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1、第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2 2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 2.1 引言引言 在在模模拟拟领领域域中中，信信号号一一般般用用连连续续变变量量时时间间t t的的函函数数表表示示，系系统统则则用用微微分分方方程程描描述述。为为了了在在频频率率域域进进行行分分析析，用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和傅傅里里叶叶变变换将时间域函数转换到频率域。换将时间域函数转换到频率域。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析频域分析频域分析:将信号变换到以频率为自变量的将信号变换到以频率为自变量的

2、 域中（不是以时间为坐标）域中（不是以时间为坐标）频谱频谱(频率的复函数）频率的复函数）幅频特性、相频特性幅频特性、相频特性 举例回顾频谱的概念：两个正弦电压叠举例回顾频谱的概念：两个正弦电压叠加信号，其频谱如何表示？加信号，其频谱如何表示？矩形波的频谱呢？矩形波的频谱呢？其他频谱呢？离散谱、连续谱。其他频谱呢？离散谱、连续谱。布置课堂练习绘出矩形波频谱，以频率为单位，并说明级数展开的意义布置课堂练习绘出矩形波频谱，以频率为单位，并说明级数展开的意义第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 在在时时域域离离散散信信号号和和系系统统中中，信信号号用用序序列列表表示示

3、，而而系系统统则则用用差差分分方方程程描描述述。如如何何进进行行频频域域分析呢分析呢?使用序列的傅里叶变换或使用序列的傅里叶变换或Z变换变换第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析频域分析：频域分析：3正弦混合信号正弦混合信号时域规律不是看得很清楚，变换到频域则很有规律第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义 定义一个量：定义一个量：(2.2.1)傅傅立立叶叶变变换换存

4、存在在的的充充分分必必要要条条件件是是序序列列满满足足绝绝对对可可和和的条件，即满足下式：的条件，即满足下式：(2.2.2)记住第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 然后其反变换是可由正变换推出的，结果是唯一然后其反变换是可由正变换推出的，结果是唯一的。用的。用e e jn jn乘乘(2.2.1)(2.2.1)式两边，式两边，并在并在 -内对内对进进行积分，行积分，利用正交性得到利用正交性得到(2.2.3)式中式中 因此因此 推导作为了解意义的工具，其推导与原先傅里叶级数推导作为了解意义的工具，其推导与原先傅里叶级数求系数类似。但要知道，逆变换与正变换是可以相

5、互求系数类似。但要知道，逆变换与正变换是可以相互推导的，逆变换表达时域展开，正变换计算展开系数推导的，逆变换表达时域展开，正变换计算展开系数正交性正交性第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析指数函数正交性的证明（和三角函数正交性比较，简单些）：指数函数正交性的证明（和三角函数正交性比较，简单些）：第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析离散时间傅立叶变换对离散时间傅立叶变换对及其物理意义何在？及其物理意义何在？复数，模表示频率复数，模表示频率为为的信号占有的的信号占有的幅度，幅角为相位幅度，幅角为相位x(n)可以展开为不同频率信号的

6、叠加可以展开为不同频率信号的叠加（积分表示了叠加）。右侧的（积分表示了叠加）。右侧的表示频表示频率，率，X(ej)则表示每个频率成分则表示每个频率成分对应的对应的信号幅度以及信号相位。信号幅度以及信号相位。在此连续取在此连续取值，可取连续的频率值，因而可以计算值，可取连续的频率值，因而可以计算出各种频率成分的幅度和初相。出各种频率成分的幅度和初相。右侧的右侧的ejn表表示正弦信号示正弦信号第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析进一步理解？进一步理解？问题：假如你想比较x(n)中中50Hz的信号和100Hz的信号哪个大，怎么办？课堂作业，搞清楚具体的变换是如何计算

7、的。学以致用。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。又一个具体例子：N个1的序列包含哪些频率第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析假设假设N=4，将，将N=4代入上式，得到：代入上式，得到：信信号号的的幅幅度度特特性性和和相相位位特特性性随随的的变变化化曲曲线线如如图图2.2.2所示。所示。分析频谱结构，从表达式和图象两个方面前一个问题更具体的情形：假如你想比较50Hz的信号和100Hz的

8、信号在x(n)中哪个比例大，怎么办？课堂作业，搞清楚具体的变换是如何计算的。必须学以致用。假定采样频率为1000Hz。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析序列的傅里叶逆变换举例：看看由频谱做逆变换可以得序列的傅里叶逆变换举例：看看由频谱做逆变换可以得到什么值：到什么值：找个找个x(n)=R4(n)的具体实例增加感性认识计算公式括号内是R4(n)频谱恢复了原值1，说明了序列的频谱和序列是相互确定的一一对应关系第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域

9、离散信号和系统的频域分析第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2 序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质1.FT的周期性的周期性(重点重点)M为任意整数 (2.2.5)第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析必须熟悉的一些内容必须熟悉的一些内容:符号及其物理意义符号及其物理意义分析：周期性和采样定理是有关的分析：周期性和采样定理是有关的第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.线性线性 式中式中a,b为常数为常数 (2.

