数学华东师大版七年级下册《多边形的内角和与外角和》.ppt

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1、9.2多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和复习：复习：1.1.什么叫做三角形？什么叫做三角形？什么叫做三角形？什么叫做三角形？三角形是由三条三角形是由三条三角形是由三条三角形是由三条不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上的线段的线段的线段的线段首尾顺次连结首尾顺次连结首尾顺次连结首尾顺次连结组成的平面图形。组成的平面图形。组成的平面图形。组成的平面图形。2.2.三角形的内角和定理是什么？外角和定理三角形的内角和定理是什么？外角和定理三角形的内角和定理是什么？外角和定理三角形的内角和定理是什么？外角和定理呢？呢？呢？呢？三角形的内角和是三角形的内角和是三角形的内角和是三

2、角形的内角和是三角形的外角和是三角形的外角和是三角形的外角和是三角形的外角和是多边形的有关概念多边形的有关概念 三角形三角形三角形三角形是由是由是由是由三三三三条条条条不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上的线段首尾的线段首尾的线段首尾的线段首尾顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。四边形四边形四边形四边形是由是由是由是由四四四四条条条条不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上的线段首尾的线段首尾的线段首尾的线段首尾顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平

3、面图形。记作记作记作记作记作记作记作记作 五边形五边形五边形五边形是由是由是由是由五五五五条条条条不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上的线段首尾的线段首尾的线段首尾的线段首尾顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。顺次连结组成的平面图形。记作记作记作记作 1.1.一般地，由一般地，由一般地，由一般地，由n n条条条条不在同一条直线上不在同一条直线上不在同一条直线上不在同一条直线上的线段首尾顺的线段首尾顺的线段首尾顺的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为次连结组成的平面图形称为次连结组成的平面图形称为次连结组成的平面图形称为n n边形，边形，边形

4、，边形，又称为又称为又称为又称为多边形。多边形。多边形。多边形。凹多边形凹多边形凹多边形凹多边形凸多边形凸多边形凸多边形凸多边形 2.如果多边形的如果多边形的各边都相等，各内各边都相等，各内角也都相等，角也都相等，那么就称它为那么就称它为正多边形正多边形.如：正三角形、正四边形（正方形）、正五如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等边形等.顶点顶点内角内角边边外角外角对角线对角线4.对角线：对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶在多边形中，连接不相邻的两个顶 点的线段叫做多边形的对角线。点的线段叫做多边形的对角线。3.外角：外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长多边形内角的一边与另一边的

5、反向延长 线线 所组所组 成的角叫做这个成的角叫做这个多边形的外角多边形的外角。问题问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少个五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？外角？答：答：五边形有五边形有5个内角，个内角，10个（个（5对）外角；对）外角；六边形有六边形有6个内角，个内角，12个（个（6对）外角对）外角.问题问题 n边形有多少个内角？多少个外角？边形有多少个内角？多少个外角？答答 n边形有边形有n个内角，个内角，2n个（个（n对）外角对）外角.问题2.(1)四边形从一个顶点可引出几条对 角线,共有几条对角线?(2).五边形呢?(3).n边形从一个顶点可引出几条对角线,共有几条

6、对角线?为什么?请问：请问：四四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？请问：请问：五五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？请问：请问：六六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？请问：请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条边形从一个顶点出发，能引出几条对角线对角线？123N-3五边形五边形ABCDE共共有几条对角线有几条对角线呢？呢？五边形五边形ABCDE共共有有5 5条对角线条对角线。请大家思考：六边形请大家思考：六边形ABCDEF共共有几条对角线有几条对角线呢？呢？六边形六边形

7、ABCDEF共共有有9 9条对角线条对角线。有没有什么有没有什么规律呢？规律呢？从以上分析可知从从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可边形的一个顶点引对角线，可以引以引(n3)条，那么条，那么n个顶点就有个顶点就有n(n3)条，但其中条，但其中每一条都重复计算一次，所以每一条都重复计算一次，所以n边形一共有边形一共有 条对角线条对角线.n(n3)2问题3.三角形,四边形,五边形.n边形的内角和是多少呢?多边形的边数多边形的边数多边形的边数多边形的边数分成的三角形个数分成的三角形个数分成的三角形个数分成的三角形个数多边形的内角和多边形的内角和多边形的内角和多边形的内角和3 34 45 56

