33等差数列习题课.ppt

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1、等差数列等差数列习题课习题课yyyy年年M月月d日星期日星期黄冈中学网校达州分校1 1基本公式基本公式（1）定义：）定义：an1and（nN*，d为常数）；为常数）；（2）通项公式：）通项公式：ana1（n1）d；（3 3）前）前n n项和公式：项和公式：（4）通项公式推广：）通项公式推广：anam（nm）d等差数列的有关公式：等差数列的有关公式：黄冈中学网校达州分校2 2等差数列的一些性质等差数列的一些性质（1）对于任意正整数）对于任意正整数n，都有都有an1ananan1 a2a1d；（2）对于任意的正整数）对于任意的正整数k，l，m，n，如果如果 klmn，那么那么akalaman；（3

2、）对于任意的正整数）对于任意的正整数p，q，r，如果如果pr2q，则则apar2aq；（4）对于任意的正整数）对于任意的正整数n1，有，有 2anan1an1；黄冈中学网校达州分校2 2等差数列的一些性质等差数列的一些性质（5）对于任意的非零实数）对于任意的非零实数b，若数列若数列an是等差是等差数列，则数列，则ban也是等差数列；也是等差数列；（6）已知）已知an、bn都是等差数列，则都是等差数列，则anbn也是等差数列；也是等差数列；（7）若）若an是公差为是公差为d等差数列等差数列,那么等距离抽取那么等距离抽取的子数列也是等差数列的子数列也是等差数列.如如a1，a3，a5，a2n1,是公

3、差为是公差为2d的等差数列的等差数列;a2，a5，a8，a3n1，是公差为是公差为3d的等差数列；的等差数列；（8）若数列）若数列an的前的前n项和项和SnAn2Bn，则数则数列列an为公差为为公差为2A的等差数列的等差数列黄冈中学网校达州分校例例1.1.在等差数列在等差数列an中中,若若a1a69,a47，求求a3，a9分析分析1 1：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知知

4、道任意两项就知道公差道任意两项就知道公差).).解：解：设设等差数列的公差等差数列的公差为为d d，则则由由题题意可知意可知解得解得an85（n1），即），即an5n13a353132，a9591332黄冈中学网校达州分校分析分析2 2：本题中，只已知一项，和另一个双项关系本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手式，想到从这双项关系式入手解（法解（法2 2）：）：an是等差数列，是等差数列，a1a6a4a39，a39a4972，故故da4a3725；a9a4（94）d75532；所以所以a32，a932例例1.1.在等差数列在等差数列an中中,若若a1a69,a47，求求

5、a3，a9黄冈中学网校达州分校 点评点评：(1)根据已知条件，求出数列的首项根据已知条件，求出数列的首项a1、公差公差d，这是解决有关等差数列的常规方法；这是解决有关等差数列的常规方法；(2)根据题目所给条件，结合等差数列的性质：根据题目所给条件，结合等差数列的性质：对于任意的正整数对于任意的正整数k，l，m，n，如果如果klmn，那么那么akalaman，可以适当的减可以适当的减 少少运算量运算量例例1.1.在等差数列在等差数列an中中,若若a1a69,a47，求求a3，a9黄冈中学网校达州分校练习练习：一个凸多一个凸多边边形的内角成等差数列形的内角成等差数列,其中最其中最小的内角小的内角为

6、为120120,公差公差为为5 5,那么那么这这个多个多边边形的形的边边数数n n等于等于_分析：分析：根据凸多边形的内角和等于根据凸多边形的内角和等于(n-2)180建立等建立等量关系量关系解：由（解：由（n2）180120n整理得整理得n225n1440，解得解得n9，或，或n16，当当n16时时,最大内角最大内角120+(161)5195不合题意，不合题意，舍去舍去.n9点评：点评：凸多边形的内角小于凸多边形的内角小于180.黄冈中学网校达州分校例例2.2.在等差数列在等差数列an中中，(1)(1)已知已知S848，S12168，求求a1和和d;分析：分析：等差数列的等差数列的a1,d,

7、n,an,Sn等元素中等元素中,已知已知一部分量求另一部分量一部分量求另一部分量.在解题时在解题时,只要根据题只要根据题意意,合理选择公式合理选择公式,列出方程或方程组求解列出方程或方程组求解 解解：(1)(1)由等差数列的前由等差数列的前n n项项和公式得：和公式得：黄冈中学网校达州分校分析：分析：等差数列的等差数列的a1,d,n,an,Sn等元素中等元素中,已知一部分已知一部分量求另一部分量量求另一部分量.在解题时在解题时,只要根据题意，合理选择只要根据题意，合理选择公式公式,列出方程或方程组求解列出方程或方程组求解 解解：(2)S6S5a615，即即3（a110）15，例例2.2.在等差

8、数列在等差数列an中中，(2)(2)已知已知a610，S55，求求a8和和S8；黄冈中学网校达州分校点点评评:在在题题(3)(3)看似缺少条件看似缺少条件,但注意到但注意到a3 3a1515与与a1 1a1717的的联联系系,很容易得到很容易得到问题问题的解的解.所以在解此所以在解此类问题时类问题时,还还必必须须注意各元素之注意各元素之间间的某些特殊的某些特殊联联系系.例例2.2.在等差数列在等差数列an中中，(3)(3)已知已知a3a1540，求求S17分析：分析：等差数列的等差数列的a1,d,n,an,Sn等元素中等元素中,已知一部分已知一部分量求另一部分量量求另一部分量.在解题时在解题时

