2023届高考数学专项练习放缩法妙解不等式问题含解析.pdf

《2023届高考数学专项练习放缩法妙解不等式问题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习放缩法妙解不等式问题含解析.pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023届高考数学专项练习放缩法妙解不等式问题2023届高考数学专项练习放缩法妙解不等式问题【典型例题】【典型例题】例1.例1.已知函数 f(x)=1aex-1+x，其中aR且a0(1)设a0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或0a2e时，f(x)12ax(x-1)例2.例2.已知函数 f(x)=(x2-2x+2)ex-12ax2(aR)(1)当a=e时，求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：当a-2时，f(x)2例例3.3.已知函数 f(x)=2lnx+sinx+1，函数g(x)=ax-1-blnx(a，bR，ab0)(1)讨论

2、g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)0(3)证明：f(x)0；(3)证明：当nN*时，1e+2e2+3e3+nen0，证明：(ex-1)ln(x+1)x2【同步练习】【同步练习】1.1.已知函数 f(x)=ln(x-a)x(1)若a-1证明 f(x)在(0,+)上单调递减；(2)若x0，证明：exln(x+1)x2+ln(x+1)(其中e=2.71828是自然对数的底数)2.2.已知函数 f(x)=x2+x+e2xlnx，x(e,+)(1)证明：当x(e,+)时，lnx3x-ex+e；(2)若存在x0n，n+1)(nN*)使得对任意的x(e,+)都有 f(x)f(x0)成立求

3、n的值(其中e=2.71828是自然对数的底数)3.3.已知函数 f(x)=xlnx-aex+a，其中aR(1)若 f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x(0,+)，恒有 f(x)-2时，xex+xcosx-ax2-2x0恒成立，求a的取值范围6.6.已知函数 f(x)=aex-blnx，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=1e-1x+1()求a，b；()证明：f(x)07.7.已知函数 f(x)=aex-blnxx，在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e-1)x+1(1)求a，b；(2)证明：f(x)18.8.已知函数 f(x)=me

4、x-lnx-1()当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；()当m1时，证明：f(x)19.9.已知函数 f(x)=lnx+ax-1，aR(1)若函数 f(x)的最小值为0，求a的值(2)证明：ex+(lnx-1)sinx0放缩法妙解不等式问题放缩法妙解不等式问题【典型例题】【典型例题】例例1.1.已知函数 f(x)=1aex-1+x，其中aR且a0(1)设a0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或00，故点A-1,-12不在曲线C上，设切点为T(x0，y0)(x0-1)，则切线AT的斜率为k=f(x0)=1ae

5、x0-12 x0+1，又k=y0+12x0+1，所以1aex0-12 x0+1=y0+12x0+1，整理得1aex0(x0+1)-12x0+1=y0+12，将 y0=1aex0-x0+1 代入得1aex0(x0+1)-12x0+1=1aex0-x0+1+12，整理得1ax0ex0+12(x0+1-1)=0，即1ax0ex0+x02 x0+1+1=0，所以x01aex0+12 x0+1+1=0，因为a0，所以1aex0+12 x0+1+10，所以x0=0，故切线AT的斜率为k=f(0)=1a-12；(2)证明：当a=1时，f(x)12ax(x-1)，所以ex-12x-1+x 0(x-1)，由ex

6、1+x得ex-12x1+12x，又1+12x=1+(1+x)21+x，当且仅当x=0时取等号，所以ex-12x1+x，即ex-12x-1+x 0，即当a=1且x-1时，f(x)12ax(x-1)；当0a2e时，令 f(x)12ax(x-1)，所以1aex-12ax1+x(x-1)，令(x)=1aex-12ax-ex-12x，即(x)=1-aaex+12(1-a)x=(1-a)1aex+12x，因为0a2e0，(x)是-1，+)上的增函数，又(-1)=(1-a)1ae-120，所以(x)(-1)0，故当0a2e，x-1时，1aex-12axex-12x，由知ex-12x1+x，所以1aex-12

