5.2二项式系数的性质 (2).ppt

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1、2 2、情景设置、情景设置问题问题1 1：今天是星期：今天是星期三三，再过，再过3030天后是星期几？怎么算？天后是星期几？怎么算？问题问题2 2：今天是星期三：今天是星期三,再过再过8 8100100天后是星期几天后是星期几,你知道吗？你知道吗？问题问题3 3：今天是星期：今天是星期三三，再过，再过 天后是星期几？天后是星期几？4545一、教学目标：一、教学目标：1、知识与技能：、知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。2、过程与方法：、过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题。能解决二项展开式有关的简单问题。3、情感、态度与价值观：、情感、

2、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。方法。二、教学重点难点：二、教学重点难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。二项式定理及通项公式的掌握及运用。二项式定理二项式定理 思考思考:(a+b)1=a+b ,(a+b)2=a2+2ab+b2 ,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,由这些式子试猜想由这些式子试猜想(a+b)4展开后的结果，展开后的结果，它们的各项是什么呢？它们的各项是什么呢？(a+b)5，.

3、呢？呢？这里有规律吗这里有规律吗?因为因为(a+b)2(a+b)(a+b)对对(a+b)2 2展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取展开时，每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：相乘得项，所以展开后其项的形式有：a2,ab,b2最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C20,所以所以a2的系数为的系数为C20;因为

4、恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，所以种，所以ab的系数为的系数为C21;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，所以种，所以b2的系数为的系数为C22;故故(a+b)2 C20 a2 C21 ab C22b2 因为因为(a+b)3(a+b)(a+b)(a+b)对对(a+b)3 3展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取展开时，每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3,a2b,ab2,b3最后结果要合并同类项最后结

5、果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C30,所以所以a3的系数为的系数为C30;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C31种，所以种，所以a2b的系数为的系数为C31;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C32 种，所以种，所以ab2的系数为的系数为C32;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C33 种，所以种，所以 b3的系数为的系数为C33;故故(a+b)3 C30 a3 C31 a2b C32ab2 C33b3因为恰有因

6、为恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，所以种，所以b4的系数为的系数为C44(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4因为因为(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？对对(a+b)4 4展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项相乘得项,所以展开后其项的形式有所以展开后其项的形式有:a4,a3b,a2b2,ab3,b4最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项在展项的系数

7、为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C40,所以所以a4的系数为的系数为C40;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C41 种，所以种，所以a3b的系数为的系数为C41;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，所以种，所以 a2b2的系数为的系数为C42;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，所以种，所以 ab3的系数为的系数为C43;分析分析(a+b)n的展开式的展开式:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)因为恰有因为恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn种，

8、所以种，所以b4的系数为的系数为Cnn因为因为(a+b)n？展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项相乘得项,所以展开后其项的形式有所以展开后其项的形式有:an,an-1b,an-2b2,bn最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项在展项的系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0,所以所以an的系数为的系数为Cn0;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有Cn1 种，所以种，所以an-1b的系数为的

9、系数为Cn1;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，所以种，所以 an-2b2的系数为的系数为Cn2;二二项项式式定理定理(ab)n 叫作二叫作二项项式定理式定理二二项项展展开式开式公式公式 叫作叫作(ab)n的二的二项项展开式展开式二二项项式式系数系数各各项项的系数的系数 叫作二叫作二项项式系数式系数通通项项 叫作二叫作二项项展开式的通展开式的通项项Tr+1=Cnr anrbrCnr(r0,1,2，n)右右边边的式子的式子二项展开式的特点二项展开式的特点:项数：项数：共共n1项项指数：指数：a按降幂排列，按降幂排列，b按升幂排列按升幂排列，每一项中每一项中 a、b的指数和为

10、的指数和为n系数系数:第第r1项的二项式系数为项的二项式系数为 (r0,1,2,n）直直 接接 应应 用用：课堂练习课堂练习例例2.2.求求 的展开式中的第的展开式中的第4 4项项和第和第4 4项的二项式系数项的二项式系数.练习解答练习解答练习解答练习解答 项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 指数指数:a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0,是降幂排列；是降幂排列；b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列。，是升幂排列。-小结小结：注注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念项的系数与二项式系数是两个不同的概念系数系数:第第r1项的二项式系数为项的二项式系数为 (r0,1,2,n）今天是星期三今天是星期三,再过再过8 82007 2007 天后是星期几天后是星期几,你知道吗你知道吗？