(精品)第五章弯曲应力.ppt

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1、 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)Chapter5 Stresses in beamsMechanics of Materials (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)51 引言引言 (Introduction)52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )54 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses i

2、n beams and strength condition)第五章第五章第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in beams)55 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stre

3、sses in flexural members)当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下,梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM,又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S .51 引言引言 (Introduction)mmF FS S mmM 弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯

4、矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力剪力剪力剪力所以所以所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力正应力正应力(Normal stresses)(Normal stresses),又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力(Shear stresses)(Shear

5、stresses)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)二、分析方法二、分析方法二、分析方法二、分析方法 (Analysis method)(Analysis method)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 横力横力横力横力 弯曲弯曲弯曲弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM

6、的情况的情况的情况的情况)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上,剪力等剪力等剪力等剪力等于零于零于零于零,而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量,所以该段梁的弯所以该段梁的弯所以该段梁的弯所以该段梁的弯曲就是曲就是曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲(Pure bending).(Pure bending).若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩为常量为常量为常量为常量,剪力为零剪力为零剪力为零剪力为零,则该段梁的弯曲则该段梁的弯曲则该段梁的弯曲则该段梁的弯曲就称为就

7、称为就称为就称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲(Pure bending)(Pure bending).三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲三、纯弯曲（Pure bending)Pure bending)FFaaCD+FF+F.a图图 5-1AB (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)as shown in Fig 5-1 as shown in Fig 5-1 The central region of this The central region of this beam has nobeam has no shear force shear force（剪力剪

8、力剪力剪力 ）and is subjected toand is subjected to a constanta constant bending moment bending moment（弯矩）弯矩）弯矩）弯矩）equal toequal to F.a.F.a.This condition of constant bending This condition of constant bending moment is called moment is called pure bendingpure bending（纯弯曲）纯弯曲）纯弯曲）纯弯曲）Pure BendingPure Bend

9、ing（纯弯曲）纯弯曲）纯弯曲）纯弯曲）Beam with central region in pure bendingFig 5-1FFaaCD+FF+F.aAB (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution

10、 regularity Distribution regularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stressof stressEstablish the formulaEstablish the formula变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律

11、应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、实验一、实验一、实验一、实验（ExperimentExperiment）1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象（Deformation phenomenon)Deformat

12、ion phenomenon)纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线

13、 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2 2 2 2、提出假设、提出假设、提出假设、提出假设(Assumptions(Assumptions）(a)(a)(a)(a)平面假设平面假设平面假设平面假设 变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形(b)(b)(b)(b)后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)(b)(b)(b)单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设 纵向纤维不相互挤压纵向

14、纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性层中性层（Neutral surfaceNeutral surface）中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变

15、形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)dx图（图（图（图（b b）yzxo应变分布规律应变分布规律应变分布规律应变分

16、布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（图（图（图（a a）dx二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系（Deformation geometric relation Deformation geometric relation）图（图（图（图（c c）yzyxoobbybboo (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系

17、(Physical relationship)Physical relationship)所以所以所以所以Hookes LawHookes LawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比成正比成正比成正比应力分布规律应力分布规律应力分布规律应力分布规律?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲

18、率半径?(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴 (Stresses in Beams)(

19、Stresses in Beams)yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系(Static relationship(Static relationship）横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的

20、位置待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得(1)(1)(2)(2)(3)(3)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)(1)(1)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)(2)(2)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面

21、形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变变变变形形形形几几几几何何何何关关关关系系系系物物物物理理理理关关关关系系系系静静静静力力力力关关关关系系系系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、

22、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心EIEIz z称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度 (Flexural(Flexural rigidity)rigidity)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点

23、到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论讨论 (1)(1)应用公式时应用公式时应用公式时应用公式时,一般将一般将一般将一般将 MM,y y 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情况直接判断况直接判断况直接判断况直接判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出边的以中性轴为界，梁变形后凸出

24、边的应力为拉应力应力为拉应力应力为拉应力应力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力(为负号为负号为负号为负号).).(2)(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)（1 1）当）

25、当）当）当 中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中

26、性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时,横截面上既又横截面上既又横截面上既又横截面上既又 弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力.梁在此梁在此梁在此梁在此种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(NonuniformNonuniform bending

27、)bending)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses of the beam in Normal stresses of the beam in nonuniformnonuniform bending)bending)横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使切应力使切应力使切应力使横截面发生翘曲横截面发生翘曲横截面发生翘曲横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应

28、力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲(NonuniformNonuniform bending)bending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明但进一步的分析表明但进一步的分析表明但进一步的分析表明,工程中常用

29、的梁工程中常用的梁工程中常用的梁工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算可以精确的计算可以精确的计算可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式

30、的应用范围 (The applicable range of the flexure formula)(The applicable range of the flexure formula)1 1 1 1、在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内(All stresses in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit)3 3 3 3、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲、平面弯曲（Plane bendingPlane bending

31、）4 4 4 4、直梁、直梁、直梁、直梁（Straight beamsStraight beams）2 2 2 2、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁、具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress）三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件（Strength condition)Strength condition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1 1 1 1、数

