1.3.2空间几何体的体积 (2).ppt

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1、 执教者执教者:葛新葛新祖冲之父子祖冲之父子祖冲之（公元祖冲之（公元429500年），字文远，是我国南北朝年），字文远，是我国南北朝时代的数学家，天文学家，历学家，文学家、机械时代的数学家，天文学家，历学家，文学家、机械学家。说他是天文学家，历学家，是因为他创学家。说他是天文学家，历学家，是因为他创大大明历明历；说他是文学家，是因为他著有；说他是文学家，是因为他著有述异记述异记十卷；说他是机械学家，是因为他制造水碓、水磨，；十卷；说他是机械学家，是因为他制造水碓、水磨，；说他是数学家，是因为他著有说他是数学家，是因为他著有缀术缀术，其中对圆，其中对圆周率研究结果的得出，早于欧洲周率研究结果的得

2、出，早于欧洲1100多年。多年。祖暅是祖冲之的儿子，是一位博学多才的祖暅是祖冲之的儿子，是一位博学多才的 数学家，他继承家学，主要工作是修补编数学家，他继承家学，主要工作是修补编 辑他父亲的著作辑他父亲的著作缀述缀述，祖暅在数学上，祖暅在数学上 的主要成就，就是推算球的体积公式的主要成就，就是推算球的体积公式所所 用原理：用原理：“缘幂势既同，则积不容异缘幂势既同，则积不容异”（其其 中幂指截面积，势指高）中幂指截面积，势指高）等底等高的几何体若在等底等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的积相等，则这两个几何体的体积相等。体积相等。祖祖暅暅原理

3、原理：类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的个长度单位的正方体）的体积来度量长方体的体积。体积来度量长方体的体积。一个长方体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么一个长方体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个长方体的体积的数值就是多少。这个长方体的体积的数值就是多少。长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为，那么它的体积为V长方体长方体=abc或或V长方体长方体=Sh这里，这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。分别表示长方体的底

4、面积和高。ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。（圆柱）应该具有相等的体积。h柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和和高高h的积，即的积，即 V柱体柱体=Sh 类似地，底面积相等、高也相等的两个类似地，底面积相等、高也相等的两个锥体锥体，它，它们的体积也相等。们的体积也相等。V锥体锥体=SShhSShhSSV V V V台台=V=V=V=V大锥大锥-V-V-V-V小锥小锥S S S Ss

5、sx x x xh h h hr r r rR R R R 台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来 计算。如果台体的上、下底面面积分别为计算。如果台体的上、下底面面积分别为S，S，高是，高是h，可以推得它的体积是，可以推得它的体积是SShhSSSS 柱、锥、台体积的关系：柱、锥、台体积的关系：V柱体柱体=ShV锥体锥体=Sh这里这里S、S分别是上分别是上,下底面积下底面积,h是是高高 S=SS=0想想一一想想？实验实验:给出如下几何模型给出如下几何模型RR步骤步骤拿出圆锥拿出圆锥和圆柱和圆柱将圆锥倒立放入将圆锥倒立放入圆柱圆柱结论结论:截面

6、面积相等截面面积相等 R则两个几何体的体积相等则两个几何体的体积相等用一个平行平面截几何体得到截面用一个平行平面截几何体得到截面RRR球的体积计算公式：球的体积计算公式：RS1探究探究球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径。圆，大圆的半径等于球半径。球的表面积是球的大圆面积的球的表面积是球的大圆面积的4倍。倍。课堂练习一课堂练习一1 1、一个上底面积为一个上底面积为4 4，下底面积为，下底面积为9 9，高，高为为6 6的台体，求它的体积。的台体，求它的体积。2、半径是半径是R的球的球,如果半径发生了下述变化如果半径发生了下述变化,则

7、其体积则其体积,表面积分别增加了多少倍表面积分别增加了多少倍?(1)半径增大到原来的半径增大到原来的2倍倍 (2)半径增大了半径增大了2倍倍分析分析:”增大到增大到”与与”增大了增大了”是两个不同的概念是两个不同的概念.前者是指最终结果前者是指最终结果,后者还必须再加上后者还必须再加上 原来的一份原来的一份.例例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg5.8kg已知底面六边形的边长是已知底面六边形的边长是12mm12mm，高是，高是10mm10mm，内孔直径是，内孔直径是10mm10mm那么约有毛坯多少那么约有毛坯多少个？个？(铁的比重是铁的比重是7.8g

8、/cm7.8g/cm3 3)分析：六角螺帽毛坯的体积是一个分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可毛坯的体积即可 解：解：V V正六棱柱正六棱柱=12122 26103.74106103.74103 3(mm(mm3 3)V V圆柱圆柱=3.14(=3.14()2 2100.78510100.785103 3(mm(mm3 3)所以一个毛坯体积为所以一个毛坯体积为 V=3.74103-0.785103 2.96103(mm3)=2.96(cm3)约有毛坯约有毛坯 (5.8

9、1037.8)2.96251(个个)答：这堆毛坯约有答：这堆毛坯约有251个个。例例2一个长一个长,宽宽,高分别为高分别为3,4,53,4,5的长方体的长方体内接于一球内接于一球,求球的体积和表面积。求球的体积和表面积。R2R课堂练习二课堂练习二：用一张长用一张长12cm，宽，宽8cm的矩形围成圆柱体的侧面，的矩形围成圆柱体的侧面，求这个圆柱的体积。求这个圆柱的体积。2在在ABC中，中，AB=2,BC=1.5,ABC=120(如图如图)若将若将ABC绕直线绕直线BC旋转一周，求形成的旋转体的体积旋转一周，求形成的旋转体的体积 1.本节课主要学习了柱本节课主要学习了柱,锥锥,台及球台及球体的体积和球的表面积。体的体积和球的表面积。2.应用上述结论解决实际应用上述结论解决实际问题问题.课堂小结课堂小结两个球的体积和为两个球的体积和为12,这两个球的大圆周长之和为这两个球的大圆周长之和为6,求大球的半径与小球的半径差求大球的半径与小球的半径差.思考：思考：课本课本P习题习题.第第 8题题