8、 6n n1 12 23 34 4n-2n-27 75 5n n边形内角和定理边形内角和定理边形内角和定理边形内角和定理:n:n边形的内角和是边形的内角和是边形的内角和是边形的内角和是 问：问：问：问：在在在在n n边形内任取一点边形内任取一点边形内任取一点边形内任取一点P P，连结点，连结点，连结点，连结点P P与多边与多边与多边与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？形的每一个顶点，可得几个三角形？形的每一个顶点，可得几个三角形？形的每一个顶点，可得几个三角形？当当当当n n6 6时，时，时，时，（3 3 3 3）你能否根据这样划分多边形的方法来说明）你能否根据这样划分多边形的方法来说明）你

9、能否根据这样划分多边形的方法来说明）你能否根据这样划分多边形的方法来说明？n n n n边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于当当当当n n6 6时，多边形的内角和为：时，多边形的内角和为：时，多边形的内角和为：时，多边形的内角和为：讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1 1 1）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这个六边形的内角和吗？个六边形的内角和吗？个六边形的内角和吗？个六边形的内角和吗？（2 2 2 2）这几个三角形的内角和相加后与六边形的）这几个三角形

10、的内角和相加后与六边形的）这几个三角形的内角和相加后与六边形的）这几个三角形的内角和相加后与六边形的内角和有什么关系？内角和有什么关系？内角和有什么关系？内角和有什么关系？练习：练习：练习：练习：在在在在n n边形某边上任取一点边形某边上任取一点边形某边上任取一点边形某边上任取一点P P，连结点，连结点，连结点，连结点P P与多边形的每一与多边形的每一与多边形的每一与多边形的每一个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多？（图中取（图中取（图中取（图中取

11、n n5 5的情形）的情形）的情形）的情形）边形的方法来说明边形的方法来说明边形的方法来说明边形的方法来说明n n边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于（3 3 3 3）你能否根据这样划分多边形的方法来说明）你能否根据这样划分多边形的方法来说明）你能否根据这样划分多边形的方法来说明）你能否根据这样划分多边形的方法来说明？n n n n边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1 1 1）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角和加起来恰好等于这）这几个三角形的内角

12、和加起来恰好等于这个五边形的内角和吗个五边形的内角和吗个五边形的内角和吗个五边形的内角和吗？（2 2 2 2）这几个三角形的内角和相加后与五边形的）这几个三角形的内角和相加后与五边形的）这几个三角形的内角和相加后与五边形的）这几个三角形的内角和相加后与五边形的内角和有什么关系？内角和有什么关系？内角和有什么关系？内角和有什么关系？问：问：问：问：以上三种求多边形内角和的方法有什么以上三种求多边形内角和的方法有什么以上三种求多边形内角和的方法有什么以上三种求多边形内角和的方法有什么共同之处？共同之处？共同之处？共同之处？把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用

13、三角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的求出多边形的内角和求出多边形的内角和求出多边形的内角和求出多边形的内角和 内角和为内角和为内角和为内角和为例例例例1 1、求八边形的内角和的度数。求八边形的内角和的度数。求八边形的内角和的度数。求八边形的内角和的度数。解：解：解：解：八边形的内角和度数为：八边形的内角和度数为：八边形的内角和度数为：八边形的内角和度数为：练习：练习：练习：练习：已知一个多边形的内角和是已知一个多边形的内角和是已知一个多边形的内角和是已知一个多边形的内角和是则这个多边则这个多边则这个多边则这个多边形是形是形是形是 边形边形

14、边形边形 .十五十五十五十五从与从与从与从与三角形三角形三角形三角形的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为个相加，得到的和称为个相加，得到的和称为个相加，得到的和称为三角形的外角和。三角形的外角和。三角形的外角和。三角形的外角和。从与从与从与从与多边形多边形多边形多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为个相加，得到的和称为个相加，得到的和称为个相加，得到的和

