后的控制阵变换后的控制阵中与每一约当块中与每一约当块Ji(i=1

10、,2,k)的的最后一行相应的各行，其元素不完全为零。即最后一行相应的各行，其元素不完全为零。即证明：证明：rankWCW=nrankWCX=n系统系统(A,B)完全能控完全能控。完全能控完全能控某某J约当块约当块Ji，相应的相应的Jil为一上三角块为一上三角块。因此，若对应于因此，若对应于Ji的最后一行，记为的最后一行，记为J 的第的第q 行行，控制阵控制阵中该行元素全为零，即中该行元素全为零，即 则则WCW中必有第中必有第q行元素为零。于是行元素为零。于是：rankWCWn.若若rankWCW=n，则须使则须使注注:若重特征值若重特征值 i对应的两个以上的约当块对应的两个以上的约当块，即即：

11、由由的最后一行组成的矩阵的最后一行组成的矩阵 对于对于i=1,2,k 均为线性无关。均为线性无关。则系统则系统(A,B)完全能控的完全能控的充要条件充要条件是是：因为因为则则WCW中必有两行线性相关，于是中必有两行线性相关，于是rankWCWn。若若与与线性相关（即有线性相关（即有线性相关线性相关）,以上的以上的“注注”是针对多输入系统的。（若是针对多输入系统的。（若P(行行)t0使使Gram矩阵矩阵：其中其中，(,)为该系统的状态转移矩阵为该系统的状态转移矩阵。即即rankWC(t0,t1)=n。（完全能控完全能控）2判据判据2秩判据秩判据设设A(t)和和B(t)是是(n-1)阶阶连续可微连

12、续可微的矩阵的矩阵，若存在一个有限时刻若存在一个有限时刻t1,t1t0使使则线性时变系统则线性时变系统(A(t),B(t)在时刻在时刻t0为完全能控为完全能控。其中：其中：（这是一个充分条件这是一个充分条件。）。）5-3 5-3 能控标准形能控标准形(规范形规范形.典范形典范形)讨论：讨论：单输入系统的能控规范形单输入系统的能控规范形。1定义定义单输入系统单输入系统(AC,BC)为为能控规范形能控规范形，若若2定理定理若系统的状态方程为若系统的状态方程为能控规范形能控规范形，则系统必则系统必完全能控。完全能控。证证 为为下三角下三角阵阵,rankWC=n.若单输入系统若单输入系统(A,B)完全

13、能控完全能控，则有非奇异阵则有非奇异阵P，使使（P-1AP，P-1B）为能控标准形，即为能控标准形，即3定理定理 其中其中：证证：设设QA=ACQ（1）QB=BC（2）记记：由由(1)：由由(2)得得：转置转置：所以，可得出所以，可得出若若Q为非奇异（待证），为非奇异（待证），Q-1存在，可令存在，可令P=Q-1，P-1=Q，则有则有如此，也给出了如此，也给出了P(P-1)构造方法构造方法。补证：补证：Q为非奇异为非奇异注意注意：的最后一行，可知的最后一行，可知5能控标准形系统的能控标准形系统的特性特性4推论推论单输入系统单输入系统(A,B)完全能控的完全能控的充要条件充要条件是是可通过非奇异

14、可通过非奇异线性变换线性变换x=Pz，使系统使系统(A,B)变为能控标准形变为能控标准形(AC,BC)。（单输入系统）（单输入系统）（1）矩阵矩阵AC中的系数中的系数 0,1,n-1可为任意值，可为任意值，不影响系统的能控性。不影响系统的能控性。（2）矩阵矩阵AC的特征多项式的特征多项式（3）这因为这因为当当q=1时时（SISO系统系统）：）：例例 求：求：（1）能控标准形能控标准形；（2）传传函函G(s)；（3）x(0)=0,u(t)=l(t)时的时的y(t)。解：解：（1）先判断能控性。先判断能控性。系统完全能控系统完全能控。5-4 5-4 能观测性能观测性 研究能观测性研究能观测性：能观

