上学期 26 指数函数.docx

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1、上学期 26 指数函数 上学期 2.6 指数函数 教学目标 1.理解指数函数的定义,初步把握指数函数的图象,性质及其简洁应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培育同学观看,分析,归纳的力量,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的讨论,使同学能把握函数讨论的基本方法,激发同学的学习爱好. 教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是熟悉底数对函数值影响的熟悉. 教学用具 投影仪 教学方法 启发争论讨论式 教学过程 一. 引入新课 我们前面学习了指数运算,在此基础上,今日我们要来讨论一类新的常见函数-指数函数. 1.6.指数函数(板书) 这类函数之所以

2、重点介绍的缘由就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题: 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗? 由同学回答: 与 之间的关系式,可以表示为 . 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,其次次再剪去剩余绳子的一半,剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的函数关系. 由同学回答: . 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面讨论的函数有所区分,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 一. 指

3、数函数的概念(板书) 1.定义:形如 的函数称为指数函数.(板书) 老师在给出定义之后再对定义作几点说明. 2.几点说明 (板书) (1) 关于对 的规定: 老师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若同学感到有困难,可将问题分解为若 会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在. 若 对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有讨论的必要.为了避开上述各种状况的发生,所以规定 且 . (2)关于指数函数的定义域 (板书) 老师引导同学回顾指数范围,发觉指数可以取有理数.此时老师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过

4、的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为 .扩充的另一个缘由是由于使她它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的推断(板书) 刚才分别熟悉了指数函数中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来熟悉一下,依据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数. (1) , (2) , (3) (4) , (5) . 同学回答并说明理由,老师依据状况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3) 可以写成 ,也是指数图象. 最终提示同学指数函数的定义是形式定义,就必需在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深化,有了定义域和初

5、步讨论的函数的性质,此时讨论的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质. 3.归纳性质 作图的用什么方法.用列表描点发觉,老师预备明确性质,再由同学回答. 函数 1.定义域 : 2.值域: 3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数 4.截距:在 轴上没有,在 轴上为1. 对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特别点.,先看一看,再下定论.对最终一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于 轴上方,且与 轴不相交.) 在此基础上,老师可指导同学列表,描点了.取点时还要提示同学由于不具备对称性,故 的值应有正有负,且由于单

6、调性不清,所取点的个数不能太少. 此处老师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而同学自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,肯定提示同学图象的变化趋势(当 越小,图象越靠近 轴, 越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线. 二.图象与性质(板书) 1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图: 当画完第一个图象之后,可问同学是否需要再画其次个?它是否具有代表性?(老师可提示底数的条件是 且 ,取值可分为两段)让同学明白需再画其次个,不妨取 为例. 此时画它的图象的方法应让同学来选择,应让同学意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简洁.即 = 与 图象之间关于 轴对称,而此时 的

7、图象已经有了,具备了变换的条件.让同学自己做对称,老师借助计算机画图,在同一坐标系下得到 的图象. 最终问同学是否需要再画.(可能有两种可能性,若同学认为无需再画,则追问其缘由并要求其说出性质,若认为还需画,则老师可利用计算机再画出如 的图象一起比较,再找共性) 由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.老师可列一个表,如下: 以上内容同学说不齐的,老师可适当提出观看角度让同学去描述,然后再让同学将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满. 填好后,让同学仿照此例再列一个 的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质,老师可提出从另一个角度来分类,整理函数的

8、性质. 3.性质. (1)无论 为何值,指数函数 都有定义域为 ,值域为 ,都过点 . (2) 时, 在定义域内为增函数, 时, 为减函数. (3) 时, , 时, . 总结之后,特殊提示同学记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质. 三.简洁应用 (板书) 1.利用指数函数单调性比大小. (板书) 一类函数讨论完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简洁的问题.首先我们来看下面的问题. 例1. 比较下列各组数的大小 (1) 与 ; (2) 与 ; (3) 与1 .(板书) 首先让同学观看两个数的特点,有什么相同?由同学指出它们底数相同,指数不同.再追问依据这个特点,用什么方法

9、来比较它们的大小呢?让同学联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程. 解: 在 上是增函数,且 .(板书) 老师最终再强调过程必需写清三句话: (1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性. (2) 自变量的大小比较. (3) 函数值的大小比较. 后两个题的过程略.要求同学仿照第(1)题叙述过程. 例2.比较下列各组数的大小 (1) 与 ; (2) 与 ; (3) 与 .(板书) 先让同学观看例2中各组数与例1中的区分,再思索解决的方法.引导同学发觉对(1)来说 可以写成 ,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说 可以写成 ,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由同学思索解决.(老师可提示同学指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用) 最终由同学说出 1, 1, . 解决后由老师小结比较大小的方法 (1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的) (2) 搭桥比较法: 用特别的数1或0. 三.巩固练习 练习:比较下列各组数的大小(板书) (1) 与 (2) 与 ; (3) 与 ; (4) 与 .解答过程略 四.小结 1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简洁应用 五 .板书设计