10、2.6)第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3.时移与频移（时移很重要）时移与频移（时移很重要）设设X(e j)=FTx(n)，那么那么(2.2.7)(2.2.8)第一项证明，第二项自己证第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析4.FT4.FT的对称性（非常重要）的对称性（非常重要）设设h(nh(n)是实序列，则其傅立叶变换具有是实序列，则其傅立叶变换具有共轭对称性质共轭对称性质，即：，即：H(eH(ejj)=H)=H*(e e-j-j),),用傅里叶变换的基本定义可予以证明：用傅里叶变换的基本定义可予以证明：证明过程要求掌握第二

11、章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因此对于实序列傅里叶变换：因此对于实序列傅里叶变换：实部是实部是偶函数偶函数虚部虚部是奇函数是奇函数推论推论1对于实序列傅里叶变换对于实序列傅里叶变换第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析偶函数，偶函数，奇函数奇函数相位相位-频率特性函数频率特性函数推论推论2：幅频特性函数：幅频特性函数对于实序列傅里叶变换对于实序列傅里叶变换其实我们在预备知识时就其实我们在预备知识时就知道每个频率都是对称的，知道每个频率都是对称的，当然整体对称了当然整体对称了第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号

12、和系统的频域分析现在，结合周期性、对称性及采样定理，需要牢固理现在，结合周期性、对称性及采样定理，需要牢固理解和掌握一些特性，从而了解解和掌握一些特性，从而了解FT的有效信息区间为一的有效信息区间为一个周期，对实序列则只有半个周期，刚好与采样定理个周期，对实序列则只有半个周期，刚好与采样定理呼应。（课堂讨论）呼应。（课堂讨论）例题：x(-1)=1,x(0)=2,x(1)=3,x(2)=4,x(3)=5,其余x(n)=0，用MATLAB计算DTFT，观察分析其周期性及对称性。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析注意：用矩阵注意：用矩阵-向量乘法求向量乘法求DTF

13、T语句如下，该句实现了语句如下，该句实现了DTFT的定义，的定义，步长为步长为pi/500：X=x*(exp(-j*pi/500).(n*k);例题：x(-1)=1,x(0)=2,x(1)=3,x(2)=4,x(3)=5,其余x(n)=0，用MATLAB计算DTFT，观察分析其周期性及对称性。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析function ex02dtft%供参考%用矩阵-向量乘法求有限长实序列的DTFT%x(-1)=1,x(0)=2,x(1)=3,x(2)=4,x(3)=5，其余x(n)=0的DTFTn=-1:3;x=1:5;%x(n)序列k=0:20

14、00;w=(pi/500)*k;%0,pi 轴分为500点.但w的取值范围为0到4piX=x*(exp(-j*pi/500).(n*k);%用矩阵-向量乘法求DTFT，实现了DTFT定义。magX=abs(X);angX=angle(X);%计算幅度谱和相位谱realX=real(X);imagX=imag(X);%计算实部和虚部subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);gridxlabel();title(模值部分);ylabel(模值)subplot(2,2,3);plot(w/pi,angX);gridxlabel(以pi为单位的频率);title(相角部分);yla

15、bel(弧度)subplot(2,2,2);plot(w/pi,realX);gridxlabel();title(实部);ylabel(实部)subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagX);gridxlabel(以pi为单位的频率);title(虚部);ylabel(虚部)第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n0,4pi图第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(e j)=X(e j)H(e j)5.时域卷积定理（重点）时域卷积定理（重点）则|Y(e j)|=|X(e j

16、)|H(e j)|思考：H(e j)对 X(e j)的作用？物理意义？证明仅作了解，参看教材可以第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析对称性的其他内容对称性的其他内容 关于对称性，教材上第关于对称性，教材上第35-3735-37页有对于一般复数序页有对于一般复数序列的傅里叶变换的对称性的讲解和讨论。请大家在掌列的傅里叶变换的对称性的讲解和讨论。请大家在掌握前面所讲的实数序列的对称性的基础上对该部分在握前面所讲的实数序列的对称性的基础上对该部分在课下进行学习。课下进行学习。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设y(n)=x(n)h