15、测性判据能观测性判据一、线性定常系统的能观测性判据一、线性定常系统的能观测性判据1定理定理1Gram矩阵判据矩阵判据线性定常系统完全能观测的线性定常系统完全能观测的充要条件充要条件是存在有限时刻是存在有限时刻t10，使使Gram矩阵矩阵为非奇异。为非奇异。2定理定理2秩判据秩判据 系统系统(A,C)为完全能观测的为完全能观测的充要条件充要条件是能观测性判别矩阵是能观测性判别矩阵W0：为满秩，即为满秩，即该定理也适用于线性定常离散系统该定理也适用于线性定常离散系统。若系统若系统(A,C)有奇异特征值，则系统完全能观测的有奇异特征值，则系统完全能观测的充要条件充要条件是是CM中没有全为零的列中没有

16、全为零的列。M=e1，e2，,en是系统的模式矩阵是系统的模式矩阵。3定理定理3 4定理定理4对角形判据对角形判据5定理定理5 约当规范形判据约当规范形判据 设系统设系统(A,C)有重特征值有重特征值 1(1重重)，2(2重重)，k(k重重)，系统经系统经x=Tw非奇异变换后为约当标准形非奇异变换后为约当标准形。其中其中，对系统对系统(A,C)进行非奇异线性变换进行非奇异线性变换，x=Pz，P为为非奇异阵，不改变其能观测性。非奇异阵，不改变其能观测性。系统完全能观测的系统完全能观测的充要条件充要条件是：是：均为线性无关均为线性无关。的第的第1列所组成的矩阵列所组成的矩阵由由对于单输出系统，则当

17、对于单输出系统，则当 i j（i,j=1,2,，k）得得：完全能观测的完全能观测的充要条件充要条件为为：例例(能观测能观测)(能观测能观测)二、线性时变系统的能观测判据二、线性时变系统的能观测判据1判据判据1Gram矩阵判据矩阵判据线性时变系统线性时变系统(A(t),C(t)在时刻在时刻t0为完全能观测的为完全能观测的充要条件充要条件是是存在有限时刻存在有限时刻t1,t1t0,使使Gram矩阵矩阵为非奇异为非奇异。2判据判据2 秩判据秩判据 A(t)和和C(t)为为(n-1)阶连续可微，若存在时刻阶连续可微，若存在时刻t1,t1t0,使使则则(A(t),C(t)在时刻在时刻t0为完全能观测为完

18、全能观测。其中其中5-5 5-5 能观测标准形能观测标准形(规范形规范形)讨论单输出系统讨论单输出系统1定义定义单输出系统单输出系统(Ao,Co)为为能观测标准形能观测标准形，若若2定理定理若线性定常系统的系统方程为能观测标准形，若线性定常系统的系统方程为能观测标准形，则该系统必为完全能观测。则该系统必为完全能观测。3定理定理若单输出系统若单输出系统(A,C)为为完全能观测完全能观测，则必有非奇异阵则必有非奇异阵Q，使使(Q-1AQ,CQ)为为能观测标准形能观测标准形。即即：5能观测标准形系统的能观测标准形系统的特性特性（单输出系统）（单输出系统）其中其中Pn为为中中的最后一列构成的列向量的最

19、后一列构成的列向量(n 1)。4推论推论单输出系统单输出系统(A,B)为完全能观测的为完全能观测的充要条件充要条件是是可通过非奇异线性变换可通过非奇异线性变换x=Qz,使系统使系统(A,C)变换为能观测标准形变换为能观测标准形(Ao,Co)。(1)Ao中中 i(i=0,1,n-1)为任意值为任意值,不改变系统的能观测性。不改变系统的能观测性。当当P=1（SISO），），5-6 5-6 能控与能观测典范分解能控与能观测典范分解 线性系统可分解为线性系统可分解为四种系统四种系统：能控能控能观测能观测1 2.3.4.一、能控性典范分解一、能控性典范分解定理定理n 阶系统阶系统(A,B,C)，rank

20、Wc=kn，则通过非奇异变换则通过非奇异变换可导出原系统按能控性典范分解的新系统可导出原系统按能控性典范分解的新系统(Ac,Bc,Cc)，有，有xc是是k维能控状态分量维能控状态分量，为为(n-k)维不能控分量，维不能控分量，为能控子系统。为能控子系统。5-3 Tc的求法：的求法：i)从从WC中任选中任选k(rankWC=k)个个线性无关的列向量线性无关的列向量，它为它为Tc的前的前k列列：V1,V2,Vk；ii)在在Rn中再选中再选n-k个个列向量列向量，记为记为Vk+1,Vn,需使得需使得：为非奇异。为非奇异。证：证：（1）记记Tc=p1,p2其中其中，由由Tc的构成，知的构成，知Tc-1

