(精品)自动控制原理(3-3).ppt

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1、自动控制原理自动控制原理朱亚萍朱亚萍杭州电子科技大学自动化学院杭州电子科技大学自动化学院3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析n n对对对对系系系系统统统统进进进进行行行行各各各各类类类类性性性性能能能能指指指指标标标标的的的的分分分分析析析析必必必必须须须须在在在在系系系系统统统统稳稳稳稳定的前提下进行。定的前提下进行。定的前提下进行。定的前提下进行。n n稳稳稳稳定定定定是是是是控控控控制制制制系系系系统统统统能能能能够够够够正正正正常常常常运运运运行行行行的的的的首首首首要要要要条条条条件件件件。只只只只有稳定系统才有用。有稳定系统才有用。有稳定系统才有用。有稳定系统才有用。绝

2、对稳定性绝对稳定性绝对稳定性绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。：稳定或不稳定的条件。相对稳定性相对稳定性相对稳定性相对稳定性：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。：稳定系统的稳定程度。一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念 稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统稳定性稳定性是表征系统在扰动消失后自身的一种恢复能是表征系统在扰动消失后自身的一种恢复能力，它是系统的一种力，它是系统的一种固有特性固有特性。1.零输入响应稳定性零输入响应稳定性 设一个线性定常系统原处于某一平衡状态，若它设一个线性定常系统原处于某一平衡状态，若它受到

3、某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态，当扰动受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，如果系统还能回到原有的平衡状态附近，则消失后，如果系统还能回到原有的平衡状态附近，则称该系统是称该系统是稳定稳定的。反之，系统为的。反之，系统为不稳定不稳定的。的。l l大范围稳定大范围稳定大范围稳定大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定；：初始偏差可以很大，系统仍稳定；l l小范围稳定小范围稳定小范围稳定小范围稳定：初始偏差必须在一定限度内系统才：初始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果小范围内是稳定的，则它一定对于线性系统

4、，如果小范围内是稳定的，则它一定也是大范围稳定的也是大范围稳定的，而对于非线性系统不存在类似结论。，而对于非线性系统不存在类似结论。(a a)稳定（小范围）；稳定（小范围）；(b b)渐近稳定；渐近稳定；(c c)大范围稳定和不稳定大范围稳定和不稳定系统的稳定性系统的稳定性l l若若线线性性系系统统在在初初始始扰扰动动的的影影响响下下，其其动动态态过过程程随随时时间间的的推推移移逐逐渐渐衰衰减减并并趋趋于于零零（原原平平衡衡工工作作点点），则则称称系系统统渐渐渐渐近近近近稳稳稳稳定定定定；反反之之，若若在在初初始始扰扰动动的的影影响响下下，系系统统的的动动态态过过程程随随时时间间的的推推移移而

5、而发发散散，则则称称系系统统不不稳稳定定。线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。2.零状态响应稳定性零状态响应稳定性n n零零零零状状状状态态态态响响响响应应应应的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性：如如果果系系统统对对于于每每一一个个有有界界输输入入的的零零状状态态响响应应仍仍保保持持有有界界，则则称称该该系系统统的的零零状状态态响响应应是是稳稳定定的的。零零状状态态响响应应稳稳定定又又称称为为有有界界输入有界输出稳定输入有界输出稳定（BIBOBIBO稳定稳定）。）。n n线线性性定定常常系系统统零零输输入入响响应应稳稳定定性性和和零零状状态态响响应应稳

6、稳定定性性的的条条件件是是一一致致的的。所所以以，线线性性定定常常系系统统的的稳稳定性可以通过定性可以通过系统响应的稳定性系统响应的稳定性来表达。来表达。线性定常系统的稳定性表现为其线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性！时域响应的收敛性！tOr(t)c(t)uu控控制制系系统统的的响响应应分分为为过过渡渡状状态态和和稳稳定定状状态态，若若随随时时间间推推移移，其其过过渡渡过过程程逐逐渐渐衰衰减减，系系统统响响应应最终收敛到稳定状态，则称该系统最终收敛到稳定状态，则称该系统稳定稳定()()；uu如果过渡过程发散，则该系统如果过渡过程发散，则该系统不稳定不稳定()()。1.1.线性系统的解

