黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题含答案.pdf

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1、哈师大附中哈师大附中 2021 级高二学年下学期级高二学年下学期 4 月月考月月考数学科试题数学科试题一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的.1曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ax+y0Bxy0Cx+y10Dxy102函数的单调递增区间为（）A（1，1）B（0，1）C1，+）D（0，+）3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S46，S818，则 S12（）A30B36C42D544函数 f（x）x ex的最小值是（）A1B

2、eCD不存在5抛物线 y22px（p0）的准线经过椭圆1 的右焦点，则 p（）A2B4C8D126已知定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且 3f（x）+f（x）0，f（ln2）1，则不等式 f（x）e3x8 的解集为（）A（，2）B（，ln2）C（ln2，+）D（2，+）7已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 8，P 是双曲线右支上的一点，直线 F2P 与 y 轴交于点 A，APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|PQ|2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D38若不等式对任意 x2e+1，+）恒成立，则正实数 t 的取值范围是（）ABCD二二、多选题多选题

3、：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.（多选）9已知 Sn是数列an的前 n 项和，an+13an+2an10（n2，nN*），a11，a24，则（）AS583B数列an+1an是等比数列Can32n13DSn32n2n3（多选）10设椭圆 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的动点，则下列结论正确的是（）A离心率 eB|PF1|PF2|的最小值为 4CPF1F

4、2面积的最大值为D以线段 F1F2为直径的圆与直线 x+y0 相切（多选）11已知函数，则下列结论正确的是（）A函数 f（x）只有两个极值点B方程 f（x）k 有且只有两个实根，则 k 的取值范围为ek0C方程 f（f（x）1 共有 4 个根D若 xt，+），则 t 的最大值为 2（多选）12函数 f（x）xexexx 的大于 0 的零点为 a，函数 g（x）xlnxlnxx 的大于 1 的零点为 b，下列判断正确的是（提示：ln31.1）（）AbeaBlnbeaCD2b3三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13在等比数列an中，若

5、 a11，则 a514已知 f（x）x2+2f（1）x，则 f（1）15已知函数 f（x）3lnx+ax2ax2，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是16牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设 r 是函数 yf（x）的一个零点，任意选取 x0作为 r 的初始近似值，过点（x0，f（x0）作曲线 yf（x）的切线 l1，设 l1与 x 轴交点的横坐标为 x1，并称 x1为 r 的 1 次近似值；过点（x1，f（x1）作曲线 yf（x）的切线 l2，设l2与 x 轴交点的横坐标为 x2，称 x

6、2为 r 的 2 次近似值一般的，过点（xn，f（xn）（nN）作曲线 yf（x）的切线 ln+1，记 ln+1与 x 轴交点的横坐标为 xn+1，并称 xn+1为 r 的 n+1 次近似值设 f（x）x3+x1（x0）的零点为 r，取 x00，则 r 的 2 次近似值为；设，nN*，数列an的前 n 项积为 Tn若任意 nN*，Tn恒成立，则整数的最小值为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知等差数列na中，1243+10,2aaaa.(1)求数列na的通项na

7、；(2)设3nnnba，求数列 nb的前n项和nT18.（12 分）已知抛物线24Cyx：的焦点为F，斜率为12的直线l与C交于,A B两点，与x轴交点为P。（1）若20AFBF，求l的方程；（2）若3APPB ，求AB19.（12 分）已知函数()1xf xeax其中a为实数.（1）若=1a，求函数()f x的最小值；（2）若方程()0f x 在0,2（上有实数解，求a的取值范围.20.（12 分）斜率为 1 的直线过椭圆)0(1:2222babyaxC的右焦点F，交椭圆C于BA,两点，OBOA与)1,2(a共线.（1）求椭圆C的离心率；（2）若E(异于,A B)为椭圆C上一点，且OEOAO

8、B ，求的值。21.（12 分）在数列na中，112311=123,()2nnnaaaanaanN，.(1)求数列na的通项na；(2)若存在nN,使得1nan（）成立，求实数的范围.22.（12 分）已知a是常数，函数()(ln)f xxxax有两个极值点1212,().x x xx（1）求a的取值范围；（2）求证：121()()2f xf x哈师大附中哈师大附中 2021 级高二学年下学期级高二学年下学期 4 月月考月月考数学科试题数学科试题一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

9、合题目只有一项是符合题目要求的要求的.1曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ax+y0Bxy0Cx+y10Dxy10【解答】解：由 f（x），得 f（x），f（1）1，又 f（1）0，曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y1（x1），即 xy10故选：D2函数的单调递增区间为（）A（1，1）B（0，1）C1，+）D（0，+）【解答】解：函数 yx2lnx+2，x0，所以 yx，令 y0，得 x1，所以在（0，1）上 y0，函数 yx2lnx+2 单调递减，在（1，+）上 y0，函数 yx2lnx+2 单调递增，故选：C3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4

