(精品)复变函数柯西积分.ppt

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1、目录自测题第三章第三章 哥西定理哥西定理 哥西积分哥西积分1.1.本章知识提要本章知识提要 2.学习与考试要求学习与考试要求 4.本章疑难解析本章疑难解析 5.本章典型例题本章典型例题 6.本章习题解答本章习题解答 7.本章测试题本章测试题 3.3.重点与难点重点与难点目录自测题 第三章第三章 哥西定理哥西定理 哥西积分知识提要哥西积分知识提要一一.知知 识识 提提 要要设设 是复平面上的一条曲线，其方程为是复平面上的一条曲线，其方程为且满足且满足则称曲线则称曲线 是光滑的是光滑的 2）在 上有连续导数，对的每一个值，有1)当当 时，时，目录自测题若选定若选定 的两个端点中的一点为起点，则从起

2、点的两个端点中的一点为起点，则从起点到终点的方向称到终点的方向称 的正方向的正方向相反方向的曲线记为相反方向的曲线记为 .2复变函数的积分复变函数的积分 为为 终点为终点为 的光滑有向曲线将的光滑有向曲线将 C 任意分为任意分为设函数设函数 在在D内有定义，内有定义，C 为为 D内一条起点内一条起点 个小弧段，分点为个小弧段，分点为在每个小弧段上任取一点在每个小弧段上任取一点目录自测题作积分和式作积分和式 其中其中 .当当 C 为闭曲线时为闭曲线时 ，积分记为积分记为当当 C 为连续函数时，积分为连续函数时，积分 一定存在一定存在积分和式有唯一极限，则称这极限值为函数积分和式有唯一极限，则称这

3、极限值为函数如果不论对如果不论对 C 的分法及的分法及 的取法如何，只要的取法如何，只要（是小弧段长度是小弧段长度)趋于零时，趋于零时，沿曲线沿曲线 C 的积分记为的积分记为目录自测题3 3复变函数积分的性质复变函数积分的性质 (1)若若 沿曲线沿曲线 可积可积 为复常数，则为复常数，则 （2）(3)若若C由分段光滑曲线由分段光滑曲线 连接而成，则连接而成，则目录自测题(4)若曲线若曲线 C 的长为的长为 ，在在 C 上满足上满足则，(1)化为两个实二元函数的线积分计算化为两个实二元函数的线积分计算 4复变函数积分的计算复变函数积分的计算设设 在在 C上连续上连续，目录自测题(2)若曲线若曲线

4、 C 由方程由方程 给出，则给出，则5柯西柯西古萨（古萨（Cauchy-Goursat)定理定理 如果函数如果函数 在单连通域在单连通域 D 内处处解析，内处处解析，则则 沿沿 D 内任一条闭曲线内任一条闭曲线 C 的积分为零的积分为零即即目录自测题其等价命题是：如果函数其等价命题是：如果函数 在单连通域在单连通域 D 内内 处处解析处处解析 ，则积分，则积分 与连结起点及与连结起点及终点的路线无关终点的路线无关 上的单连通域，函数上的单连通域，函数 在在 D 上连续，若在上连续，若在D内任内任 其逆命题是一莫瑞拉（其逆命题是一莫瑞拉（Morcra)定理；设定理；设D是复平面是复平面 一条闭曲

5、线一条闭曲线 C 上都有上都有 则函数则函数 在在 D 内解析内解析目录自测题6复变函数积分的牛顿复变函数积分的牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 则变上限积分确定的函数则变上限积分确定的函数 如果如果 在单连通域在单连通域 D 内处处解析内处处解析为为 D 内的一个解析函数，并且内的一个解析函数，并且是是 的一个原函数的一个原函数 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 若函数若函数 在单连通在单连通域域 D 内处处解析，内处处解析，在在 D 内的一个原函数，内的一个原函数，目录自测题 7复合闭路定理复合闭路定理解析，解析，在在 上连续，则上连续，则闭路变形原理：闭路变形原理：设函数设函数 在由光滑或逐

6、段光滑在由光滑或逐段光滑 曲线曲线 与与 (在在 外部外部)所围成的复连通域所围成的复连通域内内或或即在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不即在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变积分值因闭曲线在区域内作连续变形而改变积分值.目录自测题复合闭路定理复合闭路定理:设设C为多连通域为多连通域D内的一条简单闭曲线，内的一条简单闭曲线，所包围区域全含于所包围区域全含于D，在在 D内解析，则内解析，则:均取正向均取正向；2)其中其中 为由为由 组成的复合闭路组成的复合闭路.为为 C 内内 n 条互不相交又互不包含的条互不相交又互不包含的简单闭曲线简单闭曲线 .1）目