15、称为多边形的外角和。多边形的外角和。多边形的外角和。多边形的外角和。问题问题问题问题4 4：多边形的外角和是多少呢多边形的外角和是多少呢多边形的外角和是多少呢多边形的外角和是多少呢?多边形的边数多边形的边数多边形的边数多边形的边数多边形的内角多边形的内角多边形的内角多边形的内角与外角的总和与外角的总和与外角的总和与外角的总和多边形的内角和多边形的内角和多边形的内角和多边形的内角和多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和3 34 45 56 6n n7 7任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：多边形的外角和与边数无关。多边

16、形的外角和与边数无关。多边形的外角和与边数无关。多边形的外角和与边数无关。正正正正n n边形的每个内角的度数为：边形的每个内角的度数为：边形的每个内角的度数为：边形的每个内角的度数为：正正正正n n边形的每个外角的度数为：边形的每个外角的度数为：边形的每个外角的度数为：边形的每个外角的度数为：问题问题问题问题5.5.正正正正n n边形的内角的度数与外角的度数边形的内角的度数与外角的度数边形的内角的度数与外角的度数边形的内角的度数与外角的度数:练习：练习：练习：练习：（1 1）十边形的内角和是）十边形的内角和是）十边形的内角和是）十边形的内角和是，外角和是，外角和是，外角和是，外角和是；如果十边

17、形的各个内角都相等，那；如果十边形的各个内角都相等，那；如果十边形的各个内角都相等，那；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是么它的一个内角是么它的一个内角是么它的一个内角是.（2 2）在一个多边形中，它的内角最多可以有几）在一个多边形中，它的内角最多可以有几）在一个多边形中，它的内角最多可以有几）在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？个是锐角？个是锐角？个是锐角？3 3个个个个小结：小结：小结：小结：1.n1.n边形的内角和定理是什么？边形的内角和定理是什么？边形的内角和定理是什么？边形的内角和定理是什么？2.2.推导多边形内角和定理时所用的方法是什么？推导多边形内角和定理时

18、所用的方法是什么？推导多边形内角和定理时所用的方法是什么？推导多边形内角和定理时所用的方法是什么？3.3.多边形的外角和定理是什么？多边形的外角和定理是什么？多边形的外角和定理是什么？多边形的外角和定理是什么？4.4.多边形的内角与其相邻外角的和是多少？多边形的内角与其相邻外角的和是多少？多边形的内角与其相邻外角的和是多少？多边形的内角与其相邻外角的和是多少？6.6.多边形的内角与外角在计算中的相互转化。多边形的内角与外角在计算中的相互转化。多边形的内角与外角在计算中的相互转化。多边形的内角与外角在计算中的相互转化。把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用三

19、角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的求出多边形的内角和求出多边形的内角和求出多边形的内角和求出多边形的内角和 内角和为内角和为内角和为内角和为任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：任意多边形的外角和都为：n n n n边形的内角和为边形的内角和为边形的内角和为边形的内角和为5.5.多边形的对角线共有多边形的对角线共有多边形的对角线共有多边形的对角线共有例例1一个多边形的内角和等于它的一个多边形的内角和等于它的外角和的外角和的3倍，它是几边形倍，它是几边形？解：设这个多边形是解：设这个多边形是n边形，则它的内

20、角和是边形，则它的内角和是 例题赏析例题赏析(n2)180,外角和等于外角和等于360，所以：所以：(n2)180=3360解得：解得：n=8答答:这个多边形是八边形这个多边形是八边形.例例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，求这，求这个正多边形的边数个正多边形的边数.分析分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是相等，而多边形的外角和是360.设一个外角为设一个外角为x，则内角为，则内角为(x+36)因为多边形的内角与相邻的外角互补；因为多边形的内角与相邻的外角互补；所以所以 x

21、+x+36=180解得解得 x=7236072=5答答 这个多边形的五边形这个多边形的五边形.解解例3.已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对角线,求 的值.解:因为,过m边形的一个顶点有7条对角线,所以m-3=7,故m=10因为因为因为因为n n没有对角线没有对角线没有对角线没有对角线,所以所以所以所以n=3n=3因为因为因为因为p p边形有边形有边形有边形有p p 条对角线所以条对角线所以条对角线所以条对角线所以 故故故故p=5p=5思考：ABEDFC1、求、求A+B+C+D+E+F的值的值思考：2、求、求A+B+C+D+E+F+G+H的值的值ABEDFCGH