(精品)苏教版2.3数学归纳法1.ppt

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1、1对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法结论的推理方法，叫归纳法.归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d2解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得啊啊,有完有完没完啊没完啊?正整数正整数无数个无数个!对于数列，已知，对于数列，已知，（1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜

2、想一定是正确的吗？情境情境3第一个人倒下，第一个人倒下，是否所有人都是否所有人都倒下？倒下？4第第k+1k+1个人是个人是如何倒下？如何倒下？5第一，第一个人必须倒下；第一，第一个人必须倒下；第二，任意相邻的两个人，前一个第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个人倒下一定撞到后一个.要保证每个人都要保证每个人都倒下，必需满足倒下，必需满足什么什么条件条件？6条件条件2 2给出了一个递推关系：给出了一个递推关系：当第当第k k个人倒下时，相邻的第个人倒下时，相邻的第k+1k+1个个人也倒下人也倒下.条件条件2的作的作用时什么？用时什么？7 “对对于于数数列列a an n，已已知知a a

3、1 11 1，（n n1 1，2 2，），通通过过对对n n=1 1，2,2,3,3,4 4前前4 4项项的的归归纳纳，我我 们们 已已 经经 猜猜 想想 出出 其其 通通 项项 公公 式式 为为 ”.怎样类比人的多米诺骨牌游戏原怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证理，通过有限个步骤的推理，证明明n n取所有正整数都成立？取所有正整数都成立？探究任务一：一个数学问题新的证明方法探究任务一：一个数学问题新的证明方法8多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理证明数列的通项公式是证明数列的通项公式是 的步的步骤骤（1）第一个人倒下）第一个人倒下.（1）当）当n=1时猜想成立时猜想成立

4、.（2）若第）若第k个人倒下时，个人倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1个人也倒个人也倒下下.根据（根据（1）和）和 （2），可知），可知不论有多少个人都能全部不论有多少个人都能全部倒下倒下.根据（根据（1）和（）和（2），可知对所），可知对所有的自然数有的自然数n，猜想都成立，猜想都成立.（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，则当则当n=k+1时猜想也成立时猜想也成立9一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：（2 2）假设假设n=k(knn=k(kn0 0，kNkN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k+1n=

5、k+1时命题也成立时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从题对从n n0 0开始的所有自然数都成立开始的所有自然数都成立.上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法.（1 1）证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n0N*)时命题成立时命题成立.（归纳奠基）（归纳奠基）(归纳递推归纳递推)探究任务二：提炼原理，得出概念探究任务二：提炼原理，得出概念10思考：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.11用框图表示为

6、：用框图表示为：验证验证n=n0时时命题成立命题成立.若若n=k(k n 0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.命题对所有的自然数命题对所有的自然数n(n n 0)都成立都成立.归纳归纳奠基奠基归纳归纳递推递推12理解新知理解新知问题问题1 1：甲同学猜想：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：用数学归纳法证明步骤如下：结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.证明：假设证明：假设n=k时等式成立，即时等式

7、成立，即那么那么即即n=k+1n=k+1时等式成立时等式成立.所以等式对一切自然数所以等式对一切自然数 均成立均成立.上述证法是正确的吗？为什么？上述证法是正确的吗？为什么？13问题问题:2:2：乙同学用数学归纳法证明：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么如采用下面证法，对吗？为什么结论结论2 2：在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=kn=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效造成推理无效.理解新知理解新知14问题问题3

8、3：讨论：讨论 的大小的大小 结论结论3 3：在第一步中的初始值在第一步中的初始值n n0 0不一定从不一定从1 1取起取起,证明应根据具体情况而定证明应根据具体情况而定.猜想：猜想：用数学归纳法证明，第一个取值为用数学归纳法证明，第一个取值为5.5.理解新知理解新知15所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么求证16例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明17例例3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明18如下证明对吗？证明当n1时，左边1右边1等式成立假设nk时，有 即nk1时，命题成立根据问可知，对nN*，等式成立第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明191.已知:,则

9、等于()A:B:C:D:C练习：20练习练习P90 2、3、4、521小结作业小结作业 1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.22数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确 递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注注 意：意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k1中间的变化.“写明结论，才算完整”（3）由（1

10、）（2）得出结论23 2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.24(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.证明中需要注意的问题(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.25重点：两

11、个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.26归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃.课堂小结27用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假.（必不可少）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式.分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并 用上假设.28作业：P91练习：4，5.29