7、录自测题 8.柯西积分公式柯西积分公式 若函数若函数 在区域在区域D内处处解析，内处处解析，C为为D内的内的任意一条正向筒单闭曲线，它的内部全部属于任意一条正向筒单闭曲线，它的内部全部属于D设设 为为 C 内任意内任意点，则有点，则有 可用它在边界上的值来表示可用它在边界上的值来表示 即一个解析函数即一个解析函数 在曲线 C 内任一点 的值当当 C为圆周时，为圆周时，公式可以写为公式可以写为目录自测题处的值等于它在圆周上的平均值处的值等于它在圆周上的平均值称为解析函数的平均值公式表示解析函数在圆心称为解析函数的平均值公式表示解析函数在圆心9高价导数公式高价导数公式 在在 上连续，上连续，在在

8、D 内有各阶导数，内有各阶导数，设函数设函数 在闭曲线在闭曲线 C 所围成的区域所围成的区域D内解析，内解析，且有：且有：目录自测题说明一个解析函数的导数仍是解析函数说明一个解析函数的导数仍是解析函数 其中其中 称柯西不等式称柯西不等式 若若 在全平面解析并有界，则在全平面解析并有界，则 常数常数 若在若在 D 内解析，内解析，C为闭曲线为闭曲线 ,及及和和的内部都属于的内部都属于D,则有则有 :目录自测题10复势与平面向量场复势与平面向量场如果一个向量场的向量都平行某个平面如果一个向量场的向量都平行某个平面 ，且，且 在垂直在垂直 的每条直线的每一点处，向量都相等，的每条直线的每一点处，向量

9、都相等，为二维平面向量场为二维平面向量场并与时间无关，则可用一个位于平面并与时间无关，则可用一个位于平面 ，内的，内的 向量场表示这个向量场平面向量场表示这个向量场平面 内的向量场内的向量场 称称 在平面在平面 内取定直角坐标系内取定直角坐标系 后，对任一后，对任一内的向量内的向量 A A 且，有且，有 目录自测题相当于给定一个复函数相当于给定一个复函数：则复变函数则复变函数 可以表示一个平面向量场可以表示一个平面向量场 若若 是解析函数，表示一个无源又无旋是解析函数，表示一个无源又无旋 的的 (和和 ）平面向量场）平面向量场 ，则称则称 为平面向量场的复势函数为平面向量场的复势函数目录自测题

10、(1)理解复变函数积分的概念，了解积分的性质，理解复变函数积分的概念，了解积分的性质，会求复变函数的积分会求复变函数的积分兹公式、柯西积分公式兹公式、柯西积分公式,高阶导数公式和复合高阶导数公式和复合 (2)理解柯西理解柯西古萨积分定理，掌握牛顿古萨积分定理，掌握牛顿莱布尼莱布尼闭路定理，能熟练运用来计算复变函数的积分闭路定理，能熟练运用来计算复变函数的积分 (3)理解理解 解析函数的导数解析函数的导数 仍是解析函数仍是解析函数 ，解析，解析函数无限次可导的概念函数无限次可导的概念.学习与考试要求学习与考试要求(4)理解调和函数与共轭调和函数的概念，会求它们理解调和函数与共轭调和函数的概念，会

11、求它们构成的解析函数构成的解析函数（5）知道平面向量场及复势函数知道平面向量场及复势函数目录自测题 重点与难点重点与难点 重点重点:是复变函数积分的计算，实二元是复变函数积分的计算，实二元方法方法,高阶导数公式方法高阶导数公式方法 ,牛牛函数线积分方法，柯西积分公式函数线积分方法，柯西积分公式顿顿莱布尼兹公式方法等莱布尼兹公式方法等 .难点难点:柯西积分定理的应用柯西积分定理的应用 .目录自测题 4应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么问题古萨定理应注意什么问题?单连通域时，定理的结论不成立单连通域时，定理的结论不成立 答答：柯西柯西古萨定理要求函数古萨定理要求函数 在单连通在单连通城城内解析，而

12、读者有时会忽略这一点因为内解析，而读者有时会忽略这一点因为D不是不是 如如 在圆环域在圆环域 内解析，内解析，C 为城内以原点为圆心的正向圆周，但为城内以原点为圆心的正向圆周，但 三三.疑难解析疑难解析目录自测题同时，要注意定理不能反过来用，即不能因为有某个同时，要注意定理不能反过来用，即不能因为有某个 ,而说而说 在所包围区域在所包围区域 D 解析解析如如 ,但但 在在 内并不处处解析内并不处处解析莫瑞拉莫瑞拉(Morcra)定理要求在定理要求在 D 内任一条闭曲线上内任一条闭曲线上都有都有 时，时，才在才在 D 内解析内解析 .目录自测题 答答：有有5 复变函数积分法中是否有与实一元函数类

13、似的复变函数积分法中是否有与实一元函数类似的 分部积分公式分部积分公式?在什么条件下可以使用在什么条件下可以使用?而而 仍为解析函数仍为解析函数 ，所以有所以有 设设 是单连通域内处处解析的函数，是单连通域内处处解析的函数，为为 D 内两个点，因为内两个点，因为目录自测题或或如如目录自测题6.复变函数积分的牛顿-莱布尼兹公式与实一元函数定积分的牛顿-莱布尼兹公式有何不同？答：两者在形式和结果上都是类似的，只是复变函数积分中对被积函数的要求更高一些.在一元实际分中，只要在 上连续，是 的一个源函数，就有公式成立；而在复变函数积分中，除要求 解析外 ，还要求 D 是单连同域.目录自测题连通域的情形

14、，显得尤为重要7 如何应用复合闭路定理计算复变函数的积分?应注意哪些问题？答：应用复合闭路定理可以把沿区域外边界线的回路积分化为沿区域内边界线的回路积分，使积分变得易于计算 对于积分回路的内部是 复应用复合闭路定理时，要注意以下几个问属：1)边界曲线的方向目录自测题时针方向，即 外边界线 取逆时针方向，内边界曲线取顺其中 为内边界曲线；2)内边界曲线 必须是互不相交，互不包含的 ；3）边界曲线必须是全部，这时才有目录自测题 它的内部全部属于它的内部全部属于D，且且 为为 D 内任意一点内任意一点 8.柯西积分公式的条件能否放宽柯西积分公式的条件能否放宽?答答:柯酉积分公式的条件是：函数柯酉积分

15、公式的条件是：函数 在在 D 内内 处处处处 解析解析，C 为为 D 内任何一条内任何一条 简单简单 闭曲线闭曲线 ，这时，有这时，有:定理虽然没有指明，但可以看出定理虽然没有指明，但可以看出C的内部是单连通域的内部是单连通域 可以放宽到复连通域，若可以放宽到复连通域，若 为外边界曲线为外边界曲线 ，则，则:目录自测题所围区域内解析时，柯西积所围区域内解析时，柯西积 全全 部内边界曲线，部内边界曲线，在在分公式任然成立，即分公式任然成立，即 目录自测题9.解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实变函数的导数有何不同与实变函数的导数有何不同?闭区域闭区

16、域 内处处可微内处处可微 ，就一定无限，就一定无限答：答：解析函数的高阶导数公式说明：只要函数解析函数的高阶导数公式说明：只要函数 析函数，并有析函数，并有 次处处可微，且它的各阶导数均为次处处可微，且它的各阶导数均为 上的解上的解目录自测题 这点是与实变量函数有本质不同的这点是与实变量函数有本质不同的一个实函数一个实函数 即使在即使在 上可导，上可导，其导数其导数 不一定可导，甚至可能不连续不一定可导，甚至可能不连续在在 点不存在点不存在 .如如 在在 上可导，但上可导，但目录自测题 2)利用曲线利用曲线C的参数方程的参数方程一，一，沿光滑曲线的复变函数积分沿光滑曲线的复变函数积分 沿光滑曲

17、线的复变函数积分，我们常用两种方法：沿光滑曲线的复变函数积分，我们常用两种方法：1)化为两个实二元函数的线积分；化为两个实二元函数的线积分；然后进行计算凡是定积分计算中的技巧，然后进行计算凡是定积分计算中的技巧，仍然可以使用仍然可以使用 四.典 型 例 题目录自测题起点及终点相对应，且尤其是当起点及终点相对应，且尤其是当 曲线是分段曲线是分段光滑时光滑时 ，各段曲线的参数方程与积分限的，各段曲线的参数方程与积分限的正方向是参数增大的方向，参数的取值应与正方向是参数增大的方向，参数的取值应与 的是，当曲线用参数方程表示时，的是，当曲线用参数方程表示时，要注意要注意选定一定要准确选定一定要准确 .

