(精品)抛物线的标准方程及简单性质.ppt

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1、平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。（注意：注意：F F不在不在I I上上）定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线L L叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。抛物线的定义抛物线的定义即即:FMLNlNFM求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤是怎样的？是怎样的？想想一一想想？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导回顾求曲线方程的一般步骤是：回顾求曲线方程的一般步骤是：1、建立直角坐标系，设动点为、建立直角坐标系，设动点为(x,y)2、写出适合条件的、写出适合条件的x,y的关系式的

2、关系式3、列方程、列方程4、化简、化简5、（证明）、（证明）FMlN设焦点到准线的距离为常数设焦点到准线的距离为常数P(P0)P(P0)如何建立坐标系如何建立坐标系,求出抛物线的标求出抛物线的标准方程呢准方程呢？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导试试一一试试？K KxyoFMlNK设设KF=p则则F（，0），），L：x=-p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y）由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，化简得化简得 y2=2px（p0）2解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y

3、轴轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导(p 0)方程方程 y2=2px（p0）叫做叫做叫做叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的标准方程其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点即右焦点F（，0），），左准线左准线L：x=-p2p2但但是是，对对于于一一条条抛抛物物线线，它它在在坐坐标标平平面面内内的的位位置置可可以以不不同同，所所以以建建立立的的坐坐标标系系也也不不同同，所所得得抛抛物物线线的的方方程程也也不不同同，所所以抛物线的标准方程还有其它形式。以抛

4、物线的标准方程还有其它形式。方程方程 y2=2px（p0）表示的抛物线，其焦点表示的抛物线，其焦点 位于位于X X轴的正半轴上，其准线交于轴的正半轴上，其准线交于X X轴的负半轴轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标抛物线的标准方程还有准方程还有哪些形式哪些形式?想想一一想想？抛物线的标准方程抛物线的标准方程其它形式的其它形式的抛物线的焦抛物线的焦点与准线呢点与准线呢？yxoyxoyxoyxo图象开口方向 标准方程焦点准线向右向右向左向左向上向上向下向下抛物线方程左右左右型型标准方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x 0)开口向左:y2=-2px(x 0)标

5、准方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py(y 0)开口向下:x2=-2py(y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程上下上下型型例例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x （2）y=2x2（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2课堂练习课堂练习注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式例例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件

6、，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）（2）准线方程）准线方程 是是x=（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2=12x解：解：y2=x解：解：y2=4x或或y2=-4x 或或x2=4y或或x2=-4y1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数都只含一个系数p，因此只要给出确定，因此只要给出确定p的的一个一个条件，条件，就可以求出抛物线的标准方程就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦

7、点它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解就会有多解由例由例1.和例和例2.反思研究反思研究已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位，后定量后定量例例3：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2=2py，把把A（-3，2）代入代入，得得p=2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2=-2px，把把A（-3，2）代入代入，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x

8、 。课堂练习课堂练习3。抛物线的标准方程类型与图象特征的。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系对应关系及判断方法及判断方法2。抛物线的。抛物线的标准方程与其焦点、准线标准方程与其焦点、准线4。注重。注重数形结合数形结合的思想的思想 1 1。抛物线的。抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5。注重。注重分类讨论分类讨论的思想的思想例例4:已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a

9、0时时,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a课后练习课后练习抛物线抛物线y2=2px(p0)的简单几何性的简单几何性质：质：(1)范围范围（2）对称性）对称性 因为因为 p0p0，由方程可知由方程可知x0 x0，所以抛物线在所以抛物线在y y轴轴的右的右侧，当侧，当x x的值增大时，的值增大时，|y|y|也也增大，这说明抛物线向右上增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸方和右下方无限延伸 以以-y-y代代y y，方程不变，所方程不变，所以抛物线关于以抛物线关于x x轴对称我们轴对称我们把抛物线的对称轴叫做把抛物线的对称轴叫做抛物抛物线的轴线的轴x0，yR关于关于x x轴对称轴对称抛

