2023届北京市西城区高三一模数学试题含答案.pdf

《2023届北京市西城区高三一模数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届北京市西城区高三一模数学试题含答案.pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1页/共 6页西城区高三统一测试试卷数学西城区高三统一测试试卷数学 2023.3本试卷共本试卷共 6 页，页，150 分分.考试时长考试时长120分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共分）一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,0,1,2,3A，2|

2、30Bx xx，则AB（）A.1B.1,2 C.1,2,3D.1,0,1,2 2.下列函数中，在区间0,上为增函数的是（）A.yx B.22yxxC.sinyxD.1yxx3.设lg2a，cos2b，0.22c，则（）A.bcaB.cbaC.bacD.abc4.在52()xx的展开式中，x的系数为（）A.40B.10C.40D.105.已知P为ABC所在平面内一点，2BCCPuuu ruur，则（）A.1322APABAC uuu ruuu ruuu rB.1233APABAC C.3122APABACuuu ruuu ruuu rD.2133APABACuuu ruuu ruuu r6.函数

3、()sin2tanf xxx是（）A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为27.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为3yx”的（）第 2页/共 6页A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km/s)v和燃料的质量(kg)M以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N间的关系为2ln(1)MvN 若火箭的最大速度为12 km/s，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：e2.71828）A.200B.400C.600

4、D.8009.设cR，函数,0,()22,0.xxcxf xc x若()f x恰有一个零点，则c的取值范围是（）A.(0,1)B.0 1,)UC.1(0,)2D.1 0,)2U10.n名学生参加某次测试，测试由m道题组成若一道题至少有23n名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了23m道题，则该生本次测试成绩合格如果这次测试至少有23n名学生成绩合格，且测试中至少有23m道题为难题，那么mn的最小值为（）A.6B.9C.18D.27第二部分（非选择题 共第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共分）二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.复

5、数21izi，则z _.12.已知抛物线22(0)ypx p的顶点为O，且过点,A B若OAB是边长为4 3的等边三角形，则p _13.已知数列na的通项公式为12nna，nb的通项公式为12nbn 记数列nnab的前n项和为nS，则4S _；nS的最小值为_14.设(cos,sin),(2cos,2sin)AB，其中,R 当,2时，AB _；当3AB 时，的一个取值为_15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，点M，N分别在线段1AD和11BC上第 3页/共 6页给出下列四个结论：MN的最小值为2；四面体NMBC的体积为43；有且仅有一条直线MN与1AD垂直；存在点M，N，

6、使MBN为等边三角形其中所有正确结论的序号是_三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC中，23A，2AC，CD平分ACB交AB于点D，3CD（1）求ADC的值；（2）求BCD的面积17.根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245259180193及格205244150179不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（

7、精确到1cm）：男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220第 4页/共 6页假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望E X；（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B判断A与B是否相互独立（结论不

8、要求证明）18.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，/ABCD，ABAD，1AB，2PAADCDE为棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题（1）求证：F为PD的中点；（2）求二面角BFCP的余弦值条件：/BEAF；条件：BEPC注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分19.已知函数()ecosxf xx（1）求曲线()yf x在点(,()00f处的切线方程；（2）设()()()g xx fxf x，证明：()g x在(0,)上单调递增；（3）判断133f与144f的大小关系，并加以证明20.已知椭圆22:22C

9、xy，点,A B在椭圆C上，且OAOB（O为原点）设AB的中点为M，射线OM交椭圆C于点N（1）当直线AB与x轴垂直时，求直线AB的方程；（2）求|ONOM的取值范围第 5页/共 6页21.给定正整数2n，设集合12|(,),0,1,1,2,nkMt tttknLL 对于集合M中的任意元素12(,)nx xxL和12(,)ny yyL，记1122nnx yx yx yL 设AM，且集合12|(,),1,2,iiiiinAtttinLL，对于A中任意元素,ij，若,1,ijp ijij 则称A具有性质(,)T n p（1）判断集合(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A 是否具有性质(3

10、,2)T？说明理由；（2）判断是否存在具有性质(4,)Tp的集合A，并加以证明；（3）若集合A具有性质(,)T n p，证明：12(1,2,)jjnjtttp jnLL第 1页/共 20页西城区高三统一测试试卷数学西城区高三统一测试试卷数学 2023.3本试卷共本试卷共 6 页，页，150 分分.考试时长考试时长120分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共分）一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小

11、题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,0,1,2,3A，2|30Bx xx，则AB（）A.1B.1,2 C.1,2,3D.1,0,1,2【答案】B【解析】【分析】首先对集合2|30Bx xx化简，再由交集得定义即可求得AB.【详解】2|30|03Bx xxxx，由1,0,1,2,3A 得1,2AB 故选：B2.下列函数中，在区间0,上为增函数的是（）A.yx B.22yxxC.sinyxD.1yxx【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间0,上的单调

