【考前叮咛】备战2023高考数学考前必备1（知识再现）.pdf

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1、1备战备战 2023 高考数学考前必备高考数学考前必备 1知识再现知识再现1集合(1)集合间的关系与运算ABABA；ABBBA.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n1,2n1,2n2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解2全称量词命题、存在量词命题及其否定(1)全称量词命题：xM，p(x)，它的否定为存在量词命题：xM，p(x)(2)存在量词命题：xM，p(x)，其否定为全称量词命题：xM，p(

2、x)(3)命题与其否定真假相反3充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若 pq，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，命题 p：xA，命题 q：xB，若 AB，则 p 是 q 的充分条件(q 是 p 的必要条件)；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件)；若 AB，则 p 是 q的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题4一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化

3、为正数)；二判(判断对应方程的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式，它决定根的情形，一般分0，0，0(a0)恒成立的条件是00a 2(2)ax2bxc0(0(0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立基本不等式的变形：a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成立；2()2abab(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成立(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件1复数的

4、相关概念及运算法则(1)复数 zabi(a，bR)的分类z 是实数b0；z 是虚数b0；z 是纯虚数a0 且 b0.(2)共轭复数复数 zabi(a，bR)的共轭复数zabi.(3)复数的模复数 zabi(a，bR)的模|z|a2b2.(4)复数相等的充要条件abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)特别地，abi0a0 且 b0(a，bR)(5)复数的运算法则加减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；3除法：(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(其中 a，b，c，dR)2复数的几个常见结论(1)(1

5、i)22i.(2)11iii，11iii.(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底4向量 a 与 b 的夹角已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OAa，OBb，则AOB(0)叫做向量 a 与 b的夹角当0 时，a 与 b 同向；当时，a 与 b 反向如果 a 与 b 的夹角是2，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab

6、.5平面向量的数量积(1)若 a，b 为非零向量，夹角为，则 ab|a|b|cos.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.6两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.7利用数量积求长度(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.8利用数量积求夹角设 a，b 为非零向量，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1

7、y2x21y21x22y22.9三角形“四心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则：(1)O 为ABC 的外心|OA|OB|OC|a2sin A.(2)O 为ABC 的重心OAOBOC0.4(3)O 为ABC 的垂心OAOBOBOCOCOA.(4)O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0.1终边相同角的表示所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和2几种特殊位置的角的集合(1)终边在 x 轴非负半轴上的角的集合：|k360，kZ(2)终边在 x 轴非

8、正半轴上的角的集合：|180k360，kZ(3)终边在 x 轴上的角的集合：|k180，kZ(4)终边在 y 轴上的角的集合：|90k180，kZ(5)终边在坐标轴上的角的集合：|k90，kZ31 弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示4角度制与弧度制的换算(1)1180rad.(2)1 rad0180().5扇形的弧长和面积在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 rad，那么|lr.相关公式：(1)l|r.(2)S12lr12|r2.6任意角的三角函数的定义(1)设是一个任意角，R，它的终边 OP 与单位圆交于点 P(x，y)，那么：把

9、点 P 的纵坐标 y 叫做的正弦函数，记作 sin，即 ysin.把点 P 的横坐标 x 叫做的余弦函数，记作 cos，即 xcos.把点 P 的纵坐标与横坐标的比值yx叫做的正切，记作 tan，即yxtan(x0)(2)设是一个任意角，点 P(x，y)为终边上任一点，|OP|x2y2，则 sin y|OP|，cos x|OP|，tan yx.57同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21sin 1cos2.(2)商的关系：sin cos tan()2kkZ.8三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos co

10、s cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限9.三种三角函数的图象和性质正弦函数 ysin x余弦函数 ycos x正切函数 ytan x图象定义域RR()2x xkkZ值域1,1(有界性)1,1(有界性)R零点x|xk，kZx|x2k，kZx|xk，kZ最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间2,2()22kkkZ2k，2k(kZ)(,)()22kkkZ减区间32,2()22kkkZ2k，2k(kZ)对称性对称轴x2k(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(,0)()2kkZ(,0)()2kkZ10

11、.函数 yAsin(x)(0，A0)的图象6(1)“五点法”作图设 zx，令 z0，2，32，2，求出相应的 x 的值与 y 的值，描点、连线可得(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口(3)图象变换ysin x向左0或向右0倍纵坐标不变ysin(x)纵坐标变为原来的 AA0倍横坐标不变yAsin(x)11三角恒等变换(1)cos()cos cos sin sin，cos()cos cos sin sin，sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin，tan()tan tan 1tan tan，tan()tan tan

12、 1tan tan.(2)二倍角公式：sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 22tan 1tan2.(3)降幂公式：sin21cos 22，cos21cos 22.(4)辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan ba.12正弦定理及其变形asin Absin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R.abcsin Asin Bsin C.13余弦定理及其推论、变形a2b2c22bccos A，

13、b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.7推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.14面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C.1牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中 nN*)等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前 n 项和公式Snna1an2na1nn12dq1，Sna11qn1qa1anq1q；q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质

14、等差数列等比数列性质若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若 m，n，s，tN*，且 mnst，则 amanasat；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)(2)判断等差数列的常用方法定义法an1and(常数)(nN*)an是等差数列；通项公式法anpnq(p，q 为常数，nN*)an是等差数列；8中项公式法2an1anan2(nN*)an是等差数列；前 n 项和公式法SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)an是等差数列(3)判断等比数列的常用方法定义法an1anq(q 是不