10、物线抛物线y2=2px(p0)的简单几何性的简单几何性质：质：（3 3）顶点）顶点 在方程中，当在方程中，当y=0y=0时时x=0 x=0，因此抛物线的顶点就是因此抛物线的顶点就是坐标原点抛物线与它的坐标原点抛物线与它的轴的交点叫做轴的交点叫做抛物线的顶抛物线的顶点点.抛物线上的点与焦点的距抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫离和它到准线的距离的比，叫做做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e e表示，表示，由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，e=1e=1 （4 4）离心率）离心率原点原点e=1e=1图形标准方程焦点坐标准线方程范围 对称轴顶点坐标离心率yxoyxoyxoyxo（

11、0，0）x轴轴e=1e=1（0，0）（0，0）（0，0）x轴轴y轴轴y轴轴e=1e=1e=1e=1e=1e=1x0四种抛物线的标准方程的几何性质的对比四种抛物线的标准方程的几何性质的对比x0y0y0 填空练习填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线的几何性质有什么特点？（1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；延伸，但没有渐近线；（2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴，对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、个焦点、个焦点、

12、条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111 例例1 1 已知抛物线关于已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描，求它的标准方程，并用描点法画出图形点法画出图形 则将则将M M点代入得：点代入得：2 2=2p2 =2p2 解得：解得：p=2p=2 因此所求方程为：因此所求方程为：y y2 2=4x =4x 列表：列表：描点及连线：描点及连线：oyx 0 1 2 3 4 5 0 0.25 1 2.25 4 6.25 解：解：由已知可设抛物线的标准方程为由已知可

13、设抛物线的标准方程为y y2 2=2px=2px（p0p0）在抛物线的标准方程在抛物线的标准方程y2=2px(p0)中，令中，令x=,则则y=p。p-p抛物线的通径及简单画法抛物线的通径及简单画法p-p 这就是说，通过焦点而垂直于这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与轴的直线与抛物线的两交点坐标分别为抛物线的两交点坐标分别为(,p),(,-p),连接这两连接这两点的线段叫做点的线段叫做抛物线的通径抛物线的通径，它的长为，它的长为2p.这就是抛物这就是抛物线方程中线方程中2p的几何意义。的几何意义。例例2 2 探照灯探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），

14、光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直图），光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为径为60cm60cm，灯深灯深40cm40cm，求抛物线的标准方程和焦点求抛物线的标准方程和焦点位置位置 解：解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点重合，重合，x轴垂直于灯口直径。轴垂直于灯口直径。设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).由已知可得由已知可得点点A的坐标为（的坐标为（40，30）,代入方程得代入方程得 302=2p40，解得解得p=所以所求抛物

15、线的标准方程为所以所求抛物线的标准方程为y2=x，焦点坐标为（焦点坐标为（，0）解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为(x1,y1)和x2,y2),则即线段AB关于x 轴对称,因为x轴垂直于AB,且Aox=30 练习练习1 1求适合下列条件的抛物线方程。求适合下列条件的抛物线方程。顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对称，并且经过点轴对称，并且经过点M(5,-4)M(5,-4)顶点在原点，焦点是顶点在原点，焦点是F(0,5)F(0,5)顶点在原点，准线是顶点在原点，准线是x=4x=4焦点是焦点是F(0,-8)F(0,-8)，准线是准线是y=8y=8答案：答案：y y2 2=x=x；x x2 2=20y=20y；y y2 2=-16x=-16x；x x2 2=-32y=-32y2 2一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m1.1m，跨度跨度是是2.2m2.2m，求拱形的抛物线方程求拱形的抛物线方程 提示：在隧道的横断面上，以提示：在隧道的横断面上，以拱顶为原点，拱高所在的直线拱顶为原点，拱高所在的直线为为y轴（向上），建立直角坐轴（向上），建立直角坐标系。标系。答案：答案：x2=-1.1y