12、性，可得出合适的选项.【详解】对于 A 选项，当0 x 时，yxx ，则yx 在0,上单调递减；对于 B 选项，函数22yxx在区间0,上不单调；对于 C 选项，函数sinyx在0,上不单调；对于 D 选项，因为函数yx、1yx 在0,上均为增函数，所以，函数1yxx在0,上为增函数.第 2页/共 20页故选：D.3.设lg2a，cos2b，0.22c，则（）A.bcaB.cbaC.bacD.abc【答案】C【解析】【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定,a b c的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数lgyx在定义域内为单调递增可知0lg1lg2lg101，即0,1a

13、；由三角函数cosyx单调性可知cos2cos02b；利用指数函数2xy 为单调递增可得0.20221c；所以bac.故选：C4.在52()xx的展开式中，x的系数为（）A.40B.10C.40D.10【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52()xx的通项1kT，则5115C2kkkkTxx，化简得5 215C2kkkkTx，令2k，则x的系数为225C240，即 A 正确.故选：A5.已知P为ABC所在平面内一点，2BCCPuuu ruur，则（）A.1322APABAC uuu ruuu ruuu rB.1233APABAC C.3122APABACuuu ruuu

14、ruuu rD.2133APABACuuu ruuu ruuu r【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.第 3页/共 20页【详解】由题意作出图形,如图,则11()22APACCPACBCACACAB 1322ABAC ，故选：A.6.函数()sin2tanf xxx是（）A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2C.偶函数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为2【答案】C【解析】【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得2()2sin1cos2f xxx，由三角函数值域即可得()0,2f x，即可得出结果.【详解】

15、由题可知，()sin2tanf xxx的定义域为|,Z2x xkk，关于原点对称，且2sin()sin2tan2sin cos2sincosxf xxxxxxx，而22()2sin2sin()fxxxf x，即函数()f x为偶函数；所以2()2sin1coZ,2s2fkxxkx，又cos21,1x，即()1cos20,2f xx，可得函数()f x最小值为 0，无最大值.故选：C7.已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为3yx”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D第 4页/共 20页【解析

16、】【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.【详解】若双曲线C的离心率为2，则2222214cbeaa，所以223ba，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为3byxxa ；若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为33ayxxb ；所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为3yx”的充分条件；反之，双曲线C的一条渐近线为3yx，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为3byxxa ，所以3ba，离心率2212bea；若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为3ayxxb ，所以33ba，离心率222 313bea；所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为3yx”的必要

17、条件；综上：“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为3yx”的既不充分也不必要条件，故选：D.8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km/s)v和燃料的质量(kg)M以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N间的关系为2ln(1)MvN 若火箭的最大速度为12 km/s，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：e2.71828）A.200B.400C.600D.800【答案】B【解析】【分析】根据所给关系式，求出6e1MN，近似计算得解.【详解】由题意，火箭的最大速度为12 km/s时，可得122ln(1)MN，第 5页/共 20页即6e1MN，因为e2.71828，所以近似计算可得6e1

18、402MN，故选：B9.设cR，函数,0,()22,0.xxcxf xc x若()f x恰有一个零点，则c的取值范围是（）A.(0,1)B.0 1,)UC.1(0,)2D.1 0,)2U【答案】D【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将,02,0 xxxg xx图象平移对参数c进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数,02,0 xxxg xx的图象如下图所示：函数,0,()22,0.xxcxf xc x可由,0,()2,0.xxxg xx分段平移得到，易知当0c=时，函数()f x恰有一个零点，满足题意；当0c 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c 时，图象

19、往下平移，当021c时，函数有两个零点；当21c 时，()f x恰有一个零点，满足题意，即12c；综上可得c的取值范围是10,)2.故选：D10.n名学生参加某次测试，测试由m道题组成若一道题至少有23n名学生未解出来，则称此题为难题；第 6页/共 20页学科网（北京）股份有限公司若一名学生至少解出了23m道题，则该生本次测试成绩合格如果这次测试至少有23n名学生成绩合格，且测试中至少有23m道题为难题，那么mn的最小值为（）A.6B.9C.18D.27【答案】B【解析】【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是 3 的倍数，可从3,3nm进行讨论即可得出mn的最小值为 9.【详解】根据题意可知