18、目录自测题 例：例：计算积分计算积分 ，C 位直线段位直线段.复积分是沿复数平面上的曲线的积分复积分是沿复数平面上的曲线的积分可按题中要求先积分线的方程再根据积分公式计算可按题中要求先积分线的方程再根据积分公式计算.解法解法1 从从 点点 0 到到 1+i 的直线段方程是的直线段方程是其中其中 ，所以，所以目录自测题 解法解法 2:用一般参数方程用一般参数方程 .因为因为 所以所以原式原式目录自测题1)自原点 0 到 1+i 的直线段；附 图例例2:计算积分计算积分 其中其中 C 为为先附图 解：直线段的参数方程为原式目录自测题解：解：上半圆周的参数方程为上半圆周的参数方程为 所以所以原式原式

19、2）圆周圆周 的上半圆周的上半圆周目录自测题(1)自原点至自原点至 3+i 的直线段；的直线段；1.沿下列路线计算积分沿下列路线计算积分解解:自原点至自原点至 3十十i 的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为 由复积分计算公式，有：由复积分计算公式，有：起点参数起点参数 终点参数终点参数 目录自测题(2)自原点沿实轴至自原点沿实轴至 3，再由，再由 3 沿直向上至沿直向上至 3+i ；所以所以 解：自原点沿实轴至解：自原点沿实轴至 3 这段路线这段路线 的参数的参数 方程为方程为：；由；由 3沿直向上沿直向上 至至 3+i 这一段路线这一段路线 的参数方程为：的参数方程为：目录自测题 (3)

20、原点沿虚轴至原点沿虚轴至 i，再由再由i沿水平方向向右至沿水平方向向右至 3+i 自原点沿虚轴至自原点沿虚轴至 i 这一段路线这一段路线 的参数方程为的参数方程为参数方程为参数方程为 ,所以所以由由 i 沿水平方向向右至沿水平方向向右至 3+i 这一段路线这一段路线 的的目录自测题此题沿三条不同路径积分，但结果都一样，原因是此题沿三条不同路径积分，但结果都一样，原因是被积分函数被积分函数 是全平面上的解析函数是全平面上的解析函数 ，故积分与路径无关故积分与路径无关目录自测题 5计算积分计算积分 的值，其中的值，其中 C 为正向圆周：为正向圆周：1）解法解法 1）所以所以 从而从而 目录自测题解

21、法解法 2）在在 上上，所以有所以有 ：目录自测题2）解：解：在在 上上，同理，同理 若被积函数若被积函数 在路径在路径 C 内不内不 解析则尽管被积函教解析则尽管被积函教此题进一步说明了复积分此题进一步说明了复积分 沿路径沿路径 C 的的 线积分线积分 积分的起点，积分的终点相同，但如果积分路径积分的起点，积分的终点相同，但如果积分路径 C不同，不同，则积分则积分 的结果也的结果也 不一定不一定 相同相同 ，参看本章，参看本章习题习题 2 的结果的结果 .目录自测题 的是什公的是什公?(C 是正向的圆周是正向的圆周 ).6试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据试用观察法得出下列积分的

22、值，并说明观察时所依据 解解:(5)萨定理即得此结论萨定理即得此结论.因为因为 在全平面上解析，故根据柯西在全平面上解析，故根据柯西-古古目录自测题 6）解法解法1:根据柯西积分公式，有根据柯西积分公式，有：根据柯西根据柯西-古萨定理基本定理有：古萨定理基本定理有：故故目录自测题例例 9.利用积分估值证明：利用积分估值证明：C 为直线段为直线段.证法证法 1:直线段方成为直线段方成为 所以所以目录自测题证法证法 2：因为因为 路径长路径长 ，所以所以例例 10.试证试证 证证：利用积分估值性质来证，有利用积分估值性质来证，有 目录自测题二二,柯西柯西古萨基本定理与牛顿古萨基本定理与牛顿莱布莱布

23、应用应用 定理定理 和公式和公式 的前提的前提 是满足是满足 定理与定理与 公式公式 的的 条件条件 ：兹公式的应用兹公式的应用是解析函数，区域是解析函数，区域 D 是单连通域是单连通域当有奇点时，有时可以分解当有奇点时，有时可以分解 ,再利用基本定理再利用基本定理与与例例 8 的结论来求的结论来求目录自测题解：如图31所示，13 .计算积分计算积分其中，其中，C 为为 1）利用基本定理利用基本定理 与与例例 8 结论结论，有，有y y0 0 x x目录自测题 解：2)1)目录自测题3）解：解：4)解：解：目录自测题解解 ：在复平面内处处解析，原函数为在复平面内处处解析，原函数为例例16:利用