10、6，S818，则 S12（）A30B36C42D54【解答】解：等差数列an中，S46，S818，所以，解得 a1，d，则 S1212+6636故选：B4函数 f（x）x ex的最小值是（）A1BeCD不存在【解答】解：f（x）ex+xex（x+1）ex，令 f（x）0 得 x1，所以在（，1）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（1，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以 f（x）的最小值为 f（1），故选：C5抛物线 y22px（p0）的准线经过椭圆1 的右焦点，则 p（）A2B4C8D12【解答】解：椭圆1 的右焦点（2，0），抛物线 y22px（p0）的准线经过椭圆1 的右焦点，可

11、得，解得 p4故选：B6已知定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且 3f（x）+f（x）0，f（ln2）1，则不等式 f（x）e3x8 的解集为（）A（，2）B（，ln2）C（ln2，+）D（2，+）【解答】解：令 g（x）f（x）e3x，xR，3f（x）+f（x）0，g（x）f（x）e3x+3f（x）e3xe3x（3f（x）+f（x）0，g（x）f（x）e3x在 R 上单调递减，又 f（ln2）1，g（ln2）f（ln2）e3ln28，不等式 f（x）e3x8 可化为 g（x）g（ln2），xln2，故选：B7已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 8，P 是双曲线

12、右支上的一点，直线 F2P与 y 轴交于点 A，APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|PQ|2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D3【解答】解：如图所示：内切圆与 AF1，AF2交于 R，S 点，|PF1|PF2|+2a2+|QF1|2+|RF1|2+|AF1|AR|2+|AF2|AS|2+|SF2|2+2+|PF2|，故a2，又 c4，故选：C8若不等式对任意 x2e+1，+）恒成立，则正实数 t 的取值范围是（）ABCD【解答】解：因为恒成立，即 txetx（x1）ln（x1）eln（x1）ln（x1）恒成立，令 f（x）xex（x0），则 f（tx）f（ln（x1）恒成立，因为

13、 f（x）（x+1）ex0 恒成立，故 f（x）单调递增，所以 txln（x1）在 x2e+1 时恒成立，恒成立，令，令 h（x）x（x1）ln（x1）（x2e+1），则 h（x）ln（x1）0，h（x）单调递减，h（x）h（2e+1）2e+1（2e+11）ln（2e+11）12eln21eln40，即 g（x）0，g（x）单调递减，故，则正实数 t 的取值范围是故选：B二二、多选题多选题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的

14、得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.（多选）9已知 Sn是数列an的前 n 项和，an+13an+2an10（n2，nN*），a11，a24，则（）AS583B数列an+1an是等比数列Can32n13DSn32n2n3【解答】解：对于 A，a11，a24，a33a22a110，a43a32a222，a53a42a346，S51+4+10+22+4683，A正确；对于 B，由得：an+1an2（anan1），又 a2a13，数列an+1an是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，B 正确；对于 C，由 B 知：，当 n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+

15、（a2a1）+a1，又 a11 满足，C 错误；对于 D，D 正确故选：ABD（多选）10设椭圆 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的动点，则下列结论正确的是（）A离心率 eB|PF1|PF2|的最小值为 4CPF1F2面积的最大值为D以线段 F1F2为直径的圆与直线 x+y0 相切【解答】解：由椭圆 C：1，得 a2，b，c1离心率 e，故 A 错误；|PF1|+|PF2|2a4，则|PF1|PF2|，当且仅当|PF1|PF2|2 时取等号，即|PF1|PF2|的最大值为 4，当 P 为椭圆长轴一个端点时，|PF1|PF2|34，故 B 错误；当 P 为短轴的一个端点时，

16、PF1F2面积的最大值为，故 C 正确；原点 O 到直线 x+y0 的距离 dc，则以线段 F1F2为直径的圆与直线x+y0 相切，故 D 正确故选：CD（多选）11已知函数，则下列结论正确的是（）A函数 f（x）只有两个极值点B方程 f（x）k 有且只有两个实根，则 k 的取值范围为ek0C方程 f（f（x）1 共有 4 个根D若 xt，+），则 t 的最大值为 2【解答】解：对于 A，对 f（x）求导得：，当 x1 或 x2 时，f（x）0，当1x2 时，f（x）0，即函数 f（x）在（，1），（2，+）上单调递减，在（1，2）上单调递增，因此，函数 f（x）在 x1 处取得极小值 f（1

17、）e，在 x2 处取得极大值，故 A 正确；对于 B，由选项 A 知，作出曲线 yf（x）及直线 yk，如图，要使方程 f（x）k 有且只有两个实根，观察图象得当ek0 时，直线 yk 与曲线 yf（x）有 2 个交点，所以方程 f（x）k 有且只有两个实根，则 k 的取值范围为ek0，故 B 错误；对于 C，由 f（x）0 得：x2+x10，解得，令 f（x）t，则 f（t）1，结合图象方程 f（t）1 有两解，t20，所以 f（x）t1或 f（x）t2，因为，所以，所以方程 f（x）t1有两解；又因为 t20，结合图象可知：f（x）t2也有两解，综上：方程 f（f（x）1 共有 4 个根，