20、*22N,N33nm，不妨设*12123,3,NnN mNN N，所以129mnN N，若求mn的最小值，只需12N N最小即可；易知当121,1NN时，即3,3nm；此时即有 3 名学生不妨设为甲、乙、丙；3 道题目设为,A B C；根据题意可得至少有 2 名学生成绩合格，这两名学生至少做出了 4 道题，可设甲同学做出了,A B两道题，乙同学做出了,B C两道题，丙同学做出了 0 道题，此时合格的学生为甲乙，即有23n名学生成绩合格，,A B C三道题目中有,A C两道题，有23n名学生未解出来，即满足测试中有23m道题为难题；所以3,3nm符合题意.故选：B第第二二部部分分（非非选选择择题

21、题 共共110分分）二二、填填空空题题共共 5 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 25 分分.11.复数21izi，则z _.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法法则化简复数z，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】2 1211111iiiziiiiii，因此，22112z.第 7页/共 20页故答案为：2.12.已知抛物线22(0)ypx p的顶点为O，且过点,A B若OAB是边长为4 3的等边三角形，则p _【答案】1【解析】【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入6,2 3A求解.【详解】设1122,A x yB xy，则OAOB,即2222221122112

22、222xyxyxpxxpx，所以121220 xxxxp，由于12120,0,0,xxxx又20p，所以1220 xxp，因此120 xx，故,A B关于x轴对称，由4 330OA,AOx=得6,2 3A,将6,2 3A代入抛物线中得12=12p,所以1p，故答案为：113.已知数列na的通项公式为12nna，nb的通项公式为12nbn 记数列nnab的前n项和为nS，则4S _；nS的最小值为_【答案】.1.2【解析】【分析】（1）由题可得1212nnnnabcn，根据等比数列及等差数列的求和公式可得nS，利用数学归纳法可得3n 时，0nc，4n 时，0nc，进而即得.【详解】由题可知121

23、2nnnabn，所以42344 1 71 21123252711 22S ，第 8页/共 20页1212112112321221122nnnnnnnSn ，令1212nncn，则123450,1,1,1,7ccccc ，当4n 时，0nc，即1221nn，下面用数学归纳法证明当4n 时，1221nn成立，假设nk时，1221kk成立，当1nk时，122 22 2121123211kkkkkk，即1nk时也成立，所以4n 时，0nc，即1221nn，所以3n 时，0nc，4n 时，0nc，由当3n 时，nS有最小值，最小值为33221 32S .故答案为：1；2.14.设(cos,sin),(2

24、cos,2sin)AB，其中,R 当,2时，AB _；当3AB 时，的一个取值为_【答案】.5.3（答案不唯一）【解析】【分析】将,2代入计算可得1,0,0,2AB，利用两点间距离公式可知5AB；由3AB 即可得22cos2cossin2sin3，化简整理可得1cos2，即可写出一个合适的值.【详解】根据题意可得当,2时，可得1,0,0,2AB，所以2210025AB ；当3AB 时，即22cos2cossin2sin3，整理可得5 4 coscossinsin3，即1cos2，可得2 3k，所以的一个取值为3.故答案为：5,3第 9页/共 20页15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD

25、ABC D中，点M，N分别在线段1AD和11BC上给出下列四个结论：MN的最小值为2；四面体NMBC的体积为43；有且仅有一条直线MN与1AD垂直；存在点M，N，使MBN为等边三角形其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】对于，利用直线之间的距离即可求解；对于，以M为顶点，NBC为底面即可求解；对于，利用直线的垂直关系即可判断；对于，利用空间坐标即可求解.【详解】对于，由于M在1AD上运动，N在11BC上运动，所以MN的最小值就是两条直线之间距离11DC，而112DC，所以MN的最小值为2；对于，111233MBNCBNCBNCVSDCS，而12 222BNCS，所以四面体NMBC的

26、体积为43；对于，由题意可知，当M与1D重合，N与1C重合时，111DCAD，又根据正方体性质可知，111ADABCD，所以当M为1AD中点，N与1B重合时，此时1MNAD，故与1AD垂直的MN不唯一，错误；对于，当MBN为等边三角形时，BMBN，则此时1AMB N.所以只需要BM与BN的夹角能等于3即可.以D为原点，DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图，第 10页/共 20页设1AMB Nn，则由题意可得2,0,22nnM，2,2,0B，2,2,2Nn，则可得,2,22nnBM ，,0,2BNn，则22212cos24nnBM BNMBNnBMBN ，整理可得2

27、2122 202nn，该方程看成关于n的二次函数，24412 28 2402 ，所以存在n使得MBN为等边三角形.故答案为：三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC中，23A，2AC，CD平分ACB交AB于点D，3CD（1）求ADC的值；（2）求BCD的面积【答案】（1）4（2）3(31)4【解析】【分析】（1）在ADC中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出23412ACDBCD，再根据CD平分ACB可得ABC为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问 1 详