7、ax1+x(x-1)，即当0a2e时，f(x)12ax(x-1)，综上所述：当a=1或0a2e时，f(x)12ax(x-1)例例2.2.已知函数 f(x)=(x2-2x+2)ex-12ax2(aR)(1)当a=e时，求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：当a-2时，f(x)2【解析】(1)解：当a=e时，f(x)=(x2-2x+2)ex-12ex2，所以 f(x)=x2ex-ex=x(xex-e)，讨论：当x0时，xex-e0；当0 x1时，由函数y=xex为增函数，有xex-e0，有 f(x)1时，由函数y=xex为增函数，有xex-e0，有 f(x)0综上，函数 f(x)的增区间为(-,

8、0)，(1,+)，减区间为(0,1)(2)证明：当a-2时，有-12a1，所以-12ax2x2，所以 f(x)(x2-2x+2)ex+x2，令g(x)=(x2-2x+2)ex+x2，则g(x)=x2ex+2x=x(xex+2)，令h(x)=xex+2，有h(x)=(x+1)ex，令h(x)=0，得x=-1，分析知，函数h(x)的增区间为(-1,+)，减区间为(-,-1)，所以h(x)min=h(-1)=2-1e0所以分析知，函数g(x)的增区间为(0,+)，减区间为(-,0)，所以g(x)min=g(0)=(02-20+2)e0+02=2，故当a-2时，f(x)2例例3.3.已知函数 f(x)

9、=2lnx+sinx+1，函数g(x)=ax-1-blnx(a，bR，ab0)(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)0(3)证明：f(x)0，b0，则g(x)在(0,+)上单调递增；当a0，b0时，由 g(x)0可得xba，此时函数单调递增，令 g(x)0可得0 xba，此时函数单调递减，当a0时，g(x)0，函数在(0,+)单调递减，当a0，b0可得0 xba，此时函数单调递增，令 g(x)ba，此时函数单调递减，(2)当a=b=1时，g(x)=x-1-lnx，由(1)知，g(x)min=g(1)=0，所以g(x)0，(3)因为x0，所以x2esinx0，由(2)可

10、得x2esinx-1-ln(x2esinx)0，即x2esinx1+2lnx+sinx，又(x2+1)esinxx2esinx(x2+1)esinx2lnx+sinx+1，即 f(x)(x2+1)esinx例例4.4.已知函数 f(x)=aex(aR)，g(x)=lnxx+1(1)当a=1e时，求函数y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1e时，证明：f(x)-g(x)0【解析】解：(1)当a=1e时，f(x)=ex-1，f(1)=1，又 f(1)=1，函数y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=x；证明(2)a1e，aexex-1，令m(x)=ex-1-x，m(x)=ex

11、-1-1，令m(x)=0，解得x=1，当x(0,1)时，m(x)0，函数m(x)单调递增，m(x)m(1)=0，ex-1-x0恒成立，要证 f(x)-g(x)0，只需证xlnxx+1，即证x2-lnx-x0，令h(x)=x2-lnx-x，则h(x)=2x-1x-1=2x2-x-1x=(2x+1)(x-1)x，令h(x)=0，解得x=1，当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，h(x)h(1)=0，x2-lnx-x0恒成立，aexex-1xlnxx+1，故 f(x)-g(x)0恒成立例例5.5.已知函数 f(x)=ex-ax3(1)若x(0,+)，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(

12、2)证明：当a=23时，f(x)0；(3)证明：当nN*时，1e+2e2+3e3+nen0，即证明x3ex0，此时函数h(x)单调递增；x(3,+)时，h(x)18，h(3)=27e32718=32，因此x3ex32，结论成立(3)证明：由(2)可得：xex32x23x(x+1)=31x-1x+1，令 x=n，当 n N*时，1e+2e2+3e3+nen 31-12+12-13+1n-1n+1=3 1-1n+13，当nN*时，1e+2e2+3e3+nen3例例6.6.已知函数 f(x)=aex，g(x)=ln(x-1)+1(1)设G(x)=f(x)-g(x)，x=3是G(x)的极值点，求函数G