24、牛顿利用牛顿莱布尼兹公式计算积分莱布尼兹公式计算积分1）所以所以目录自测题2）解：解：在复平面内处处解析，原函数为在复平面内处处解析，原函数为所以所以目录自测题 组成内边界曲线的封闭曲线不一定是圆，但为简单计算，组成内边界曲线的封闭曲线不一定是圆，但为简单计算，三、复合闭路定理的应用三、复合闭路定理的应用 对于复合闭路上的复变函数积分，由于边界曲线由几条对于复合闭路上的复变函数积分，由于边界曲线由几条 闭曲线组成闭曲线组成，因此要注意积分中闭曲线的方向，因此要注意积分中闭曲线的方向，不要，不要 搞错搞错 其次被积数往往分解为几个函数其次被积数往往分解为几个函数，应认真分析，应认真分析 各个函数

25、在各个各个函数在各个 内是否解析，是否能利用例内是否解析，是否能利用例 8 的结论的结论.一般取半径很小的圆，避免彼此相交和互相包含一般取半径很小的圆，避免彼此相交和互相包含目录自测题 例例17:计算闭路积分计算闭路积分解：解：被积函数有两个奇点被积函数有两个奇点 均在均在 内内.分别作以分别作以i和一和一2为圆心，互不相交且互不包含为圆心，互不相交且互不包含 的小圆周的小圆周 和和 ，则被积函数在，则被积函数在 内以内以 和和 为内边界的复连通域上（图为内边界的复连通域上（图3.2）解析）解析.由复合闭路定理，有由复合闭路定理，有目录自测题 闭路上的积分可以为闭路上的积分可以为 0.此例说明

26、：虽然被积函数在此例说明：虽然被积函数在 C 内有奇点，但在复合内有奇点，但在复合y yx x0 0-3-33 33 3-3-32 2目录自测题路，由复合闭路，由复合闭 路定理，得路定理，得例例18.计算积分计算积分 ，其中，其中C为由正向圆周为由正向圆周与负向圆周与负向圆周 所组成所组成(图图34)解解：由于被积函数在圆环城内解析，由于被积函数在圆环城内解析，C 为复合闭为复合闭yx012yx012目录自测题处处解析处处解析，则沿，则沿D内曲线内曲线C的积分可以表示为的积分可以表示为:四四,柯西积分公式的应用柯西积分公式的应用柯西积分公式是解析函数理论的基本公式，它给出了柯西积分公式是解析函

27、数理论的基本公式，它给出了解析函数的积分表示式解析函数的积分表示式 当函数当函数 在区域在区域 D 内内 函数分解为部分分式后再应用柯西积分公式；函数分解为部分分式后再应用柯西积分公式；使用柯西积分公式的关键是使用柯西积分公式的关键是 要在要在 C 内处处解析，内处处解析，且且 应在应在C内若内若C内有一个以上奇点，可以将被积内有一个以上奇点，可以将被积目录自测题 后，利用复合闭路定理求积分后，利用复合闭路定理求积分 如果只有一个奇点，可以直接应用柯西积分公式如果只有一个奇点，可以直接应用柯西积分公式 ，同时也可以在确定被积函数的奇点同时也可以在确定被积函数的奇点(在闭曲线内部在闭曲线内部 )

28、原式原式 例例19:计算积分计算积分解解：在全平面解析，在全平面解析，在在 内，所以，由柯西积分公式内，所以，由柯西积分公式 目录自测题例例20.计算积分计算积分解：解：因为因为 ，所以，所以 在在C内解析，内解析，由柯西积分公式：由柯西积分公式：原式原式目录自测题五，高阶导数公式的应用五，高阶导数公式的应用高价导数公式是对解析函数无限次可微的一个证明，高价导数公式是对解析函数无限次可微的一个证明，它用公式给出了高价导数的积分形式它用公式给出了高价导数的积分形式.但我们通常但我们通常是是反过来，即将被积函数化为一个解析函数反过来，即将被积函数化为一个解析函数 与与的商的形式，然后利用的商的形式

29、，然后利用 的导数的导数 来求来求积分，即积分，即这里，这里，为为 C 内一点内一点 ,在在 C 和和 C 内解析内解析 .目录自测题例例21.求下列求下列 积分的值积分的值:1)解解:1)设设 ,则则 在全平面解析在全平面解析,点点 在在 内内;由高价导数公式由高价导数公式目录自测题 例21.求 值:解：被积函数 有两个奇点:都在 内（图3.9）.利用复合闭路定理，作 圆周 和 圆周yx012目录自测题由高价导数公式，得：由高价导数公式，得：所以所以 ：目录自测题利用复变函数利用复变函数 的性质，结合实积分的一些技巧，的性质，结合实积分的一些技巧，六，复变函数积分证明题的分析六，复变函数积分

