2.2两角和与差的正弦、余弦函数 (3).ppt

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1、2.12.1两角差的余弦函数两角差的余弦函数2.22.2两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数2 2 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数2.2.若若 是单位向量是单位向量,则则1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积3.3.平面向量的数量积的坐标运算平面向量的数量积的坐标运算两个向量的数量积的两种计算方式两个向量的数量积的两种计算方式方式一方式一方式二方式二它们的计算形式它们的计算形式 有什么关系呢有什么关系呢？两角差的余弦公式两角差的余弦公式 如何用任意角如何用任意角,的正弦、余弦值的正弦、余弦值 来表示来表示cos(cos(-)呢？呢？探探究究1 1设角设角，与单位圆的

2、交点分与单位圆的交点分别为别为P1，P2，由右图及正弦函由右图及正弦函数、余弦函数的定义可知数、余弦函数的定义可知O OP1=(cos,sin),=(cos,sin),O OP2=(cos=(cos,sin,sin),),在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，位圆，又以原点为顶点，x x轴非负半轴为始边分别作角轴非负半轴为始边分别作角，且且，两个向量数量积的坐标表示方法可知两个向量数量积的坐标表示方法可知O OP1 O OP2=(cos,sin)(cos,sin)(cos(cos,sin,sin)=co

3、s=coscos+sincos+sinsinsin 两角差的余弦公式两角差的余弦公式当当，均为锐角的情况均为锐角的情况O OP1 O OP2 O OP1 O OP 2 coscos（-）=cos=cos（-）所以O OP1 O OP2=coscoscos+sincos+sinsinsin=|=|我们称上式为两角差的余弦公式，记作我们称上式为两角差的余弦公式，记作cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin探究探究2 2对任意对任意,，如何证明它的正确性？，如何证明它的正确性？当当、为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个

4、角 1 1、2 20,20,2),),使使=1 1+2k+2k1 1 ,=2 2+2k+2k2 2 ,k,k1 1、k k2 2Z Zcos(-)=coscos+sinsinyOxP1P2 1 1 1 1-2 2P1OP2=1 1-2 2=-2k2k1 1 -(-(-2k-2k2 2)=-=-2k2k1 1 +2k2k2 2 O OP1 O OP2 coscos（1 1-2 2）=cos=cos（-2k2k1 1 +2k2k2 2）=|=|O OP1 O OP2=cos=cos（-）2 2 当当、为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角 1 1、2 20

5、,20,2),),使使=1 1+2k+2k1 1 ,=2 2+2k+2k2 2 ,k,k1 1、k k2 2Z Zcos(-)=coscos+sinsinP2P1OP2=2 2-(-(1 1-2 2)=2 2 -2k2k1 1 -(-(-2k-2k2 2)=-+=-+2k2k1 1 -2k2k2 2+2+2 O OP1 O OP2 coscos22 -(-(1 1-2 2)=cos=cos（-+-+2k2k1 1 -2k2k2 2+2+2 ）=|=|O OP1 O OP2=cos=cos（-）1 1OxP1 2 2 1 1-2 2y2 2-=cos=cos（-）于是，对于任意角于是，对于任意角

6、，都有都有cos(-)=coscos+sinsin称为差角的余弦公式称为差角的余弦公式,简记为简记为C C-公式公式C C-中中，是任意角，由此你能推出两角和的是任意角，由此你能推出两角和的余弦公式吗？余弦公式吗？两角和与差的正弦公式呢？两角和与差的正弦公式呢？我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，利用诱导公式试求利用诱导公式试求cos(+)？探究点探究点3 3 两角和的余弦函数两角和的余弦函数cos(+)=coscos-sincos-sinsinsin想一想：公式有何特点？你如何记忆？想一想：公式有何特点？你如何记忆？cos(+)=coscos-

7、sinsincos(-)=coscos+sinsinC-C+两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式注：注：1.1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）公式中两边的符号正好相反（一正一负）.2.2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后前正弦在后.探究点探究点3 3 两角和与差的正弦函数两角和与差的正弦函数两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式简记简记：简记简记：同理sin()=)=sincoscossin对于sin(-)(-)(1)(1)的的结结构构特特征征：左左边边是是两两角角和和、差差的的正正弦弦，右右边边是是前前一一角角的的正正弦弦

8、与与后后一一角角余余弦弦的的积积与与前前一一角角的的余余弦与后一角正弦的积的和、差弦与后一角正弦的积的和、差.(2)(2)公式中的角公式中的角,是任意的角是任意的角.sin()=)=sincoscossin【提升总结提升总结】公式公式 的结构特征的结构特征解解 cos75cos75=cos=cos（4545+30+30）=cos45=cos45cos30cos30-sin45-sin45sin30sin30例例1 1 不查表，求不查表，求cos75cos75，cos15cos15的值的值.怎样把怎样把7575 1515表示成两个特殊角的差？表示成两个特殊角的差？=cos45=cos45cos3

9、0cos30+sin45+sin45sin30sin30cos15cos15=cos=cos（4545-3030）所以cos(-)coscos+sinsin解解：，是第三象限角同理可得cos(+)coscos-sinsin应用3:公式的逆用公式的逆用=cos(+)把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式【变式练习变式练习】.1.cos501.cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20的值为的值为()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析：解析：cos50cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20 =c

10、os(50=cos(50-20-20)=cos30)=cos30=C CA A例例3 3 证明证明 coscos（）=sin=sin（为任意角）为任意角）.所以所以 coscos（）=sin=sin.证明证明 coscos（）=cos cos=cos cossin sinsin sin，因为因为 cos =0cos =0，sin =1sin =1，sinsin（）=cos(=cos(为任意角为任意角).).(2)sin(2)sin（）=cos=cos （）=cos =cos，所以所以sinsin（）=cos=cos.用类似的证法，可得用类似的证法，可得：cos（）=sin sin（）=coscos（）=sin sin（）=cos cos（）=sin sin（）=cos小结：小结：，角的三角函数值等于角的三角函数值等于 的异的异名函数前加上把名函数前加上把 看作锐角时原函数值的符号看作锐角时原函数值的符号.小结小结差角与和角的余弦公式与正弦公式差角与和角的余弦公式与正弦公式,cos(-)=coscos+sinsincos(+)=coscos-sinsin