2.1直线与圆的位置关系(精品).pptx

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1、圆有关的圆有关的计算和证明计算和证明专题讲座专题讲座1.如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交O 于点E，连接BE与AC交于点F（1）判断BE是否平分ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长【分析分析】（1）BE平分平分ABC由已知中边的相等，可得由已知中边的相等，可得CAD=D，ABC=ACB，再利用同弧所对的圆周，再利用同弧所对的圆周角相等，可得角相等，可得CAD=D=DBE，即有，即有ABE+EBD=CAD+D，利用等量减等量差相等，利用等量减等量差相等，可得可得EBD=D=ABE，故得证，故得证（2）有（）有（1）中的

2、所证条件）中的所证条件ABE=FAE，再加上两个，再加上两个三角形的公共角，可证三角形的公共角，可证BEAAEF，利用比例线段可，利用比例线段可求求EF【解答解答】解：（解：（1）BE平分平分ABC理由：理由：CD=AC，D=CADAB=AC，ABC=ACBEBC=CAD，EBC=D=CADABC=ABE+EBC，ACB=D+CAD，ABE=EBC，即即BE平分平分ABC（2）由（）由（1）知）知CAD=EBC=ABEAEF=AEBBEAAEF，AE=6，BE=8EF=2.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于 点D，且D=BAC（1）求证

3、：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE=，求AD的长【分析分析】（1）要证）要证AD是半圆是半圆O的切线只要证明的切线只要证明DAO=90即可；即可；（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到DOAABC，据相似三角形的对应边成比例，据相似三角形的对应边成比例可得到可得到AD的长的长【解答解答】（1）证明：）证明：AB为半圆为半圆O的直径，的直径，BCA=90又又BC OD，OE ACD+DAE=90D=BAC，BAC+DAE=90AD是半圆是半圆O的切线的切线（2）解：）解：OEACAC=2CE=2在在Rt ABC中，中，AB=D=BAC，AC

4、B=DAO=90，DOAABCAD3.如图，直线EF交O于A、B两点，AC是O直径，DE是O的切线，且DEEF，垂足为E（1）求证：AD平分CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求O的半径【分析分析】（1）连接）连接OD，得出，得出OAD=ODA，再证明再证明EAD=ODA，得出结论；，得出结论；（2）连接）连接CD，证明，证明AEDADC，根据勾股，根据勾股定理和相似三角形的性质求出半径定理和相似三角形的性质求出半径【解答解答】（1）证明：连接）证明：连接OD，OD=OA，ODA=OAD，DE是是 O的切线，的切线，ODE=90，OD DE，又又DE EF，OD EF，ODA=DAE，

5、DAE=OAD，AD平分平分CAE；（2）解：连接）解：连接CD，AC是是 O直径，直径，ADC=90，在在Rt ADE中，中，DE=4cm，AE=2cm，根据勾股定理得：根据勾股定理得：AD=cm，由（由（1）知：）知：DAE=OAD，AED=ADC=90，ADCAED，AC=10cm，O的半径是的半径是5cm4.如图所示，ABC内接于O，AB是O的直径，点D在O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且 AECE，连接CD（1）求证：DC=BC；（2）若AB=5，AC=4，求tanDCE的值【分析分析】（1）连接）连接OC，求证，求证DC=BC可以证明可以证明CAD=BAC，进而证明，进而证

6、明；（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证，易证ACEABC，则，则DCE=BAC，则，则tan DCE的值等于的值等于tan BAC，在直角，在直角ABC中根据三角函数的定义就可以求出中根据三角函数的定义就可以求出【解答解答】（1）证明：连接）证明：连接OCOA=OC，OAC=OCACE是是 O的切线，的切线，OCE=90AE CE，AEC=OCE=90OC AEOCA=CADCAD=BACDC=BC（2）解：）解：AB是是 O的直径，的直径，ACB=90BC=CAE=BAC，AEC=ACB=90，ACEABC，DC=BC=3，EDtan DC

7、E=5.如图甲，ABC内接于O，且AB=AC，O的弦AE交于BC于D (1)求证：ABAC=ADAE；（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是 否还成立？若成立，请给予证明若不成立，请说明理由【分析分析】（1）要证明）要证明ABAC=ADAE成立，只要成立，只要能证得能证得，再用，再用AB=AC，结合圆，等弧对等，结合圆，等弧对等角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似连接连接CE，可证明，可证明AECACD，问题解决，问题解决（2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有

8、三角形相似，能说明与三角形相似，能说明与ABAC=ADAE有关的成比有关的成比例的线段关系连接例的线段关系连接BE，可证得，可证得AEBABD，进而可使问题解决，进而可使问题解决【解答解答】（1）证明：连接）证明：连接CE，AB=AC，AEC=ACD；又又EAC=DAC，AECACD，即，即AC2=ADAE；又又AB=AC，ABAC=ADAE（2）答：上述结论仍成立）答：上述结论仍成立证明：连接证明：连接BE，AB=AC，AEB=ABD；又又EAB=DABAEBABD，即，即AB2=ADAE又又AB=AC，ABAC=ADAE6.如图，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60度（1）求O的直

9、径；（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0t2），连接EF，当t为何值时，BEF为直角三角形【分析分析】（1）根据已知条件知：）根据已知条件知：BAC=30，已，已知知AB的长，根据直角三角形中，的长，根据直角三角形中，30锐角所对的直锐角所对的直角边等于斜边的一半可得角边等于斜边的一半可得AB的长，即的长，即 O的直径；的直径；（2）根据切线的性质知：）根据切线的性质知：OC CD，根据，根据OC的长的长和和COD的度数可

10、将的度数可将OD的长求出，进而可将的长求出，进而可将BD的长求出；的长求出；（3）应分两种情况进行讨论，当）应分两种情况进行讨论，当EF BC时，时，BEF为直角三角形，根据为直角三角形，根据BEFBAC，可，可将时间将时间t求出；求出；当当EF BA时，时，BEF为直角三角形，根据为直角三角形，根据BEFBCA，可将时间，可将时间t求出求出【解答解答】解：（解：（1）AB是是 O的直径，的直径，ACB=90；ABC=60，BAC=180-ACB-ABC=30；AB=2BC=4cm，即，即 O的直径为的直径为4cm（2）如图甲）如图甲CD切切 O于点于点C，连接，连接OC，则，则OC=OB=A

11、B=2cmCD CO；OCD=90；BAC=30，COD=2 BAC=60；D=180-COD-OCD=30；OD=2OC=4cm；BD=OD-OB=4-2=2（cm）；）；当当BD长为长为2cm，CD与与 O相切相切.（3）根据题意得：）根据题意得：BE=（4-2t）cm，BF=tcm，如图乙，当如图乙，当EF BC时，时，BEF为直角三角形，此为直角三角形，此时时BEFBAC，BE：BA=BF：BC，即（即（4-2t）：）：4=t：2，解得，解得t=1.如图丙，当如图丙，当EF BA时，时，BEF为直角三角形，此为直角三角形，此时时BEFBCA，BE：BC=BF：BA，即（即（4-2t）：）：2=t：4，解得，解得t=1.6.当当t=1s或或t=1.6s时，时，BEF为直角三角形为直角三角形中考必胜！