30、证明题的分析复变函数积分证明是比较复杂的，不仅要利用复变函数积分证明是比较复杂的，不仅要利用达到我们的目的达到我们的目的 .复变函数积分的性质，定理与公式，还要善于复变函数积分的性质，定理与公式，还要善于目录自测题22.若若 N 为自然数，则为自然数，则证：证：设设 则：则：目录自测题利用高价导数公式，得：利用高价导数公式，得：所以所以 ，实部实部 ，虚部，虚部 .目录自测题例例 23.若若 在简单闭曲线在简单闭曲线 C 所围区域所围区域 D内解析，内解析，在在 上连续，试证：在上连续，试证：在 D 内处处有内处处有 证：证：若若 n 是一个任意的自然是一个任意的自然 数，今对数，今对 柯西公

31、式柯西公式，可得，可得目录自测题 即即 ，其中，其中令令 取极限的取极限的 ，即，即 .目录自测题九，关于复势的例题分析九，关于复势的例题分析 中的剃度，旋度，散度联系比较紧密，在学习中中的剃度，旋度，散度联系比较紧密，在学习中复势问题是调和函数在平面向量场的应用，由于复势问题是调和函数在平面向量场的应用，由于 涉及较多的物理，力学概念，并与高等数学课程涉及较多的物理，力学概念，并与高等数学课程 有一定困难，我们只举个例子供大学习时参考有一定困难，我们只举个例子供大学习时参考 .目录自测题 任意点的速度，势函数，流函数及流体流动的状况任意点的速度，势函数，流函数及流体流动的状况.例例24.设一

32、平面流速场的复势为设一平面流速场的复势为 ，求流体在，求流体在 解：解：因为流体的流动速度同复势因为流体的流动速度同复势 的关系为：的关系为：所以，流体在任意点所以，流体在任意点 Z的速度的速度 .势函数势函数 ，流函数流函数 .目录自测题 左侧向右侧流动（左侧向右侧流动（大小大小流体流动状况如图流体流动状况如图 3.14 是是以等速以等速 1（单位）从平面（单位）从平面等于等于 的模，方向与的模，方向与 相同相同）.xy0A目录自测题例例 25.设一平面流速场的复势为设一平面流速场的复势为 ，求流体，求流体 流动状况流动状况.解：因为解：因为 ，流线为是双曲线），流线为是双曲线），在流线上任

33、意在流线上任意点点Z 处流速为处流速为 .如图如图 3.16 所示所示.目录自测题 故在故在 Z 点速度大于等于点速度大于等于 的模的模 ，方向与方向与 方向相同从实轴的上方向相同从实轴的上，下方，下方 逼近实轴逼近实轴 即流体分别从平面上下两方用即流体分别从平面上下两方用速度流动速度流动，而在实轴相遇，而在实轴相遇 ，并在实轴附近，并在实轴附近向左右硒方发散向左右硒方发散 原点是临界点原点是临界点 ，此处速度为零，此处速度为零 目录自测题 第三章第三章 习题习题 解解 析析目录自测题1.计算积分计算积分 ，积分路径是直线段，积分路径是直线段解解：该直线的方程为该直线的方程为 ，令令则则 .则

34、则 目录自测题1.计算积分计算积分 ,积分路径是积分路径是1)直线段直线段取取解：解：在直线段在直线段 到到 上上，目录自测题（2）右半单位圆周右半单位圆周解：解：令令 为曲线的参数方程为曲线的参数方程 且且目录自测题（3）左半单位圆周左半单位圆周 解：解：左半单位圆周左半单位圆周目录自测题4.利用积分的值，证明：利用积分的值，证明：1）积分路径是积分路径是 直线段直线段.证明：证明：直直 线的方程为线的方程为 且且则直线的参数方程为则直线的参数方程为目录自测题解：解：右半右半 圆圆 的参数之称：的参数之称：则则2)积分路径是取积分路径是取 到到的右半的右半 圆圆.目录自测题5.不用计算，证明

