3.1.3空间向量的数量积运算 (2)(精品).ppt

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1、3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算1.共线向量（平行向量）：共线向量（平行向量）：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.共线向量定理：共线向量定理：共线向量与共面向量共线向量与共面向量知识回顾：知识回顾：推论推论：如果如果l为经过已知点为经过已知点A且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量a的直的直线，那么对任一点线，那么对任一点O，点，点P在直线在直线l上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t，满足等式满足等式PBOP=(1-t)OA+t OB.(2)说明说明:(1)或或(2)都叫做都叫做空间直线的向量空间直线的

2、向量参数表示式参数表示式,(3)是线段是线段AB的的中点公式中点公式。共线向量共线向量OP=OA+t AB 或或定理定理:对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量a、b(b0),a/b的充要条的充要条件是存在实数件是存在实数使使a=b.OP=OA+t a.(1)a其中向量其中向量a叫做直线叫做直线l的的方向向量方向向量.AOA、B、P三点共线的充要条件为：三点共线的充要条件为：（其中其中x+y=1）2.共面向量共面向量我们把我们把平行于同一平面的向量，叫做平行于同一平面的向量，叫做共面向量共面向量.已知平面已知平面与向量与向量a,如果向量如果向量a所在的直线所在的直线OA平行于平面平行于平面或

3、向量或向量a在平面在平面内内,那么我们就说向量那么我们就说向量a平平行于平面行于平面,记作记作 a/.aOAa(3)共面向量定理共面向量定理:推论推论:空间一点空间一点P 位于平面位于平面MAB内的充分必要条件是存在内的充分必要条件是存在有序实数对有序实数对x、y，使使MP=xMA+yMB或对空间任一定点或对空间任一定点O，有有OP =OM+xMA+yMB.如果两个向量如果两个向量a、b不共线，则向量不共线，则向量p与与向量向量a、b共面的充共面的充要条件是存在实数要条件是存在实数对对x、y，使使MBAPAabpp=xa+yb.（平面平面MAB的向量表达式）的向量表达式）O即即 在几何中，角度

4、与距离是两个最基本的几在几何中，角度与距离是两个最基本的几何量。本课时重点研究利用空间向量的数量积何量。本课时重点研究利用空间向量的数量积 表示两条直线的夹角、空间线段的长度表示两条直线的夹角、空间线段的长度.由于空间两个向量始终共面，因此空间两由于空间两个向量始终共面，因此空间两个向量的数量积的意义与平面上两个向量的数个向量的数量积的意义与平面上两个向量的数量积的意义实际上是一致的，从而空间两个向量积的意义实际上是一致的，从而空间两个向量的数量积可转化为平面内两个向量的数量积量的数量积可转化为平面内两个向量的数量积.1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义:OAB2 2）两个向量的数

5、量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.A1 1B1 1BA数量积的几何意义：数量积的几何意义：等于等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积。记记B1(3)(3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；性质性质是求向量夹角的依据是求向量夹角的依据.注：注：(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满

6、足的运算律注意：注意：数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即分配律：分配律：.OCAA1BB1（三垂线定理）（三垂线定理）证明：证明：如图如图,已知已知:求证：求证：在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证为为逆命题成立吗逆命题成立吗?分析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.mngmng解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 例例3:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.课堂练习：课堂练习：教材教材92页练习页练习ABCB1C1A1解：解：设设则则BABCD解：解：解：解：课后作业课后作业1.习题习题3.1A组组3、4、52.乐学七中乐学七中 3.1.3