7、线性系统的解二、线性定常系统稳定性的充分必要条件二、线性定常系统稳定性的充分必要条件稳态分量：稳态分量：对应微分方程的特解，与外部输入对应微分方程的特解，与外部输入有关（有关（零状态响应零状态响应）。）。瞬态分量：瞬态分量：对应微分方程的通解，只与系统本对应微分方程的通解，只与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外部作身的参数、结构和初始条件有关，而与外部作用无关（用无关（零输入响应零输入响应）。）。c c1 1(t t)系统零输入响应系统零输入响应c c2 2(t t)系统零状态响应系统零状态响应 2.零输入响应的稳定性零输入响应的稳定性如果对于任何初始状态如果对于任何初始状态c c1

8、1(0)(0)、c c1 1(1)(1)(0)(0)、c c1 1(n-1)(n-1)(0)(0)，都有都有 ，则称该系统的零输入响应是稳定的。，则称该系统的零输入响应是稳定的。假设假设的的n n 个极点分布如下：个极点分布如下：q q个实数极点，其中个实数极点，其中p p1 1是是l l重极点；另外重极点；另外q ql l个相异个相异实数极点实数极点p pi i（i i2 2、3 3、q ql l），），2 2r r个复数极点，设个复数极点，设其为其为p pk k=k k+j+j k k (k k=1=1、2 2、r r)。于是，从拉氏反变换。于是，从拉氏反变换可求得零输入响应为：可求得零输

9、入响应为：式中：式中：可见，系统零输入响应稳定得充分必要条件是可见，系统零输入响应稳定得充分必要条件是:系系统传递函数得全部极点统传递函数得全部极点p pi i（i=1i=1，2 2，n n）完全位于完全位于s s平面的左半平面。平面的左半平面。3.零状态响应的稳定性零状态响应的稳定性如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳定的，或称为有界，则称该系统的零状态响应是稳定的，或称为有界输入有界输出稳定（有界输入有界输出稳定（BIBOBIBO稳定）。稳定）。利用卷积分公式求零状态响应是方便的，即利用卷积分公式求零状态响

10、应是方便的，即对于所有有界对于所有有界r r(t t)，c c2 2(t t)为有界，则零状态响应稳定。为有界，则零状态响应稳定。假如假如r r(t t)有界，则对于所有的有界，则对于所有的t t应有应有 ，此处，此处K K1 1是大于零的常数，即有是大于零的常数，即有 。式中式中 ，则必然可以求得：则必然可以求得：即对所有即对所有t t，零状态响应，零状态响应c c2 2(t t)有界。有界。考虑到绝对值的积分大于等于积分的绝对值，则考虑到绝对值的积分大于等于积分的绝对值，则如果系统的单位脉冲响应能够满足下式：如果系统的单位脉冲响应能够满足下式：式中式中可见，只有系统传递函数的全部极点可见，

11、只有系统传递函数的全部极点s si i（i=1i=1，2 2，n n）位于）位于s s平面左半平面，才能使平面左半平面，才能使时，时，g(g()趋于零的趋于零的速率快到足以使速率快到足以使 。这样，系统的零状态响。这样，系统的零状态响应才是有界输入有界输出稳定。应才是有界输入有界输出稳定。结论：结论：l l线性定常系统稳定的线性定常系统稳定的充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件是：特征方程是：特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即式的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特特特特征方程的根均在复平面的左半平面征方程的根均在复平面的左半平面征方程的根均在复平面的左半平面征

12、方程的根均在复平面的左半平面。l l由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以也由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以也可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件是可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件是系统系统系统系统的极点均在复平面的左半部分的极点均在复平面的左半部分的极点均在复平面的左半部分的极点均在复平面的左半部分。l l对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极点的线性定常系统，称之为点的线性定常系统，称之为临界稳定临界稳定的，该系统在的，该系统在扰动消除后的响应通常是扰动消除后的响应通常是等幅振荡等幅振荡的。的。三、三、劳斯劳斯-赫尔维茨稳定判