35、下列积分之值均为不用计算，证明下列积分之值均为 0，其中，其中 C均为单位圆周均为单位圆周.1）解：解：即即 在在 上之内部解析上之内部解析目录自测题2）解：解：则则此可知此可知 不在单位圆内不在单位圆内.目录自测题3）解：解：，在全平面解析，而在全平面解析，而 即即 均不存在均不存在 C 为为目录自测题 6.计算下列积分计算下列积分：1）解：解：2）解解：3)解解：目录自测题3)解解：，目录自测题7.由积分由积分 之值证明：之值证明：其中其中 C 为单位圆周为单位圆周 .证明证明：的的 奇点为奇点为 在单位圆之外在单位圆之外 解析解析，所以，所以 因为圆的参数因为圆的参数 方程方程：目录自测

36、题 同样同样：目录自测题8.计算 ：1）解：在 内，而 在 C内解析 ，所以：目录自测题2）解解：目录自测题9.计算 解：在 C 内，不在 C 内.目录自测题2)，在在 C 内，内，不在不在C内内.目录自测题(3)均在均在 C 内内.目录自测题 10.设设 C 表圆周表圆周求求：解解：目录自测题11.求积分 从而证明：证明：在 C 内，而在 C 内是解析的.所以可令 ，得：目录自测题目录自测题12.设 ，证明：当 C 是圆 时等于 0 .当 C 是圆 时等于 .当 C 是圆 时等于 .证明 ：1）都不在 内，目录自测题2)在在 C 内内 ，3），在在 C 内内 ，目录自测题13.设 利用本章例

37、5验证哥西积分公式：哥西求导公式：把 写成 解：提示：目录自测题和目录自测题目录自测题目录自测题14.求下列积分求下列积分 ：其中：其中 根据：根据：目录自测题(2)均在均在 内内.目录自测题 15.证明证明：其中其中 C 是围绕原点的一条简单闭曲线是围绕原点的一条简单闭曲线 .证明证明：设设 ，则，则 在在 平面解析平面解析.目录自测题16.设设 为区域为区域 G 内的内的 光华曲线光华曲线，是区域是区域 G 内解析，且内解析，且将区域将区域 C 映城曲线映城曲线 ，求证：，求证：即为光华曲线即为光华曲线 .光滑曲线光滑曲线 C 的特点是：的特点是：C 是内当曲线，是内当曲线，且连续与且连续

38、与 ，先要证，先要证 ：也具有类此的性质也具有类此的性质 .提示：提示：目录自测题18.设流体平面流的水平及垂直分记为设流体平面流的水平及垂直分记为 为常数为常数.试求复位势冰画出均势域及流体试求复位势冰画出均势域及流体 .解：解：设设 ，则，则目录自测题则复位势则复位势：令：令：和和是两面双曲域是两面双曲域 .当当 时，时，轴轴为为 实轴实轴 的的 双曲双曲 域域 .当当 时，时，轴轴为为 实轴实轴 的的 双曲双曲 域域 .目录自测题19.试研究以下函数为复位势试研究以下函数为复位势 的平面稳定流的平面稳定流.（1）解：解：令令 则则目录自测题（流函数）（流函数）（势函数）（势函数）则则 (

39、流体流体）（均势域）（均势域）在流域上任意点处的流速在流域上任意点处的流速：目录自测题解：解：(2)令令 则则目录自测题本章自测题本章自测题本章自测题本章自测题第三章1.判断2.空题 3.选择题4.综合题5.证明题目录自测题1）1.是非题（并简单说明理由）是非题（并简单说明理由）2）3）4)其中其中 C 是包围原点的任意闭曲线则是包围原点的任意闭曲线则 是解析函数是解析函数 目录自测题5）设设 在区域在区域 G 内除内除 外处处解析外处处解析.C是是G 内包围内包围 的的 一条简单闭曲线，则有一条简单闭曲线，则有6)7)解析函数的各阶导数是解析函数解析函数的各阶导数是解析函数.（）（）目录自测

40、题2.设设 C C 是从是从 至至 的直线段，的直线段，则则 _ 3._ _ 4._ _1.设设 C C 为为 ,是从是从 至至 则则 二二:空题空题目录自测题5._ 6._ 7.(c:)8.,则则 9._ 目录自测题1.（）A:B:2 C:D:02.设设 是平面流速场是平面流速场 的复势函数的复势函数,则则 A.:B:C:D:三三.选择题选择题目录自测题3.设设 为平面静电场的复势函数为平面静电场的复势函数,E E 为该为该 电场的场强电场的场强 ,则则 ()()A:B:C:D:4.设积分路径设积分路径 C C 为从原点到为从原点到 的直线段的直线段,则积分则积分A:B:C:D:目录自测题5