13、(x)的单调区间；(2)证明：当a1e2时，f(x)g(x)【解析】解：(1)G(x)=f(x)-g(x)=aex-ln(x-1)-1，则G(x)=aex-1x-1，x=3是G(x)的极值点，G(3)=ae3-13-1=0a=12e3G(x)=12e3ex-1x-1，G(x)在(1,+)上单调递增又G(3)=0，y=G(x)在(1,3)上单调递减，在(3,+)上单调递增(2)要证 f(x)g(x)，即aex-ln(x-1)-10a1e2，则aex-ln(x-1)-1ex-2-ln(x-1)-1，故只需证ex-2-ln(x-1)-10，令H(x)=ex-2-ln(x-1)-1，则H(x)=ex-

14、2-1x-1，在(1,+)上单调递增，且H(2)=0，x(1,2)时，H(x)0，H(x)递增H(x)H(2)=0，即原命题得证例例7.7.已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2，其中e为自然对数的底数(1)当x0时，若不等式 f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x0，证明：(ex-1)ln(x+1)x2【解析】解：(1)由条件得：f(x)=ex-1-2ax，令h(x)=ex-1-2ax，则h(x)=ex-2a，当2a1时，在0，+)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即 f(x)f(0)=0，f(x)在0，+)上是增函数，f(x)f(0)=0，a12满足条件当2a

15、1时，令h(x)=0，解得x=ln2a，在0，ln2a在，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0,ln2a)时，有h(x)h(0)=0，即 f(x)f(0)=0，f(x)在(0,ln2a)上为减函数，f(x)0时，ex1+x+x22，即ex-1x+x22=x2+2x2要证明(ex-1)ln(x+1)x2，只需证明ex-1x2ln(x+1)，只需证明x2+2x2x2ln(x+1)，只需证明ln(x+1)2x2+x设F(x)=ln(x+1)-2xx+2(x0)，则F(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2，当x0时，F(x)0恒成立，故F(x)在区间(0,+)上单调递增，又F(

16、0)=0，F(x)0恒成立，原不等式成立【同步练习】【同步练习】1.1.已知函数 f(x)=ln(x-a)x(1)若a-1证明 f(x)在(0,+)上单调递减；(2)若x0，证明：exln(x+1)x2+ln(x+1)(其中e=2.71828是自然对数的底数)【解析】解：(1)当a-1时，函数 f(x)的定义域为(-a，0)(0，+)；f(x)=xx-a-ln(x-a)x2，令g(x)=xx-a-ln(x-a)，只需证：x0时，g(x)0即可；当x0时，g(x)=-a(x-a)2-1x-a=-x(x-a)20，故g(x)是(0,+)上的减函数，g(x)g(0)=-ln(-a)0，f(x)0时，

17、原不等式可化为ln(x+1)xxex-1，xex-1=lnexex-1=ln(ex-1+1)ex-1，故原不等式等价于ln(x+1)xln(ex-1+1)ex-1，由(1)可知当a=-1时，f(x)=ln(x+1)x是(0,+)上的减函数，故要求原不等式成立，只需证明：当x0时x0)，则h(x)=ex-1，故h(x)是(0,+)上的减函数，h(x)h(0)=0，即x0)，故原不等式成立2.2.已知函数 f(x)=x2+x+e2xlnx，x(e,+)(1)证明：当x(e,+)时，lnx3x-ex+e；(2)若存在x0n，n+1)(nN*)使得对任意的x(e,+)都有 f(x)f(x0)成立求n的

18、值(其中e=2.71828是自然对数的底数)【解析】解：(1)令g(x)=lnx-3x-ex+e,x(e,+)则g(x)=1x-4e(x+e)2=(x-e)2x(x+e)20于是g(x)在(e,+)单调递增，所以g(x)g(e)=0，即lnx3x-ex+e,x(e,+)(5分)(2)f(x)=(2x+1)xlnx-(x2+x+e2)(lnx+1)(xlnx)2=(x2-e2)lnx-(x2+x+e2)(xlnx)2令h(x)=(x2-e2)lnx-(x2+x+e2)，x(e,+)当x(e,+)时，由(1)知lnx3x-ex+e则h(x)(x2-e2)3x-ex+e-(x2+x+e2)=2x2-