18、故 C 正确；对于 D，因为，而函数 f（x）在（2，+）上单调递减，因此当 xt，+）时，当且仅当，所以 t 的最大值为 2，故 D 正确故选：ACD（多选）12函数 f（x）xexexx 的大于 0 的零点为 a，函数 g（x）xlnxlnxx 的大于 1 的零点为 b，下列判断正确的是（提示：ln31.1）（）AbeaBlnbeaCD2b3【解答】解：函数 f（x）xexexx 的大于 0 的零点为 a，函数 g（x）xlnxlnxx的大于 1 的零点为 b，即 aeaeaablnblnbb，对于 A：将 bea代入右边aeaeaa左边，等式成立，故 A 正确；对于 B：由选项 A 得

19、bea，lnblneaa，故 B 错误；对于 C：由选项 A 得 bea，即 alnb，则+，又 blnblnbb0，即 blnblnb+b，故 C 正确；对于 D：g（1）10，g（3）ln30，由零点存在性定理得存在 x0（1，3），使得 g（x0）0，当 1xx0时，g（x）0，当 x0 x3 时，g（x）0，g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，3）上单调递增，又 g（1）10，g（3）3ln3ln332ln330.80g（x）在（1，3）上没有零点，故 D 错误，故选：AC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13在等

20、比数列an中，若 a11，则 a516【解答】解：在等比数列an中，a11，（q3）22q5，解得 q2，a5q42416故答案为：1614已知 f（x）x2+2f（1）x，则 f（1）2【解答】解：f（x）x2+2f（1）x，f（x）2x+2f（1），f（1）2+2f（1），f（1）2，故答案为：215已知函数 f（x）3lnx+ax2ax2，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是，）【解答】解：由题意可知，不等式 3lnx+ax2ax20 有且仅有一个整数解，x0，等价于有且仅有一个整数解，即，令，当 x（0，e）时，g（x）0，x（e，+）时，g（x）0，在

21、 xe 处取得极大值，直线：过定点，作下图，2 是唯一的整数解，即，解得：，即实数 a 的取值范围是，）故答案为：，）16牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设 r 是函数 yf（x）的一个零点，任意选取 x0作为 r 的初始近似值，过点（x0，f（x0）作曲线 yf（x）的切线 l1，设 l1与 x 轴交点的横坐标为 x1，并称 x1为 r 的 1 次近似值；过点（x1，f（x1）作曲线 yf（x）的切线 l2，设l2与 x 轴交点的横坐标为 x2，称 x2为 r 的 2 次近似值一般的，过点（xn，f（xn）（nN）

22、作曲线 yf（x）的切线 ln+1，记 ln+1与 x 轴交点的横坐标为 xn+1，并称 xn+1为 r 的 n+1 次近似值设 f（x）x3+x1（x0）的零点为 r，取 x00，则 r 的 2 次近似值为；设，nN*，数列an的前 n 项积为 Tn若任意 nN*，Tn恒成立，则整数的最小值为2【解答】解：f（x）3x2+1，设切点为（xn，+xn1），则切线斜率 k3xn2+1，所以切线方程为 y（3xn2+1）（xxn）+xn1，令 y0，可得 xn+1+xn，因为 x00，所以 x11，x2，即 r 的 2 次近似值为，因为 xn+1，所以an，所以 Tna1a2an，因为函数 f（x

23、）x3+x1（x0）为增函数，f（）0，f（1）10，由零点存在定理可得 r（，1），所以（1，2），因为任意 nN*，Tn恒成立，所以2，即的最小整数为 2故答案为：；2四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知等差数列na中，1243+10,2aaaa.(3)求数列na的通项na；(4)设3nnnba，求数列 nb的前n项和nT18.（12 分）已知抛物线24Cyx：的焦点为F，斜率为12的直线l与C交于,A B两点，与x轴交点为P。（1）若20AFBF，求l的方

24、程；（2）若3APPB ，求AB19.（12 分）已知函数()1xf xeax其中a为实数.（1）若=1a，求函数()f x的最小值；（2）若方程()0f x 在0,2（上有实数解，求a的取值范围.20.（12 分）斜率为 1 的直线过椭圆)0(1:2222babyaxC的右焦点F，交椭圆C于BA,两点，OBOA与)1,2(a共线.（3）求椭圆C的离心率；（4）若E(异于,A B)为椭圆C上一点，且OEOAOB ，求的值。21.（12 分）在数列na中，112311=123,()2nnnaaaanaanN，.(3)求数列na的通项na；(4)若存在nN,使得1nan（）成立，求实数的范围.22.（12 分）已知a是常数，函数()(ln)f xxxax有两个极值点1212,().x x xx（3）求a的取值范围；（4）求证：121()()2f xf x