13、据赫尔维茨稳定判据 l l根据线性定常系统稳定性的充分必要条件，可以根据线性定常系统稳定性的充分必要条件，可以通过求取系统特征方程式的所有根，并检查所有特通过求取系统特征方程式的所有根，并检查所有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。征根实部的符号来判断系统是否稳定。l l采采用用劳劳斯斯（赫赫尔尔维维茨茨）稳稳定定判判据据，可可以以不不用用求求解解方方程程，只只根根据据方方程程系系数数做做简简单单的的运运算算，就就可可以以确确定定方方程程是是否否有有（以以及及有有几几个个）正正实实部部的的根根，从从而而判判定定系统是否稳定系统是否稳定。l l由于一般特征方程式为由于一般特征方程式为高次代数方程

14、高次代数方程，要计算其，要计算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。特征根必须依赖计算机进行数值计算。（一）劳斯判据（一）劳斯判据1.线性定常系统的劳斯判据线性定常系统的劳斯判据设线性定常系统的特征方程为设线性定常系统的特征方程为必要条件：必要条件：必要条件：必要条件：控制系统特征方程式的所有系数均为控制系统特征方程式的所有系数均为正值，且特征方程式不缺项。正值，且特征方程式不缺项。充分条件：充分条件：充分条件：充分条件：劳斯表中第一列所有项均为正号。劳斯表中第一列所有项均为正号。如果特征方程式所有系数都是正值，将多项式的系如果特征方程式所有系数都是正值，将多项式的系数排成下面形式的行和列，即为

15、数排成下面形式的行和列，即为劳斯表。劳斯表。表中，表中，系数系数b b 的计算，一直进行到的计算，一直进行到后面的全部为零时后面的全部为零时为止。为止。同同样样采采用用上上面面两两行行系系数数交交叉叉相相乘乘的的方方法法，可可以以求求出出c c、d d、e e、f f 等系数，即等系数，即这这个个过过程程一一直直进进行行到到n n+1+1行行为为止止。其其中中第第n n+1+1行行仅仅第第一列有值，且正好是方程最后一项一列有值，且正好是方程最后一项a an n 。几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：l l劳斯表是劳斯表是三角形三角形。在展开的劳斯表中，为了简化其。在展开的劳斯表中，为了简化

16、其后的数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的后的数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；各项，这时并不改变稳定性结论；l l如果如果必要条件不满足必要条件不满足（即特征方程系数不全为正或（即特征方程系数不全为正或缺项），则缺项），则可断定系统是不稳定或临界稳定可断定系统是不稳定或临界稳定；l l劳斯表中第一列的数值均为正值，则系统稳定，否劳斯表中第一列的数值均为正值，则系统稳定，否则系统不稳定，并且则系统不稳定，并且系统在复平面右半平面极点的个系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。例例例例3-2

17、 3-2 设有一个三阶系统的特征方程为设有一个三阶系统的特征方程为证明：证明：上式对应的劳斯表为上式对应的劳斯表为 根根据据劳劳斯斯判判据据，系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件是是劳劳斯斯表表第第一一列列系数均大于零。所以有系数均大于零。所以有 。式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是：式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是：解解 由图可知，系统的闭环传递函数为由图可知，系统的闭环传递函数为所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 例例例例3-33-3 考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的K K的取值范围。的取值范围。列劳斯表如下：列劳斯表

18、如下：根据劳斯判据，系统稳定必须满足：根据劳斯判据，系统稳定必须满足：当当 时，系统处于临界稳定状态。时，系统处于临界稳定状态。因此，使系统闭环稳定的因此，使系统闭环稳定的K K的取值范围为：的取值范围为：在在在在劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表的的的的某某某某一一一一行行行行中中中中，出出出出现现现现第第第第一一一一个个个个元元元元素素素素为为为为零零零零，而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；l l可用一个很小的正数可用一个很小的正数 代替为零的元素，然后代替为零的元素，然后继