9、,只要根据题意，合理选择只要根据题意，合理选择公式公式,列出方程或方程组求解列出方程或方程组求解 黄冈中学网校达州分校推广引伸：推广引伸：在等差数列在等差数列an中中,a4a1013,则则a3a5a8a12_解解：a3a5a8a122a42a10 2(a4a10)26黄冈中学网校达州分校例例3.设等差数列设等差数列an和和bn的前的前n项和分别项和分别为为Sn、Tn，若若 ，求，求 的值的值分析分析:已知两个等差数列前已知两个等差数列前n项和的比值项和的比值,求求 的值，的值，关键在于寻求数列中的项和数列前关键在于寻求数列中的项和数列前n项和的项和的关系关系,可以把可以把a11看成是某一列数的

10、中间项，即看成是某一列数的中间项，即S2121a11，同理可得：同理可得：T2121b11，因此本题因此本题即为求即为求S21与与T21的比值的比值黄冈中学网校达州分校例例3.设等差数列设等差数列an和和bn的前的前n项和分别项和分别为为Sn、Tn，若若 ，求，求 的值的值黄冈中学网校达州分校点点评评:关于等差数列前关于等差数列前n项项的和的和,通常有下面的通常有下面的结论结论(2)若若Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项项和和,则则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(kN)仍成等差数列仍成等差数列,且且S3k3(S2k-Sk)例例3.设等差数列设等差数列an和和bn的前的前n项和分别项和

11、分别为为Sn、Tn，若若 ，求，求 的值的值且且(1)等差数列前等差数列前n项项和和黄冈中学网校达州分校例例4.4.已知数列已知数列an n的通的通项项公式公式为为an2n49,求求S Sn n达到最小达到最小值时值时n n的的值值分析分析：从数列前：从数列前n项的和的定义来看，项的和的定义来看，Sna1a2a3an当当an0时，时，Sn的值随的值随n的增的增大而增大；当大而增大；当an0时，时，Sn的值随的值随n的增大而减的增大而减小；只须考虑等差数列小；只须考虑等差数列an中的项与中的项与0的大的大小关系小关系解：由解：由an0，即，即2n490,d0,前前n项和有最大值可由项和有最大值可

12、由 求得求得n的值的值.当当a10,前前n项和有最小值可由项和有最小值可由 求得求得n的值的值.由由 利用二次函数配方法求得最值时利用二次函数配方法求得最值时n的值的值黄冈中学网校达州分校练习练习：在等差数列在等差数列an，已知已知|a3|a9|，公差公差d0，所以当所以当n5，或，或n6时，时，Sn取得最大值取得最大值根据等差数列的性质可知：根据等差数列的性质可知：a3a92a60，B黄冈中学网校达州分校3.3.43.3.4等差数列习题课等差数列习题课例例5.已知等差数列已知等差数列an的首项为的首项为24,从第从第10项项起为正数起为正数,求公差求公差d的取值范围的取值范围分析：分析：求公

13、差求公差d的取值范围，关键在于寻求关的取值范围，关键在于寻求关于公差于公差d的不等式（组）的不等式（组）解：由题意可知：解：由题意可知：点评：点评：在考虑在考虑“第第10项起为正数项起为正数”时，时，别忘了它的的潜台词别忘了它的的潜台词“第第9项为非正数项为非正数”黄冈中学网校达州分校例例6.6.已知数列已知数列 an n 的前的前n n项和项和 (1)(1)证明数列证明数列 an n 为等差数列，为等差数列，(2)(2)求数列求数列|an n|的前的前n n项和项和TnTn解：解：(1)(1)当当n n=1=1时，有时，有 当当n n2 2时，时，上式对于上式对于n n=1=1时也成立，时也

14、成立，又又 an n 为等差数列为等差数列黄冈中学网校达州分校v例例6.6.已知数列已知数列 an n 的前的前n n项和项和Sn=12n-n12n-n2,(1)1)证明数列证明数列 an n 为等为等差数列，差数列，(2)(2)求数列求数列|an n|的前的前n n项和项和TnTn(2)(2)由由(1)(1)知知 由由 得得当当 时，时，an n00，当，当 时，时，an n0 0当当n n66时，时，当当n n7时，时，黄冈中学网校达州分校例例7.7.设等差数列的前设等差数列的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a3 3=12,S=12,S12120,0,S S1313 0,(1)

15、0,(1)求公差求公差d d的取值范围，的取值范围，(2)(2)指出指出 中哪一个最大中哪一个最大?并说明理由并说明理由解：解：(1)(1)依题意有依题意有 即即解得解得黄冈中学网校达州分校v(2)(2)由由d d00，可知，可知 an n 是递减数列，由是递减数列，由可得可得 即在即在 中，中，S S6 6最大最大又又a6 6是是a1 1，a2 2，a1212中符号为正的项中最小的，中符号为正的项中最小的，中，中，最大最大黄冈中学网校达州分校例例8 8(2008 (2008 四川四川 理理)设等差数列设等差数列 an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S4 410,S10

16、,S5 51515则则a4 4的最大值为的最大值为 解析解析:设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，依题意有，依题意有 即即 即即 注意到注意到 因此因此a4的最大值为的最大值为4注意整体注意整体运算运算,待待定系数法定系数法的思想方的思想方法法4黄冈中学网校达州分校小结：小结：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：黄冈中学网校达州分校书面作业书面作业 习题习题3.3 5.7.8选选作作题题:已知自然数集已知自然数集组组成的数集序列成的数集序列 其中每一个其中每一个数集都比前一个数集多一个数，并且从第二数集都比前一个数集多一个数，并且从第二个数集开始，每一个数集中的最小数比前一个数集开始，每一个数集中的最小数比前一个数集中的最大数多个数集中的最大数多l l试试求第求第n n个数集中的个数集中的所有数之和所有数之和S Sn n黄冈中学网校达州分校