17、(n)6.6.频域卷积定理（了解）频域卷积定理（了解）第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析7.7.帕斯维尔帕斯维尔(ParsevalParseval)定理（了解）定理（了解）时域能量等于频域能量第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式里叶变换表示式 周期序列不满足绝对可和条件周期序列不满足绝对可和条件,它的它的FT是不存在的是不存在的,但由于其周期性但由于其周期性,可以展可以展开成傅立叶级数开成傅立叶级数.书上的推导不用管，但物理意义必须准书上的推导不用

18、管，但物理意义必须准确把握，是学习重点之一。确把握，是学习重点之一。第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数（DFS）。（2.3.12.3.1）（2.3.22.3.2）(2.3.1)式和式和(2.3.2)式称为一对式称为一对DFS。(2.3.1)式表明将周式表明将周期序列分解成期序列分解成N次谐波，次谐波，第第k个谐波频率为个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，幅度为，幅度为 基波分量的频率是基波分量的频率是2/N，幅度是幅度是以上就是一个周期序列以上就是一个周期序列DFS的物理意义的物理意义。连续周

19、期函数可以展开连续周期函数可以展开成三角级数，离散周期成三角级数，离散周期序列同样可以，且计算序列同样可以，且计算原理类似，可以和前面原理类似，可以和前面的高等数学知识印证的高等数学知识印证第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3.22.3.2周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式(次要，次要，知道有这种表示即可）知道有这种表示即可）(2.3.10)(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲表示单位冲激函数。激函数。(2.3.10)(

20、2.3.10)引入冲激函数，则周期序列也可表示成傅里叶变换形式引入冲激函数，则周期序列也可表示成傅里叶变换形式第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.42.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系号傅里叶变换之间的关系学习采样定理的时候，我们得到了采样前后的频谱的学习采样定理的时候，我们得到了采样前后的频谱的联系公式，并且画了图来理解。公式重写如下：联系公式，并且画了图来理解。公式重写如下：可以证明采样前后的频谱的联系公式，也就是时间离可以证明采样前后的频谱的联系公式，也就是时间离散信号的傅里叶变换和模拟信号的傅

21、里叶变换之间的关系。散信号的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系。对这一证明，我们要有所了解，关键是要搞清这一结论所揭对这一证明，我们要有所了解，关键是要搞清这一结论所揭示的物理意义。示的物理意义。（2.4.1）第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析而理想采样信号和模拟信号的关系用（而理想采样信号和模拟信号的关系用（1.5.2）式表）式表示，重写如下示，重写如下:第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析对上式进行傅里叶变换对上式进行傅里叶变换,得到（得到（中间推导不用看中间推导不用看，仅看头尾），仅看头尾）:原因为原因为=T，

22、且，且x(n)=xa(nT)，右边就是我们在本章，右边就是我们在本章开始时定义的离散信号的傅里叶变换，因此有：开始时定义的离散信号的傅里叶变换，因此有：（2.4.2）第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析再利用原有的频谱联系公式：再利用原有的频谱联系公式：考虑模拟和数字频率的联系，及考虑模拟和数字频率的联系，及公式也可写为：公式也可写为：因此可以看出，序列的傅里叶变换因此可以看出，序列的傅里叶变换X(ej)，及数字频谱，是，及数字频谱，是 模模拟信号的频谱拟信号的频谱Xa(j)以周期以周期s=2/T进行周期延拓的结果。如进行周期延拓的结果。如果采样频率不合适，同

23、样存在混叠。采样频率必须大于等于模果采样频率不合适，同样存在混叠。采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的拟信号最高频率的2倍以上，否则也会差生频域混叠现象倍以上，否则也会差生频域混叠现象第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析进一步讨论：什么地方失真最严重？对于实信号，进一步讨论：什么地方失真最严重？对于实信号，数字频谱的有效范围是什么？数字频谱的有效范围是什么？频率混叠在频率混叠在s/2附近最严重，对应到数字频率附近最严重，对应到数字频率附近最严重。附近最严重。注意到关系式注意到关系式=T=/fs=2 f/fs。f=fs -=2 f=fs/2 -=实信号的有意义的频谱实信号的有意义的频谱 在在0,即与模拟频率即与模拟频率0,fs/2对应的部分，这是采样定理揭示的。对应的部分，这是采样定理揭示的。又回到采样定理，请用下面图形解释又回到采样定理，请用下面图形解释第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图1.5.3离散信号的频谱 第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析作作 业业1.习题习题1，(6)(7)(8)2.习题习题2，习题，习题4，习题，习题53.习题习题6（3)(4)4.习题习题8，习题，习题10，习题，习题12