19、续进行计算，完成劳斯表。如果零继续进行计算，完成劳斯表。如果零()上面上面的系数符号与零的系数符号与零()下面的符号相反，表明这下面的符号相反，表明这里有一个符号变化。里有一个符号变化。l l也可以用因子也可以用因子（s s+a a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a a为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据。判据。2.劳斯表的两种特殊情况及其处理劳斯表的两种特殊情况及其处理因为劳斯表第一列元素的因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次符号改变了两次，所以系，所以系统不稳定，且统不稳定，且有两个正实部的特征根有两个正实部的特征根。例如例如，系统

20、的特征方程为，系统的特征方程为其劳斯表如下：其劳斯表如下：若以若以(s s+2)+2)乘以原特征方程：乘以原特征方程：整理得新的特征方程：整理得新的特征方程：列出新劳斯表：列出新劳斯表：可见，劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系可见，劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系统不稳定，且有两个正实部的特征根。统不稳定，且有两个正实部的特征根。与前一种方法与前一种方法得到相同结论。得到相同结论。l l这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。这些根符号相异的特征根。这些根或为共轭虚根；或为符或为共轭虚根；或为符号相异但绝对值相同的成对

21、实根；或对称于实轴的号相异但绝对值相同的成对实根；或对称于实轴的两对共轭复根；或上述情况同时存在。两对共轭复根；或上述情况同时存在。l l可用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，并可用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，并将上述辅助方程对将上述辅助方程对s s求导，用求导后的方程系数代求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表。替全零行的元素，继续完成劳斯表。l l辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方程求得。根，均可由辅助方程求得

22、。在劳斯表的某一行中出现所有元素均为零的情况在劳斯表的某一行中出现所有元素均为零的情况在劳斯表的某一行中出现所有元素均为零的情况在劳斯表的某一行中出现所有元素均为零的情况设系统特征方程为：设系统特征方程为：设系统特征方程为：设系统特征方程为：s s4 4+5+5s s3 3+7+7s s2 2+5+5s s+6=0+6=0劳劳劳劳 斯斯斯斯 表表表表s0s1s2s3s451756116601 1 1 1 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 2 2 2 出现零行怎么办出现零行怎么办出现零行怎么办出现零行怎么办?3 3 3 3 如何求对称的根如何求

23、对称的根如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两个根由综合除法可得另两个根为为s s3,43,4=-2,-3=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根解辅

24、助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行系劳斯表出现零行系劳斯表出现零行系劳斯表出现零行系统统统统一定一定一定一定不稳定不稳定不稳定不稳定例如，系统的特征方程为例如，系统的特征方程为 ,劳斯表为劳斯表为 s=j由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程程 解出。解出。3.劳斯稳定判据的应用劳斯稳定判据的应用l l在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统的在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这种判据并不能直接稳定性。

25、如果系统不稳定，则这种判据并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，劳斯判据指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能。即劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能。即劳斯判据不能表明系统特征根在不能表明系统特征根在s s平面上相对于虚轴的距离。平面上相对于虚轴的距离。l l由高阶系统单位阶跃响应表达式可知，若负实部特由高阶系统单位阶跃响应表达式可知，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，则系统动态过程将具有缓征方程式的根紧靠虚轴，则系统动态过程将具有缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。慢的非周期性或强烈的振荡特性。l l为了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常为

26、了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常希望在希望在s s左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。一定的距离。l l为此，可在左半平面上作一条为此，可在左半平面上作一条s s=a a的垂线，而的垂线，而a a 是系统特征根位置与虚轴之间的最小距离，通常称是系统特征根位置与虚轴之间的最小距离，通常称为为给定稳定度给定稳定度给定稳定度给定稳定度，然后用新变量，然后用新变量s s1 1=s+as+a代入原系统特代入原系统特征方程，得到一个以征方程，得到一个以s s1 1为新变量的新特征方程，对新为新变量的新特征方程，对新特征方程应用劳斯判据，可以判别