21、存在存在。当当j k，AVj是是 V1,V2,Vk 的线性组合的线性组合。因此因此，于是于是，由由(*)式式，知知Q2Ap1=0。设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。试将该系统按能控性进行分解。例例 同理同理，B的所有列也均可由的所有列也均可由 V1,V2,Vk 线性表示线性表示；所以所以，Q2B=0。即有即有解解系统能控性判别阵系统能控性判别阵rankWc=2n=3所以系统是所以系统是不完全能控不完全能控的的。其中其中Tc3是任意是任意的的，只要能保证只要能保证Tc非奇异即可非奇异即可。变换后的系统的状态

22、空间表达式变换后的系统的状态空间表达式即即能控子系统能控子系统为为用MATLAB进行分解：A=0 0-1;1 0-3;0 1-3;B=1;1;0;C=0 1-2;Tc=1 0 0;1 1 0;0 1 1;Ac=inv(Tc)*A*Tc,Bc=inv(Tc)*B,Cc=C*Tc为能观测子系统为能观测子系统。可将原系统变换为按能观测典范分解的新系统可将原系统变换为按能观测典范分解的新系统(Ao,Bo,Co)，有，有5-4定理定理n 阶系统阶系统(A,B,C)，rankWo=rn，通过通过非奇异非奇异变换变换，xo为为r 维维能观测能观测状态分量状态分量；是是(n-r)维维不能观测不能观测的状态分量

23、的状态分量。二、能观测性典范分解二、能观测性典范分解 To-1的求法的求法:i)从从Wo中任选中任选r(rankWo=r)个个线性无关线性无关的行向量，作为的行向量，作为To-1的前的前r 个行向量个行向量。ii)在在Rn中再选中再选(n-r)个行向量，构成个行向量，构成To-1，并使并使To-1为为非非奇异奇异。例例设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。能观测，试将该系统按能观测性进行分解。解解系统能观测性判别阵系统能观测性判别阵rankWo=2n所以系统是所以系统是不完全能观测不完全能观测的的。即即其中

24、其中是任意的，只要能保证是任意的，只要能保证非奇异非奇异即可即可。变换后的系统的状态空间表达式变换后的系统的状态空间表达式能观测子系统能观测子系统为为用MATLAB进行分解：A=0 0-1;1 0-3;0 1-3;B=1;1;0;C=0 1-2;To=inv(0 1-2;1-2 3;0 0 1);Ao=inv(To)*A*To,Bo=inv(To)*B,Co=C*To三、线性系统的典范分解三、线性系统的典范分解引理引理系统系统(A,B,C)完全能控且完全能观测的完全能控且完全能观测的充要条件充要条件是是：证明证明能控的充要条件能控的充要条件：rankWc=n 能观的充要条件能观的充要条件：ra

25、nkWo=n 又由又由Sylvester不等式不等式：其中其中，因此，系统完全能控且完全能观测，则必有因此，系统完全能控且完全能观测，则必有定理定理不完全能控、不完全能观测的不完全能控、不完全能观测的n阶系统阶系统(A,B,C)则可通过非奇异变换则可通过非奇异变换,将原系统将原系统(A,B,C)变换为按能控性变换为按能控性和能观测性典范分解的系统和能观测性典范分解的系统(Aco,Bco,Cco)有有：(1)能能 控控 能观测能观测 为能控且能观测子系统。为能控且能观测子系统。5-5按能控性和能观测性进行典范分解的步骤按能控性和能观测性进行典范分解的步骤是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系

26、统按能控性是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解和能观测性进行结构分解。可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。下结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种面介绍一种逐步分解逐步分解的方法的方法。(1)先将系统按先将系统按能控能控性分解性分解；(2)将不能控的子系统按将不能控的子系统按能观能观测性分解测性分解；(3)将能控的子系统按将能控的子系统按能观能观测性分解测性分解；(4)综合以上三次变换综合以上三次变换，导出导出系统同时按能控性和能观测系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。性进行结构分解的表达式。例例已知系统已知系统解解前例已将该系统按能控性分解前例已将该系统按能控性分解不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。即即综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性分解为分解为