32、学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)(2)(2)(2)(2)设计截面设计截面设计截面设计截面(3)(3)(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(1)(1)(1)(1)强度校核强度校核强度校核

33、强度校核对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 (Brittle materials)Brittle materials)制成的梁制成的梁制成的梁制成的梁,由于材料的由于材料的由于材料的由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴 (Neutral axis)(Neutral axis)一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴,所以梁的所以梁的所以梁的所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材

34、料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力许用拉应力许用拉应力(Allowable tensile stress)(Allowable tensile stress)和和和和许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力 (Allowable compressive stress)(Allowable compressive stress)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长

35、已知板长3 3a a150mm150mm，压，压，压，压板材料的弯曲许用应力板材料的弯曲许用应力板材料的弯曲许用应力板材料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最试计算压板传给工件的最试计算压板传给工件的最试计算压板传给工件的最大允许压紧力大允许压紧力大允许压紧力大允许压紧力F F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解解解解 (1)(1)作出弯矩图作出弯矩图作出弯矩图作出弯矩图的最大弯矩为的最大弯矩为的最大弯矩为的最大弯矩为FaFa(2)(2)求惯性矩，抗求惯性矩，抗求惯性矩，抗求惯性矩，抗弯截面系数弯截面系数弯截面系数弯截面系数(3)(3)求许可载荷求许可载荷

36、求许可载荷求许可载荷 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)80y1y22020120z例题例题例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉铸铁的抗拉铸铁的抗拉铸铁的抗拉许用应力为许用应力为许用应力为许用应力为 t t=30MPa,=30MPa,抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截已知截已知截已知截面对形心轴面对形心轴面对形心轴面对形心轴Z Z的惯性矩为的惯性矩

37、为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4,y y1 1 =52mm,=52mm,校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解解解解最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z (Str

38、esses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题3 3 由由由由 n n 片薄片组成的梁片薄片组成的梁片薄片组成的梁片薄片组成的梁zbFlh当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时,每一每一每一每一薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧

39、若用刚度足够的螺栓将薄片联紧若用刚度足够的螺栓将薄片联紧若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力一、梁横截面上的剪应力（Shear stresses in beamsShear stresses in beams）1 1 1 1、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁(Beam of(Beam of rectan

40、gular cross section)rectangular cross section)54 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition)(1)(1)两个假设两个假设两个假设两个假设(Two(Two assumptions)assumptions)(a)(a)(a)(a)剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行剪应力与剪力平行(b)(b)(b)(b)剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布剪应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离

41、处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等)q(x)F1F2 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mnnmxyzobdxmmhn(2)(2)分析方法分析方法分析方法分析方法(Analysis method)(Analysis method)(a)(a)用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中从梁中从梁中从梁中截取截取截取截取d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩两横截面上的弯矩两横截面上的弯矩两横截面上的弯矩不等不等不等不等.所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一y y处的正应处

42、的正应处的正应处的正应力也不等力也不等力也不等力也不等.(b)(b)假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元素素素素mBmB1 1在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1,nBnB1 1上两个上两个上两个上两个法向内力不等法向内力不等法向内力不等法向内力不等.ABB1A1mnxzyymq(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有

43、沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF Fs s.故在此面上就有故在此面上就有故在此面上就有故在此面上就有切应力切应力切应力切应力 ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等.各点各点各点各点的剪应力方向均与截面侧边平行的剪应力方向均与截面侧边平行的剪应力方向均与截面侧边平行的剪应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体

44、的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导公式推导公式推导(Derivation of the formula)(Derivation of the formula)假设假设假设假设mm-mm,n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM.两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y1 1 处的处的处的处的正应力为正应力为正应力为正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A*为距中性轴为为

45、距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横线以外部分的横线以外部分的横线以外部分的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFS (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横

46、截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩矩矩矩(4)(4)剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)(The shear-stress distribution

47、 on the rectangular cross section)沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)y1nBmAxyzOyA1B1m1可见可见可见可见,剪应力沿剪应力沿剪应力沿剪应力沿 截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2(/2(即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中

48、性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处)=0=0y=y=0(0(即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处),),剪应力达到最大值剪应力达到最大值剪应力达到最大值剪应力达到最大值式中式中式中式中,A=A=bhbh,为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A*2 2 2 2、工字形截

49、面梁、工字形截面梁、工字形截面梁、工字形截面梁（工（工（工（工-section beam)-section beam)假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y y.研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为剪应力的计算公式亦为HoyBxbzh (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)d d 腹腹腹腹板的厚度板的厚度板的厚度板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性

50、轴为y y的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积横截面面积横截面面积横截面面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.minminozy maxmax maxmax(a)(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次腹板上的剪应力沿腹板高度按二次腹板上的剪应力沿腹板高度按二次腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化抛物线规律变化抛物线规律变化抛物线规律变化.(b)(b)最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上.这也是整这也是整这也是整这也是整个横截面上的最大剪应力个横截面上的最大剪应力个横截