27、系统的特征根是特征方程应用劳斯判据，可以判别系统的特征根是否全部位于否全部位于s=s=a a垂线之左。垂线之左。例例3 34 4 设比例积分（设比例积分（PIPI）控制系统如下图所示。）控制系统如下图所示。其中其中K K1 1为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参数数=0.2=0.2及及 n n=86.6=86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭环系，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的统稳定的K K1 1取值范围。如果要求闭环系统极点全部位取值范围。如果要求闭环系统极点全部位于于s s=1 1垂线之左，问垂线之左，问K K1 1值范围又应取多大？值范围又应

28、取多大？比例积分控制系统图比例积分控制系统图解解解解 系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：闭环特征方程为：闭环特征方程为：代入已知的代入已知的 与与 n n，得，得列出相应得劳斯表：列出相应得劳斯表：得得K K1 1得取值范围为：得取值范围为：当要求闭环极点全部位于当要求闭环极点全部位于s s=1 1垂线之左时，可垂线之左时，可令令s s=s s1 1-1-1，代入原特征方程，得到如下新特征方程：，代入原特征方程，得到如下新特征方程：相应得劳斯表：相应得劳斯表：得得K K1 1得取值范围为：得取值范围为：整理得：整理得：（二）赫尔维茨判据（六阶以下系统）（二）赫尔维茨判据（六阶以下系统

29、）系统的特征方程为如下标准形式系统的特征方程为如下标准形式 以它的各项系数写出如下行列式以它的各项系数写出如下行列式l l对角线对角线上各元为特征方程中上各元为特征方程中第二项开始第二项开始的各项系数。的各项系数。l l对角线左边对角线左边a a的脚标递增，右边递减的脚标递增，右边递减。l l写到特征方程中不存在的系数时，以零代替。写到特征方程中不存在的系数时，以零代替。赫赫赫赫尔尔尔尔维维维维茨茨茨茨判判判判据据据据：在在a a0 00 0的的情情况况下下，上上述述行行列列式式的的各各阶阶主子式均大于零，主子式均大于零，即即特点：特点：例如例如三阶系统的特征方程为三阶系统的特征方程为列出系数

30、行列式列出系数行列式即系统稳定的充分必要条件是即系统稳定的充分必要条件是:与劳斯判据相对比：与劳斯判据相对比：又如四阶系统的特征方程为又如四阶系统的特征方程为列出系数行列式列出系数行列式则系统稳定的充分必要条件是：则系统稳定的充分必要条件是：对比劳斯判据：对比劳斯判据：例例3 35 5 已知系统的闭环传递函数为：已知系统的闭环传递函数为：求临界放大系数求临界放大系数K Kc c及其与参量及其与参量 1 1、2 2及及 3 3的关系。的关系。解解 系统的特征方程为系统的特征方程为根据劳斯判剧，稳定的充分必要条件是：特征方程的根据劳斯判剧，稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均大于零，并且各项

31、系数均大于零，并且即得即得从而得临界放大系数从而得临界放大系数决定决定K Kc c大小的实际上并不是各时间常数的绝对值，大小的实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。还可以求出开环增益临界值还可以求出开环增益临界值K Kc c的极小值的极小值K Kcmincmin与参量与参量 1 1、2 2及及 3 3的关系。为此先求出的关系。为此先求出K Kc c对对 1 1、2 2及及 3 3偏导数并令其偏导数并令其为零。为零。整理以上各式，即得整理以上各式，即得由此可见，由此可见，1 1、2 2及及 3 3必须同时满足以上三式，必须同时满足以上三式，K Kc c才有才有极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看出，只有出，只有 时，时，K Kc c才有极值。才有极值。为进一步确定极值是极大值还是极小值，可对为进一步确定极值是极大值还是极小值，可对K Kc c对对的二阶偏导来判断。的二阶偏导来判断。，故为极小值。且，故为极小值。且由于由于待待 续续 ！