28、解】第 11页/共 20页在ADC中，由正弦定理得sinsinACCDADCA，所以22sinsin23sin23ACAADCCD，因为03ADC，所以4ADC；【小问 2 详解】由（1）得23412ACDBCD，由题设，6BACB，即ABC为等腰三角形，所以2cos66BCAC，321262sin3422224，所以BCD的面积113(31)sin63sin22124BCDSBC CDBCDV17.根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245259180193及格205244150179不及

29、格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项第 12页/共 20页等级为优秀的人数，估计X的数学期望E X；（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀

30、，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B判断A与B是否相互独立（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）76（3）A与B相互独立【解析】【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，计算频率得到优秀率的估计值；（2）由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估计值；（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.【小问 1 详解】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为611

31、22【小问 2 详解】由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3(0)P X 估计为2212()329；(1)P X 估计为122121214C()332329；(2)P X 估计为122121115C()3323218；(3)P X 估计为2111()3218估计X的数学期望2451701239918186E X 【小问 3 详解】()P A估计为22123311113CC22224；()P B估计为2310331111CC2222；()P AB估计为213113C228，第 13页/共 20页()()()P ABP A P B，所以A与B相互独立18.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面A

32、BCD，/ABCD，ABAD，1AB，2PAADCDE为棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题（1）求证：F为PD的中点；（2）求二面角BFCP的余弦值条件：/BEAF；条件：BEPC注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）若选条件，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形ABEF为平行四边形，又12ABCD即可得EF为PCD的中位线即可得出证明；若选条件，利用勾股定理可得E为PC的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得CDEF，即可得出证明；（2）建立以A为

33、坐标原点的空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量为(2,1,3)m，易知AF 是平面PCD的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果.【小问 1 详解】选条件：BEAF因为/ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以/AB平面PCD因为平面ABEF 平面PCDEF，所以ABEF第 14页/共 20页又/BEAF，所以四边形ABEF为平行四边形所以ABEF且ABEF因为/ABCD且12ABCD，所以/EFCD且12EFCD所以EF为PCD的中位线所以F为PD的中点选条件：BEPC因为PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，所以,PAAB PAAD在Rt PAB中

34、，225PBABAP在直角梯形ABCD中，由1AB，2ADCD，可求得5BC，所以PBBC因为BEPC，所以E为PC的中点因为ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以/AB平面PCD因为平面ABEF 平面PCDEF，所以ABEF所以CDEF，所以F为PD的中点；【小问 2 详解】由题可知因为PA 平面ABCD，所以,PAAB PAAD又ABAD，所以,AB AD AP两两相互垂直如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,0,2)P，(0,2,0)D，(0,1,1)F所以(1,2,0)BC ，(,)111BF uuu r，(0,1,1

35、)AF 第 15页/共 20页设平面BCF的法向量为(,)mx y z，则00m BCm BF ，即20,0.xyxyz 令1y ，则2x，3z 于是(2,1,3)m 因为AB平面PAD，且/AB CD，所以CD 平面PAD，又AF 平面PAD，所以AFCD又PAAD，且F为PD的中点，所以AFPD,CDPDD CD PD平面PCD，所以AF 平面PCD，所以AF 是平面PCD的一个法向量7cos,7m AFm AFm AF 由题设，二面角BFCP的平面角为锐角，所以二面角BFCP的余弦值为7719.已知函数()ecosxf xx（1）求曲线()yf x在点(,()00f处的切线方程；（2）设

36、()()()g xx fxf x，证明：()g x在(0,)上单调递增；（3）判断133f与144f的大小关系，并加以证明【答案】（1）yx（2）证明见解析（3）113434ff，证明见解析【解析】【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，（2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，（3）构造函数()(),(0,)f xh xxx，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解.【小问 1 详解】()esinxfxx,所以(0)0f，(0)1f所以曲线()yf x在点(,()00f处的切线方程为yx【小问 2 详解】由题设，()(esin)(ecos)xxg xxxx(1)esin

37、cosxxxxx第 16页/共 20页所以()(ecos)xg xxx当0 x 时，因为0ecosecos1cos0 xxxx，所以()0g x所以()g x在(0,)上单调递增【小问 3 详解】113434ff证明如下：设()(),(0,)f xh xxx则22()()()()x fxf xg xh xxx由（2）知()g x在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg所以()0h x，即()h x在(0,)上单调递增所以1134hh，即113434ff20.已知椭圆22:22C xy，点,A B在椭圆C上，且OAOB（O为原点）设AB的中点为M，射线OM交椭圆C于点N（1）当直线AB与x