19、(4e+1)x=2x x-4e+12，(i)当x4e+12,+时，于是h(x)0，从而 f(x)0故 f(x)在4e+12,+严格单调递增其中4e+12=5.93656(9分)(ii)当x(e，5时，则h(x)(x2-e2)ln5-(x2+x+e2)2(x2-e2)-(x2+x+e2)=x2-x-3e220-3e27)于是 f(x)0，故 f(x)在(e，5严格单调递减(11分)综上所述，f(x)在(e，5严格单调递减，在4e+12,+严格单调递增因为4e+126，所以x05，6)所以n=5(12分)3.3.已知函数 f(x)=xlnx-aex+a，其中aR(1)若 f(x)在定义域内是单调函

20、数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x(0,+)，恒有 f(x)0)，得G(x)=1x-lnx-1ex，易知G(1)=0，且函数y=1x-lnx-1在(0,+)上单调递减，当x0时，ex1，所以在区间(0,1)上，G(x)0；在(1,+)上G(x)0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，此时G(x)的最大值为G(1)=1e，所以当a1e时，f(x)在定义域上单调递减；即a的取值范围是1e，+(2)证明：当a=1时，f(x)=xlnx-ex+1，要证 f(x)cosx，即证xlnxex+cosx-1，当01+cos1-1=cos10，故xlnxex+cosx

21、-1成立，即 f(x)1时，令h(x)=ex+cosx-xlnx-1(x1)，则h(x)=ex-sinx-lnx-1，设g(x)=ex-sinx-lnx-1(x1)，则g(x)=ex-cosx-1x，x1，g(x)=ex-cosx-1xe-1-10，故x1时，g(x)单调递增，故g(x)e-sinx-10，即h(x)0，h(x)在(1,+)单调递增，故h(x)e+cos1-10，即 f(x)cosx成立，综上：对任意x(0,+)，恒有 f(x)0，所以 f(x)0在0，+)上恒成立，故g(x)-af(x)g(x)-f(x)，故只需证g(x)f(x)，即证ex(sinx+cosx+x2-2x)-

22、13x3-2x+2sinx+10，设F(x)=ex(sinx+cosx+x2-2x)-13x3-2x+2sinx+1，则F(x)=ex(2cosx+x2-2)-(2cosx+x2-2)=(2cosx+x2-2)(ex-1)0，则F(x)在0，+)上单调递增，F(x)F(0)=0，故对任意的实数a1，g(x)af(x)在0，+)上恒成立5.5.已知函数 f(x)=ex+cosx-2，f(x)为 f(x)的导数(1)当x0时，求 f(x)的最小值；(2)当x-2时，xex+xcosx-ax2-2x0恒成立，求a的取值范围【解析】解：(1)f(x)=ex-sinx，令g(x)=ex-sinx，x0，

23、则g(x)=ex-cosx，当x0，)时，g(x)为增函数，g(x)g(0)=0，当x，+)时，g(x)e-10，所以x0时，g(x)0，g(x)为增函数，故g(x)min=g(0)=1，即 f(x)的最小值为1(2)方法一：令h(x)=ex+cosx-2-ax，h(x)=ex-sinx-a，则x-2时，xh(x)0恒成立，当a1时，若x0，则由(1)可知，h(x)1-a0，所以h(x)为增函数，故h(x)h(0)=0恒成立，即xh(x)0恒成立，若x-2，0，则h(x)=ex-cosx，h(x)=ex+sinx在-2，0上为增函数，又h(0)=1，h-2=e-2-10，所以存在唯一x0-2，

24、0，使得h(x0)=0，当x-2，x0，使得h(x0)0，h(0)=0，所以存在唯一x1-2，0使得h(x1)=0，故x-2，x1时，h(x1)0，h(x)为增函数，x(x1，0)时，h(x1)0，h(0)=1-a0，所以x-2，0时，h(x)0，h(x)为增函数，故h(x)h(0)=0，即xh(x)0恒成立，当a1时，由(1)可知h(x)=ex-sinx-a在0，+)上为增函数，且h(0)=1-a0，故存在唯一x2(0,+)，使得h(x2)=0，则当x(0,x2)时，h(x)0，h(x)为减函数，所以h(x)h(0)=0，此时xh(x)0与xh(x)0恒成立矛盾，综上所述，a1方法二若x-2

25、，0，则ex-10，cosx-10，ex+cosx-20，当0a1时，-ax0，h(x)0，当a0时，h(x)=ex-sinx-a，ex0，-sinx0，-a0，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)0，当a1时，由(1)可知h(x)=ex-sinx-a在0，+)上为增函数，且h(0)=1-a0，故存在唯一x2(0,+)，使得h(x2)=0，则当x(0,x2)时，h(x)0，h(x)为减函数，所以h(x)h(0)=0，此时xh(x)0在x-2，0上恒成立6.6.已知函数 f(x)=aex-blnx，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=1e-1x+1()求a，b；()证明：f(x

26、)0【解析】()解：函数 f(x)=aex-blnx，求导函数可得 f(x)=aex-bx(x0)曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=1e-1x+1，f(1)=1e，f(1)=1e-1，ae=1e，ae-b=1e-1，a=1e2，b=1；()证明：函数 f(x)=ex-2-lnx，由y=ex-2-(x-1)的导数y=ex-2-1，当x2时，导数y0，函数y递增；当x2时，导数y1时，导数y0，函数y递减；当0 x0，函数y递增可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0，即有lnxx-1；由于等号不同时取得，则ex-2lnx，即有 f(x)0成立7.7.已知函数 f(x)=aex-

27、blnxx，在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e-1)x+1(1)求a，b；(2)证明：f(x)1【解析】(1)解：函数 f(x)=aex-blnxx，求导函数可得 f(x)=aex-b(1-lnx)x2(x0)曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=(e-1)x+1，f(1)=ae=e，f(1)=ae-b=e-1，a=1，b=1；(2)证明：函数 f(x)=ex-lnxx，要证 f(x)1，需证ex-lnxx1，即证xex-lnxx(x0)，也就是证xexx+lnx，令g(x)=ex-x-1，则g(x)=ex-10对于x(0,+)恒成立，则g(x)g(0)=0，exx+1，则x

28、exx2+x，令h(x)=x2+x-x-lnx=x2-lnx，则h(x)=2x-1x=2x2-1x，当x 0,22时，h(x)0，h(x)在 0,22上为减函数，在22，+上为增函数，则h(x)的最小值为h22=222-ln22=12+12ln20h(x)=x2+x-x-lnx0，即x2+xx+lnx，xexx+lnx，故 f(x)18.8.已知函数 f(x)=mex-lnx-1()当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；()当m1时，证明：f(x)1【解析】解：()当m=1时，f(x)=ex-lnx-1，所以 f(x)=ex-1x(1分)所以 f(1)=e-1，f(1)

29、=e-1(2分)所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1)即y=(e-1)x(3分)()证法一：当m1时，f(x)=mex-lnx-1ex-lnx-1要证明 f(x)1，只需证明ex-lnx-20(4分)以下给出三种思路证明ex-lnx-20思路1：设g(x)=ex-lnx-2，则g(x)=ex-1x设h(x)=ex-1x，则h(x)=ex+1x20，所以函数h(x)=g(x)=ex-1x在(0,+)上单调递增因为g12=e12-20，所以函数g(x)=ex-1x在(0,+)上有唯一零点x0，且x012,1因为g(x0)=0时，所以ex0=1x0，

30、即lnx0=-x0(9分)当x(0,x0)时，g(x)0所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0)故g(x)g(x0)=ex0-lnx0-2=1x0+x0-20综上可知，当m1时，f(x)1(12分)思路2：先证明exx+1(xR)设h(x)=ex-x-1，则h(x)=ex-1因为当x0时，h(x)0时，h(x)0，所以当x0时，函数h(x)单调递增所以h(x)h(0)=0所以exx+1(当且仅当x=0时取等号)所以要证明ex-lnx-20，只需证明(x+1)-lnx-20下面证明x-lnx-10设p(x)=x-lnx-1，则p(x)=1-1x=x-1x当0 x1时，p(x)1时，p(x)

31、0，所以当0 x1时，函数p(x)单调递增所以p(x)p(1)=0所以x-lnx-10(当且仅当x=1时取等号)由于取等号的条件不同，所以ex-lnx-20综上可知，当m1时，f(x)1(12分)(若考生先放缩lnx，或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分！)思路3：先证明ex-lnx2因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t(t0)与曲线y=ex，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则AB=2(d1+d2)其中d1=et-t2，d2=t-lnt2(t0)设h(t)=et-t(t0)，则h(t)=et-1因为t0，所以h(t)

32、=et-10所以h(t)在(0,+)上单调递增，则h(t)h(0)=1所以d1=et-t222设g(t)=t-lnt(t0)，则g(t)=1-1t=t-1t因为当0t1时，g(t)1时，g(t)0，所以当0t1时，g(t)=t-lnt单调递增所以g(t)g(1)=1所以d2=t-lnt222所以AB=2(d1+d2)222+22=2综上可知，当m1时，f(x)1(12分)证法二：因为 f(x)=mex-lnx-1，要证明 f(x)1，只需证明mex-lnx-20以下给出两种思路证明mex-lnx-20思路1：设g(x)=mex-lnx-2，则g(x)=mex-1x设h(x)=mex-1x，则h

33、(x)=mex+1x20所以函数h(x)=g(x)=mex-1x在(0,+)上单调递增(6分)因为g12m=me12m-2m=m e12m-20，所以函数g(x)=mex-1x在(0,+)上有唯一零点x0，且x012m,1(8分)因为g(x0)=0，所以mex0=1x0，即lnx0=-x0-lnm(9分)当x(0,x0)时，g(x)0所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0)(10分)故g(x)g(x0)=mex0-lnx0-2=1x0+x0+lnm-20综上可知，当m1时，f(x)1思路2：先证明exx+1(xR)，且lnxx+1(x0)设F(x)=ex-x-1，则F(x)=ex-1因为

34、当x0时，F(x)0时，F(x)0，所以F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增所以当x=0时，F(x)取得最小值F(0)=0所以F(x)F(0)=0，即exx+1(当且仅当x=0时取等号)由exx+1(xR)，得ex-1x(当且仅当x=1时取等号)所以lnxx-1(x0)(当且仅当x=1时取等号)再证明mex-lnx-20因为x0，m1，且exx+1与lnxx-1不同时取等号，所以mex-lnx-2m(x+1)-(x-1)-2=(m-1)(x+1)0综上可知，当m1时，f(x)19.9.已知函数 f(x)=lnx+ax-1，aR(1)若函数 f(x)的最小值为0，求a的值(2)

35、证明：ex+(lnx-1)sinx0【解析】解：(1)f(x)的定义域是(0,+)f(x)=1x-ax2=x-ax2，f(x)有最小值，而 f(x)无端点值，f(x)必定在x=a处取得极小值，也是最小值，f(a)=lna+1-1=0，a=1；(2)先证0 x0，即证exsinx1-lnx，由1x1-lnx，即证exsinx1x即为xexsinx，即xex-sinx0，可令h(x)=xex-sinx，h(x)=(x+1)ex-cosx0，可得h(x)在(0,)递增，即有h(x)h(0)=0，可得0 x0；再证x，可得1x1-lnx，即x1-ln1x，即x1+lnx，即exe1+lnx，可得exex，又exe(1+lnx)，即有ex+(lnx-1)sinxe(1+lnx)+(lnx-1)sinx=(e+sinx)lnx+(e-sinx)0，综上可得，ex+(lnx-1)sinx0