15、为 0 的常数，nN*)an是等比数列；通项公式法ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列；中项公式法a2n1anan2(an0，nN*)an是等比数列3数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(3)通项公式形如 ancanb1anb2(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和裂项相消法常见形式：1nn11n1n1，1nn21211()2nn，12n12n11211()2121nn，2n2n11

16、2n112n112n11.(4)形如anbn的数列(其中an为等差数列，bn为等比数列)，利用错位相减法求和(5)通项公式形如 an(1)nn，ana(1)n或 an(1)n(2n1)(其中 a 为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论1混淆“点 A 在直线 a 上”与“直线 a 在平面内”的数学符号关系，应表示为 Aa，a.2易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易9漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.3不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定

17、理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，ml，易误得出 m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m的限制条件4注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系5几种角的范围两条异面直线所成的角：090；直线与平面所成的角：090；平面与平面夹角：090.6用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中

18、有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法3排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示(3)排列数公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)

19、(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Annn(n1)(n2)321n！.排列数公式写成阶乘的形式为 Amnn！nm！，这里规定 0！1.4组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合10(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn表示(3)组合数的计算公式：CmnAmnAmmn！m！nm！nn1n2nm1m！，由于 0！1，所以 C0n1.(4)组合数的性质：CmnCnmn；

20、Cmn1CmnCm1n.5二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b1CknankbkCnnbn(nN*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中各项的系数 Ckn(k0,1,2，n)叫做二项式系数 式中的 Cknankbk叫做二项展开式的通项，用 Tk1表示，即展开式的第 k1 项：Tk1Cknankbk.6二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 CmnCnmn.(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大 二项式系数为 Ckn，当 kn12时，Ckn随 k 的增加而减小当 n 是偶数时，中间的一项

21、2Cnn取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项12Cnn和12Cnn相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCknCnn2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.7概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)事件 A 包含的样本点个数样本空间包含的样本点个数.(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(3)对立事件的概率计算公式P(A)1P(A)(4)条件概率公式P(B|A)PABPA.(5)概率的乘法公式11P(AB)P(A

22、)P(B|A)8统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x1n(x1x2xn)(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度方差：s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2标准差：222121()()()nsxxxxxxn9离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.(2)均值的性质E(aXb)

23、aE(X)b；若 XB(n，p)，则 E(X)np；若 X 服从两点分布，则 E(X)p.(4)方差公式D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，标准差为 DX.(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)；若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p)(6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)n 重伯努利试验的概率计算公式P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.10一元线性回归模型(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)ybxa一定过点(x，y)，其中错误错误!12(2)样本相关

24、系数 r 具有如下性质：|r|1；|r|越接近于 1，成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近于 0，成对样本数据的线性相关程度越弱11独立性检验利用随机变量2nadbc2abcdacbd(nabcd)的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为2独立性检验12正态分布如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN(，2)满足正态分布的三个基本概率的值是(1)P(X)0.682 7；(2)P(2X2)0.954 5；(3)P(3X3)0.997 3.1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy0k(xx0)(直线过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)(

25、2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)(3)两点式：yy1y2y1xx1x2x1(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：xayb1(a，b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)2直线的两种位置关系(1)当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率都存在时：两直线平行：l1l2k1k2.两直线垂直：l1l2k1k21.提醒当一条直线的斜率为 0，另

26、一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略(2)直线方程一般式是 AxByC0.若直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1B2B1A20 且 A1C2A2C10.若直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1A2B1B20.13提醒无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便3三种距离公式(1)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|x2x12y2y12.(2)点到直线的距离 d|Ax0By0C|A2B2(其中点 P(x0，y0)，直线方程为 AxByC0(A2B20)(3)两平行线间

27、的距离 d|C2C1|A2B2(其中两平行线方程分别为 l1：AxByC10，l2：AxByC20(A2B20)提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离(2)弦长的求解方法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2d2l24(其中 l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)，弦长 l2 r2d2.(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、

28、外离、内含(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a，0)，(0，b)(a，0)(0,0)对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点(c，0)(,0)2p轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b14离心率eca1b2a2(0e1)e1准线xp2渐近线ybax7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线

29、方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：|AB|1k2|x1x2|，或|AB|11k2|y1y2|(k0)1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围(2)常见函数的值域一次函数 ykxb(k0)的值域为 R；二次函数 yax2bxc(a0)：当 a0 时，值域为24,)4acba，当 a01212()()0f xf xxxf(x)在a，b上单调递增；(x1x2)f(x1)f(x2)0，且 a1)恒过(0,1)点；ylogax(a0，且 a1)恒过(1,0)点(2)单调性：当 a1 时，yax在 R 上单调递增；ylo

30、gax 在(0，)上单调递增；当 0a1 时，yax在 R 上单调递减；ylogax 在(0，)上单调递减6函数的零点(1)零点定义：对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点方程 f(x)0 有实数解函数 yf(x)有零点函数 yf(x)的图象与 x 轴有公共点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程 f(x)0；零点存在定理法：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0 的解集确定函数 f(x)的单调递增区间，由 f(x)0(或 f(x)0，构造函数 h(x)f(x)g(x)(2)对于 f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数 h(x)f(x)g(x)(3)对于 f(x)g(x)f(x)g(x)0，构造函数 h(x)()()f xg x(g(x)0)例如，对于 xf(x)f(x)0，构造函数 h(x)xf(x)，对于 xf(x)f(x)0，构造函数 h(x)()f xx对于 f(x)f(x)0，构造函数 h(x)exf(x)，对于 f(x)f(x)0，构造函数 h(x)()xf xe