41、.（）A:B:C:D:26.6.设积分路径设积分路径 C C 为为t t从从1 1到到 2 2的直线段的直线段,则积分则积分 A:1 B:-1 C:i D:-i 目录自测题7.设积分路径设积分路径 C C 为为 ,t t 从从1 1到到 0 0 的的直线段直线段,则积分则积分A:B:8.()A:0 B:C:D:C:D:目录自测题1.1.积分路径是直线段积分路径是直线段.计算下例积分计算下例积分:2.2.积分路径是直线段积分路径是直线段.3.3.。4.四四.综合题综合题:目录自测题5.8 7 8.9.6.10.目录自测题 1.1.证明证明:,:,C C 为为从从0 0 到到 的半圆弧的半圆弧.2

42、.有积分有积分 之值证明之值证明:3.证明证明:其中其中 C C 是围绕是围绕原点的一条简单曲线原点的一条简单曲线 .五五.证明题证明题 ：目录自测题1.(1)（对）（对）因为因为 在在 内解析，内解析，满足柯西定理满足柯西定理.（2）（错）（错）因为因为 在在 不解析不解析 .（3）（错）（错）（4）（错）（错）反例反例 是非题答案是非题答案:目录自测题（5）（错）（错）要要 在单连通域在单连通域 G 内内处处解析处处解析 .（6）（对）（对）运用公式运用公式 ：（7）(对对)目录自测题 计算机辅助教学是一种新型的现代化教学方计算机辅助教学是一种新型的现代化教学方 多媒体教学软件在教育领域内

43、的应用对学生多媒体教学软件在教育领域内的应用对学生 掌握的一种技术。掌握的一种技术。式式,也是当今世界教育技术发展的新趋向也是当今世界教育技术发展的新趋向 。CAI的兴起是整个教育界进行信息革命最有的兴起是整个教育界进行信息革命最有 代表性的产物。随着代表性的产物。随着CAI的逐渐推广和应用，的逐渐推广和应用，多媒体课件的制作越来越成为广大教师所应多媒体课件的制作越来越成为广大教师所应 接受课程内容，对教师方便接受课程内容，对教师方便,生动地讲授课程生动地讲授课程 内容提供了极大的便利，在现代教育中发挥着内容提供了极大的便利，在现代教育中发挥着越来越大的作用。越来越大的作用。目录自测题 Pow

44、erPoint PowerPoint是最为常用的图文演示软件，学习是最为常用的图文演示软件，学习是最为常用的图文演示软件，学习是最为常用的图文演示软件，学习 和工作中的各个领域有着广泛的应用，尤其是在和工作中的各个领域有着广泛的应用，尤其是在和工作中的各个领域有着广泛的应用，尤其是在和工作中的各个领域有着广泛的应用，尤其是在 战略，促进交流，传授知识，宣传文化，扩大影响。战略，促进交流，传授知识，宣传文化，扩大影响。战略，促进交流，传授知识，宣传文化，扩大影响。战略，促进交流，传授知识，宣传文化，扩大影响。的放映工具，表达你或者你所在组织的想法或者的放映工具，表达你或者你所在组织的想法或者的放

45、映工具，表达你或者你所在组织的想法或者的放映工具，表达你或者你所在组织的想法或者 动画，图表，影片等合理地组织起来，借用现代化动画，图表，影片等合理地组织起来，借用现代化动画，图表，影片等合理地组织起来，借用现代化动画，图表，影片等合理地组织起来，借用现代化商业和数学领域，它可以把各种信息商业和数学领域，它可以把各种信息商业和数学领域，它可以把各种信息商业和数学领域，它可以把各种信息 文字文字文字文字 ，目录自测题首先首先首先首先 ，我在网上里选出了自己认为最好的幻灯片，我在网上里选出了自己认为最好的幻灯片，我在网上里选出了自己认为最好的幻灯片，我在网上里选出了自己认为最好的幻灯片模版模版模版模版 ，然后我把老师给我的课题打入，然后我把老师给我的课题打入，然后我把老师给我的课题打入，然后我把老师给我的课题打入PowerPointPowerPoint里面，其中公式使用里面，其中公式使用里面，其中公式使用里面，其中公式使用MathtaypeMathtaype数学软件来打入的。数学软件来打入的。数学软件来打入的。数学软件来打入的。其次，我在幻灯片里面添加了动画效果和切换效果其次，我在幻灯片里面添加了动画效果和切换效果其次，我在幻灯片里面添加了动画效果和切换效果其次，我在幻灯片里面添加了动画效果和切换效果 .