1.3二项式定理（通用） (4).ppt

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1、二项式定理二项式定理(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb=a3+3a2b+3ab2+b3你还能写出你还能写出(a+b)4 的的展开式吗？展开式吗？写出二项式写出二项式(a+b)2、(a+b)3展开式展开式(a+b)2(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1 1个取个

2、取b b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前前的系数为的系数为C21恰有恰有2 2个取个取b b的情况有的情况有C22 种，则种，则b b2 2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b b的情况有的情况有1 1种，即种，即C20,则则a2 2前的系数为前的系数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(1)3 3个括号中全都取个括号中全都取a得：得：C33 a3(2)2 2个括号中有个括号中有2 2个取个取a，剩下的剩下的1 1个取个取b得得:C32a2C11b(4)

3、3 3个括号中全都取个括号中全都取b得：得：C33b3(3)3 3个括号中有个括号中有1 1个取个取a，剩下的剩下的2 2个取个取b得得:C31aC22b2同理同理：(1)不取不取b得：得：C30 a3(2)取取1 1个个b得：得：C31 a2b(3)取取2 2个个b得：得：C32ab2(4)取取3 3个个b得：得：C33b3(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3每个都不取每个都不取b b的情况有的情况有1 1种，即种，即C C4 40 0,则则a4 4前的系数为前的系数为C C4 40 0恰有恰有1 1个取个取b b的情况有的情况有C C4 41 1种，则种，则a

4、3 3b b前的系数为前的系数为C C4 41 1恰有恰有2 2个取个取b b的情况有的情况有C C4 42 2 种，则种，则a2 2b b2 2前的系数为前的系数为C C4 42 2恰有恰有3 3个取个取b b的情况有的情况有C C4 43 3 种，则种，则ab b3 3前的系数为前的系数为C C4 43 3恰有恰有4 4个取个取b b的情况有的情况有C C4 44 4种，则种，则b b4 4前的系数为前的系数为C C4 44 4则则(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？(a+b)2 =

5、C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4猜想猜想(a+b)n 的展开式的展开式(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn(nN*)右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)+b)n n的二项展开式的二项展开式Cnk an-kbk：二项展开式的通项：二项展开式的通项,记作记作Tk+1 Cnk：二项式系数二项式系数 (k(k0,1,2,n)(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b

6、 Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn(nN*)Tk+1=Cnk an-kbk (k0,1,2,n)(1)(1)共有共有n+1n+1项项(3)(3)字母字母a按降幂排列，次数由按降幂排列，次数由n n递减到递减到0 字母字母b按升幂排列，次数由按升幂排列，次数由0增加到增加到n二项展开式的特点：二项展开式的特点：(2)(2)各项的次数都等于二项式的次数各项的次数都等于二项式的次数n n(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn(nN*)(4)(4)二项式系数为二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2，Cnk,Cnn是一组与

7、二项式次数是一组与二项式次数n n有关的组合有关的组合数数，与与a,b,b无关无关(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn若令若令a=1,b=-x，则展开式又如何？，则展开式又如何？(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn(nN*)若令若令a=1,b=x，则得到：，则得到：(1-x)n=1-Cn1x+Cn2x2+(-1)kCnkxk+(-1)n Cnnxn例例1：(1)写出写出(1+2x)5的展开式的展开式(2)求求(1+2x)5的展开式中的第的展开式中的第4 4项项(3)写出写出(2x+1)5的展开式中的第的展开式中的第4 4项项(4)写出写出(1+2x)5的展开式中的第的展开式中的第4 4项的二项式项的二项式 系数，以及第系数，以及第4 4项的系数项的系数例例2：(1)写出写出(x+)5的展开式中的的展开式中的x3项项x1(2)(2)求求（-2x)6 的常数项的常数项x1