1.4导数在实际生活中的应用.pptx

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1、数学数学 A（文）（文）3.3导数的综合应用第三章 导数及其应用基础基础知识知识自主学习自主学习题型题型分类分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟感悟提高提高练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.基础知识自主学习知识梳理2.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值

2、问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.3.方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数.基础知识自主学习知识梳理u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.()(2)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值.()(3)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时取得最小值1.()基础知识自主学习知识梳理(4)函数f(x)x2ln x没有最值.()(5)已知x(0，)，则sin xx.()(6)若a2，则方程 x3ax210

3、在(0,2)上没有实数根.()基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234 CDDCA错，因为极大值未必是最大值.B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点.C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点.D对，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点.解析题型分类深度剖析题型一题型一 利用导数证明不等式利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示

4、b，并求b的最大值；题型分类深度剖析题型一题型一 利用导数证明不等式利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；解设两曲线的公共点为(x0，y0)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，题型分类深度剖析题型一题型一 利用导数证明不等式利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大

5、值；题型分类深度剖析题型一题型一 利用导数证明不等式利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；题型分类深度剖析解析思维升华(2)求证：f(x)g(x)(x0).题型分类深度剖析(2)求证：f(x)g(x)(x0).证明设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x0)，解析思维升华故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数.于是F(x)在(0,)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(

6、x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x).题型分类深度剖析(2)求证：f(x)g(x)(x0).利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式.解析思维升华题型分类深度剖析跟踪训练1证明：当x0,1时，xsin xx.又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，F(x)0，题型分类深度剖析跟踪训练1证明：当x0,1时，xsin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增.当x0时，f(x)1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两

7、个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，).解析思维升华(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.题型分类深度剖析函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.解析思维升华(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.题型分类深度剖析跟踪训练2已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；解f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，题型分类深度剖析跟踪训练2已知函数f(x)x33ax1

8、，a0.(1)求f(x)的单调区间；题型分类深度剖析(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.题型分类深度剖析(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1).题

9、型分类深度剖析题型三题型三 生活中的优化问题生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；思维点拨解析题型分类深度剖析(1)由x5时y11求a；题型三题型三 生活中的优化问题生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；

10、思维点拨解析题型分类深度剖析解因为x5时，y11，所以 1011，a2.题型三题型三 生活中的优化问题生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；思维点拨解析题型分类深度剖析思维点拨解析思维升华(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.题型分类深度剖析(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值.(2)若该商品的成本为3元/千克

11、，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨解析思维升华题型分类深度剖析(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解由(1)可知，该商品每日的销售量为所以商场每日销售该商品所获得的利润为210(x3)(x6)2,3x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值.题型分类深度剖析审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒审题路线图系列审题路线图系列1 一审条件挖隐含一审条件挖隐含典例：(12分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2

12、)M成立，求满足上述条件的最大整数M.题型分类深度剖析(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minMM的最大整数值审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析解存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.2分分 审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析则满足条件的最大整数M4.5分分 审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要

13、正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题.审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.对任意s，t ，2都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨

14、 提 醒题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.分离常数axx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒a1题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.解对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间 ，2上，函数f(x)ming(x)max.7分分 由(1)可知在区间 ，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.审 题 路 线 图规

15、 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间 ，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当 x0.10分分 审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，).12分分 审 题 路 线 图规 范

16、解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析(2)如果对于任意的s，t ，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题.审 题 路 线 图规 范 解 答温 馨 提 醒思想方法感悟提高方 法 与 技 巧1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数

17、的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.思想方法感悟提高方 法 与 技 巧3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.思想方法感悟提高失 误 与 防 范1.函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0，(f(x)0在有限个点处取到).2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.练出高分A组专项基础训练23456789110练出高分A组专项基础训练1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可

18、能是()23456789101练出高分A组专项基础训练解析由函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.答案C23456789101练出高分A组专项基础训练2.(2014课标全国)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，)D.1，)34567891102解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调

19、递增f(x)k 0在(1，)上恒成立.练出高分A组专项基础训练34567891102由于k，而0 0，即a23a180.a6或a1，练出高分A组专项基础训练23567891104若0 )，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.解析f(x)是奇函数，且当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，f(x)在(0,2)上的最大值为1.练出高分A组专项基础训练23457891106答案1练出高分A组专项基础训练7.已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.23456891107解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，

20、1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减.练出高分A组专项基础训练由题意知，f(1)0或f(1)0，若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案2或223456891107练出高分A组专项基础训练8.设函数f(x)kx33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数k的值为_.23456791108解析若x0，则不论k取何值，f(x)0都成立；当x0，即x(0,1时，练出高分A组专项基础训练23456791108因此g(x)ming(1)4，从而k4，综上k4.答案4练出高分A组专项基础训练9.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(

21、x)的单调区间与极值；23456781109解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.练出高分A组专项基础训练于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：23456781109x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减 22ln 22a单调递增 练出高分A组专项基础训练故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.23456781109练出高分A组专项基础训练(2)求证：当aln 21且x0时，exx2

22、2ax1.23456781109证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，练出高分A组专项基础训练所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.23456781109练出高分A组专项基础训练2345678911010.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以

23、表示为y x3 x8(0 x120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？练出高分A组专项基础训练23456789110解当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升.练出高分A组专项基础训练(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？23456789110解当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，练出高分A组专项基础训练23456789110令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0

24、，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.练出高分A组专项基础训练易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升.23456789110练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升解析当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.1213141511练出高分B组专项能力提升1213141511(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.练出高分B组专项能力提升1213141511当x2，1)时，(x

25、)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值.综上知6a2.答案C练出高分B组专项能力提升121314151112.设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为常数.若f(x)在(1，)上是减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，则a的取值范围是()A.(e，)B.e，)C.(1，)D.1，)练出高分B组专项能力提升1213141511因为g(x)exa在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)ea.练出高分B组专项能力提升又g(x)在(1，)上有最小值，则必有eae.综上，a的取值范围是(e，).答案A1213141511练出高分B组专项能力提升13.已知f(x)xex，g(x)(x

26、1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_.1213141511解析f(x)exxexex(1x)当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0.(1)求f(x)的单调区间；1213141511解因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，).练出高分B组专项能力提升(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.1213141511解由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解得ae.练出高分B组专项能力

27、提升15.已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；1213141511当0 x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10，此时f(x)单调递增.f(x)的极小值为f(1)1.练出高分B组专项能力提升(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；1213141511证明f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.当0 x0，g(x)在(0，e上单调递增.练出高分B组专项能力提升1213141511练出高分B组专项能力提升(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.1213141511解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，练出高分B组专项能力提升1213141511所以，此时f(x)无最小值.综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.