38、轴垂直时，求直线AB的方程；（2）求|ONOM的取值范围【答案】（1）63x （2）6,32【解析】【分析】（1）根据题意可知点,A B关于x轴对称且OAOB，利用勾股定理可得直线AB的方程为63x ；（2）当直线AB的斜率不存在时，|3|ONOM，直线AB的斜率存在时，联立直线ykxm和椭圆方程再根据OAOB可得22322mk，即223m，再由ONOMuuu ruuur求出点222(,)21 21kmmNkk，代入椭圆方程即可得2213m，即可求得|ONOM的取值范围为6,32第 17页/共 20页【小问 1 详解】当直线AB与x轴垂直时，设其方程为(22)xtt 由点,A B关于x轴对称，

39、且OAOB，由勾股定理可知不妨设(,)A t t，将点A的坐标代入椭圆C的方程，得2222tt，解得63t 所以直线AB的方程为63x 【小问 2 详解】当直线AB的斜率不存在时，由（）知|23|63ONOM当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxm由22,22,ykxmxy得222(21)4220kxkmxm由228(21)0km，得2212mk 设11(,)A x y，22(,)B xy，则122421kmxxk，21222221mx xk因为OAOB，所以0OA OB 所以12121212()()0 x xy yx xkxmkxm整理得221212(1)()0kx xkm xxm所以22

40、22(1)(22)(4)(21)0kmkmkmmk解得22322mk，从而223m 设ONOMuuu ruuur，其中0则1212222()(,)(,)2221 21kmmONOAOBxxyykkuuu ruuruuu r将222(,)21 21kmmNkk代入椭圆C的方程，得22221mk所以22231mm，即2213m因为223m，所以2332，即632第 18页/共 20页综上|ONOM的取值范围是6,3221.给定正整数2n，设集合12|(,),0,1,1,2,nkMt tttknLL 对于集合M中的任意元素12(,)nx xxL和12(,)ny yyL，记1122nnx yx yx

41、yL 设AM，且集合12|(,),1,2,iiiiinAtttinLL，对于A中任意元素,ij，若,1,ijp ijij 则称A具有性质(,)T n p（1）判断集合(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A 是否具有性质(3,2)T？说明理由；（2）判断是否存在具有性质(4,)Tp的集合A，并加以证明；（3）若集合A具有性质(,)T n p，证明：12(1,2,)jjnjtttp jnLL【答案】（1）具有，理由见解析（2）不存在，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合具有性质(,)T n p的特征，即可根据集合A中的元素进行检验求解，（2）假设集合A具有性质(4,)

42、Tp，分别考虑1,2,3,4p 时，集合A中的元素，即可根据(,)T n p的定义求解.（3）根据假设存在j使得1jcp，考虑当1cn时以及11pcn时，分量为 1 的个数即可讨论求解.【小问 1 详解】因为(1,1,0)(1,1,0)1 1 1 1002 ，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2又(1,1,0)(1,0,1)1 1 1 00 11 ，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1所以集合(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A 具有性质(3,2)T【小问 2 详解】当4n 时，集合A中的元素个数为4由题设0,1,2,3,4p假设

43、集合A具有性质(4,)Tp，则当0p 时，(0,0,0,0)A，矛盾当1p 时，(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)A，不具有性质(4,1)T，矛盾当2p 时，(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)A 第 19页/共 20页因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A中；(1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4，矛盾当3p 时，(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1

44、,0,1,1),(0,1,1,1)A，不具有性质()4,3T，矛盾当4p 时，(1,1,1,1)A，矛盾综上，不存在具有性质(4,)Tp的集合A【小问 3 详解】记12(1,2,)jjjnjctttjnLL，则12ncccnpL若0p，则(0,0,0)A L，矛盾若1p，则(1,0,0,0)A L，矛盾故2p 假设存在j使得1jcp，不妨设1j，即11cp 当1cn时，有jc=0或1jc(2,3,)jnL成立所以12,n L中分量为1的个数至多有(1)212nnnnnp 当11pcn时，不妨设11211,111,0pnttttL因为nnp，所以n的各分量有p个1，不妨设23,11nnn ptt

45、tL由ij时，1ij可知，2,3,1qp L，121,qqpqtttL中至多有1个1，即121,p L的前1p个分量中，至多含有121ppp 个1又1in(1,2,1)ipL，则121,p L的前1p个分量中，含有(1)(1)22ppp个1，矛盾所以(1,2,)jcpjnL因为12ncccnpL，所以jcp(1,2,)jnL所以12(1,2,)jjnjtttp jnLL【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.