1.1正弦定理 (3).ppt

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1、正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在RtABC中,各角与其对边的关系:不难得到:CBAabc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即(1)若直角三角形,已证得结论成立.所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立且仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2 （2

2、R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R思考求证:证明：证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证明：BACDabc而同理ha证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：已知两角和一边，求其他角和边.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.定理的应用例 1在ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。求 a,b(精确到0.01）.解：且 b=19.32=已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角a=14.14=BAC

3、bca在ABC中，已知 A=75，B=45，c=求a，b.在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a，c.a=,c=练习例 2 已知a=16，b=，A=30.求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理得所以60,或120当 时60C=90C=30当120时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70,或180025.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,变式:a=30,b=26,A=30求

4、角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70,C=124.30,a b A B,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c=(2)b=40，c=20，C=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：2R已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角

5、时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACba一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解正弦定理的综合应用正弦定理的综合应用CBAPACBD实际问题实际问题例例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在，从与烟囱底部在同一水平直线上的同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求烟囱

6、的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为 29.9m.ABCDEABCDEBEDCBEDCA 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出出一个或几个三角形一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。从而得到实际问题的解。在这个过程中，贯穿了在这个过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想。这种思想即是从实际的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结本节小结: