【考前叮咛】备战2023高考数学知识方法回顾篇.pdf

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1、1第一篇 知识方法回顾篇第一篇 知识方法回顾篇回顾回顾 1集合、常用逻辑用语不等式集合、常用逻辑用语不等式1集合1集合(1)集合的运算性质交换律：ABBA；ABBA；结合律：(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；分配律：(AB)C(AC)(BC)；(AB)C(AC)(BC)；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)；ABABA；ABBBA.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n1,2n1,2n2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形

2、结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解2充分条件与必要条件的三种判定方法2充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若 pq，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，命题 p：xA，命题 q：xB，若 AB，则 p 是 q 的充分条件(q 是 p 的必要条件)；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件)；若 pq，则 p 是 q的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断

3、真假的命题回顾回顾 2不等式不等式1不等式的性质不等式的性质(1)性质 1：如果 ab，那么 ba；如果 bb.即 abbb，bc，那么 ac.即 ab，bcac.(3)性质 3：如果 ab，那么 acbc.(4)性质 4：如果 ab，c0 那么 acbc.如果 ab，c0，那么 acb，cd，那么 acbd.(6)性质 6：如果 ab0，cd0，那么 acbd.(7)性质 7：如果 ab0，那么 anbn，(nN，n2)【考前叮咛】备战2 0 2 3 高考数学2(8)性质 8：如果 ab0，那么nanb，(nN，n2)2.常用结论常用结论（1）倒数性质的几个必备结论ab，ab01a1b.a0

4、b1ab0,0cbd.0axb 或 axb01b1xb0，m0，则babmam(bm0)abambm；ab0)3一元二次不等式的解法3一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式，它决定根的情形，一般分0，0，0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满足a000；ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满足a00；ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为 R)时，满

5、足a00.（2）含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成 kf(x)形式则可以转化为函数值域求解设 f(x)的最大值为 M，最小值为 m.kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM.35分式不等式5分式不等式fxgx0(0(0)和|axb|c(c0)型不等式绝对值不等式|x|a 与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc 或 axbc(c0)（3）形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上

6、到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合图象求解9绝对值不等式的应用绝对值不等式的应用如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立410.两类含绝对值不等式的证明问题10.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的

7、思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明11.含绝对值不等式的应用中的数学思想11.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想12.求求 f(x)|xa|xb|和和 f(x)|xa|xb|的最值的三种方法的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.回顾回顾 3复数复数1复数的有关概念1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR R)的数叫复数，其中a，

8、b分别是它的实部和虚部若b0，则abi 为实数；若b0，则abi 为虚数；若a0 且b0，则abi 为纯虚数一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR R)(3)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR R)(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数zabi(a，bR R)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|a2b2.2复数的几何意义2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR R)复数zabia，bR R的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi.(2)复数zabi(a，b

9、R R)平面向量OZ.3复数的运算3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdiabicdicdicdiacbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)5(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3C C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)4.常用结论4.常用结论(1)(1i)22i，1i1ii，

10、1i1ii.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)1212zzzz；(2)1212zzzz；(3)22z zzz；(4)121212zzzzzz；(5)1 212z zzz；(6)1121zzzz.*5.复数的三角形式、运算及其几何意义复数的三角形式、运算及其几何意义（1）复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数 zabi 都可以表示成 r(cos isin)的形式，其中，r 是复数 z 的模；是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ所在

11、射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 zabi 的辐角，我们规定在 02范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作 arg zr(cos isin)叫做复数 zabi 的三角表示式，简称三角形式abi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式（2）复数三角形式的乘、除运算若复数 z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，且 z1z2，则z1z2r1(cos 1isin 1)r2(cos 2isin 2)=r1r2cos(12)isin(12)z1z2r1cos 1isin 1r2cos 2isin 2r1r2cos(12)isin(12)即：两个复数相乘，积的模等于各复数

12、的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.回顾回顾 4平面向量平面向量一向量的概念一向量的概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的63单位向量：长度等于 1 个单位的向量(1)非零向量a a与a a|a a|的关系：a a|a a|是与a a同方向的单位向量，a a|a a|是与a a反方向的单位向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相

13、等且方向相反的向量二平面向量的线性运算二平面向量的线性运算（一）向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a ；(2)结合律：(+()a bc ab c)+减法求 a 与 b 的相反向量b的和的运算叫做a与 b 的差三角形法则（二）向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0，A0)的图象10.函数 yAsin(x)(0，A0)的图象(1)“五点法”作图设 zx，令 z0，2，32，2

14、，求出相应的 x 的值与 y 的值，描点、连线可得(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口(3)图象变换ysin x向左0或向右0倍纵坐标不变ysin(x)纵坐标变为原来的 AA0倍横坐标不变yAsin(x)11准确记忆六组诱导公式11准确记忆六组诱导公式对于“k2，kZ”的三角函数值与角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限12三角函数恒等变换12三角函数恒等变换(1)cos()cos cos sin sin，cos()cos cos sin sin，sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin，tan()t

15、an tan 1tan tan k2，kZ，k2，kZ，k2，kZ，tan()tan tan 1tan tan k2，kZ，k2，kZ，k2，kZ，sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2，10tan 22tan 1tan2k2，kZ，2k2，kZ，k4，kZ.(2)辅助角公式acos xbsin x a2b2aa2b2cos xba2b2sin x，令 sin aa2b2，cos ba2b2，acos xbsin x a2b2sin(x)，其中为辅助角，tan ab.13正弦定理及其变形13正弦定理及其变形asin Absin Bcsin C2R(2R

16、为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R.abcsin Asin Bsin C.14余弦定理及其推论、变形14余弦定理及其推论、变形a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.15面积公式15面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C.回

17、顾回顾 6 数列与数学归纳法数列与数学归纳法一、数列的概念与通项公式一、数列的概念与通项公式1数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列na.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不11同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的分类3数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义

18、域是正整数集N和正整数集N的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列 na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 naf n,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.5.数列 na的前n项和nS和通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn.6.Sn与 an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解7.已

19、知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1 替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2 时an的表达式(3)对n1 时的结果进行检验，看是否符合n2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1 与n2 两段来写8.常见递推公式推导通项公式方法：（1）累加法：1()nnaaf n（2）累乘法：1()nnaf na分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1nnaa其中 nN递减数列1nnaa常数列1nnaa按其他标准分类有界数列存在正数M，使naM摆动数列n

20、a的符号正负相间，如 1，1,1，1，12（3）待定系数法：1nnapaq（其中,p q均为常数，)0)1(ppq）解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解.二数列的性质二数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性数列的性质主要指：1.数列的单调性-递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.三、牢记概念与公式三、牢记概念与

21、公式等差数列、等比数列(其中 nN*)等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前 n 项和Snna1an2na1nn12d(1)q1，Sna11qn1qa1anq1q；(2)q1，Snna1四、活用定理与结论四、活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)(2)判断等差数列的常用方法定义法an1a

22、nd(常数)(nN*)an是等差数列；通项公式法anpnq(p，q 为常数，nN*)an是等差数列；中项公式法2an1anan2(nN*)an是等差数列；前 n 项和公式法13SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)an是等差数列(3)判断等比数列的常用方法定义法an1anq(q 是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列；通项公式法ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列；中项公式法a2n1anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列五数列求和的常用方法五数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和(2)通项公式形如anbn(其中an为

23、等差数列，bn为等比数列)的数列，利用错位相减法求和(3)通项公式形如 ancanb1anb2(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和(4)通项公式形如 an(1)nn 或 ana(1)n(其中 a 为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn.六数学归纳法六数学归纳法用数学归纳法证明分以下两个步骤：(1)证明当 n1 时，命题成立；(2

24、)假设 nm 时，命题成立，那么可以推导出在 nm1 时命题也成立(m 代表任意自然数)回顾回顾 7 立体几何与空间向量立体几何与空间向量一、空间几何体的结构特征一、空间几何体的结构特征（一）多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分（二）旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线14球半圆直径所在的直线（三）简单组合体简单组合体的构成有两

25、种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体二、空间几何体的直观图二、空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45或 135，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x轴、y轴已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过 O 点作

26、z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z轴，也垂直于 xOy平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变*三、三视图*三、三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样四、柱、锥、台、球体的表面积和体积四、柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表面积体积直棱柱长方形S2S底S侧VS底h圆柱长方形S2r22rlVr2l棱锥由若干

27、个三角形构成SS底S侧V13S底h圆锥扇形Sr2rlV13r2h棱台由若干个梯形构成SS上底S下底S侧V13(S SSS)h圆台扇环Sr2(rr)lr2V13(r2rrr2)h球S4r2V43r3五、平行、垂直关系的转化示意图五、平行、垂直关系的转化示意图15(1)(2)两个结论abab；abab.六、用空间向量证明平行、垂直六、用空间向量证明平行、垂直设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有：(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行v

28、va2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.七、用向量求空间角七、用向量求空间角(1)直线 l1，l2的夹角满足 cos|cosl1，l2|(其中 l1，l2分别是直线 l1，l2的方向向量)(2)直线 l 与平面的夹角满足 sin|cosl，n|(其中 l 是直线 l 的方向向量，n 是平面的法向量)(3)平面，的夹角满足 cos|cosn1，n2|，则二面角l的平面角为或(其中 n1，n2分别是平面，的法向量)回顾回顾 8平面解析几何平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角定义 当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作

29、为基准，x 轴的正方向与直线 l 向上的方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.范围：倾斜角的范围为02直线的斜率定义一条直线的倾斜角(90)的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即tank，倾斜角是 90的直线没有斜率当直线l与 x 轴平行或重合时,0,tan00k.16过两点的直线的斜率公式经过两点11122212()()()P xyP xyxx，的直线的斜率公式为2121yykxx.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率倾斜角为 90的直线斜率不存在4.直线的倾斜角、斜率 k 之间的大小变化关系

30、：（1）当0,)2时，0,k越大，斜率越大；（2）当(,)2时，0,k越大，斜率越大.二、直线方程的五种形式二、直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)(3)两点式：yy1y2y1xx1x2x1(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：xayb1(a，b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不包括坐标轴、平

31、行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)三、直线的两种位置关系三、直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率都存在时：(1)两直线平行：l1l2k1k2.(2)两直线垂直：l1l2k1k21.提醒当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略四、三种距离公式四、三种距离公式(1)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|x2x12y2y12.(2)点到直线的距离 d|Ax0By0C|A2B2(其中点 P(x0，y0)，直线方程为 AxByC0(A2B20)(3)两平行线间的距离 d|C2

32、C1|A2B2(其中两平行线方程分别为 l1：AxByC10，l2：AxByC20(A2B20)提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等五、圆的方程的两种形式五、圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)六、直线与圆、圆与圆的位置关系六、直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离17判断方法：代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含判断方法：代数判断法与几何判断法七、圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质七、圆锥曲线的定义、标

33、准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点(c,0)p2，0轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1)e1准线xp2渐近线ybax八、直线与圆锥曲线的位置关系八、直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：|AB|1k2|x1x2|

34、，或|AB|11k2|y1y2|.九、解决范围、最值问题的常用方法九、解决范围、最值问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域十、定点问题的思路十、定点问题的思路18(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m，0)(2)动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令

35、其系数等于零，得出定点十一、求解定值问题的两大途径十一、求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值此值一般就是定值证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值十二、解决存在性问题的解题步骤十二、解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论回顾回顾 9 计数原理与概率计数原理与概率一、分类加法计数原理一、分类加法计数原理完成一件

36、事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有 m2种方法，在第 n类办法中有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称加法原理)二、分步乘法计数原理二、分步乘法计数原理完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1种方法，做第二步有 m2种方法，做第 n 步有 mn种方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种方法(也称乘法原理)三、排列三、排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素

37、的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn表示(3)排列数公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，Annn(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为 Amnn！nm！，这里规定 0！1.（5）求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步19步法乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处

38、理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法四、组合四、组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cmn表示(3)组合数的计算公式：

39、CmnAmnAmmn！m！nm！nn1n2nm1m！，由于 0！1，所以 C0n1.(4)组合数的性质：CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n.五、二项式定理五、二项式定理(ab)nC0nanC1nan1b1CknankbkCnnbn(nN*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中各项的系数 Ckn(k0,1,2，n)叫做二项式系数式中的 Cknankbk叫做二项展开式的通项，用 Tk1表示，即展开式的第 k1 项：Tk1Cknankbk.六、二项展开式形式上的特点六、二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与

40、b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn1n，Cnn.七、二项式系数的性质七、二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 CmnCnmn.(2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn12时，二项式系数是递减的当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项12nT的二项式系数最大当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项112nT和112nT的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和20(ab)n的展

41、开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCknCnn2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.八、概率的计算公式八、概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)事件 A 包含的基本事件数 m基本事件总数 n.(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(3)对立事件的概率计算公式P(A)1P(A)九、条件概率九、条件概率条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号/p B A来表示，其公式为/p ABp B AP A.在古

42、典概型中，若用 n A表示事件A中基本事件的个数，则/n ABp B An A.(2)条件概率具有的性质：0/1p B A；如果B和C是两互斥事件，则/p BC Ap B Ap C A十、相互独立事件同时发生的概率十、相互独立事件同时发生的概率(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则/p B Ap B，/p ABp B AP AP AP B(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立(4)若 p ABP AP B，则A与B相互独立十一、离散型随机变量十一、离散型随机变量1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试

43、验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示21(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量随机变量的线性关系：若是随 机变量，ab，其中,a b是常数，则也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.3.期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.4.期望的性质E(aXb)aE(X)b；若 XB(n，p)，则 E(X)np；若 X 服从两点分布，则 E(X)p.5.方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为 DX.

44、6.方差的性质D(aXb)a2D(X)；若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)；若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p)十二、独立重复试验的概率十二、独立重复试验的概率1n次独立重复试验(1)定义一般地，在相同条件下重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n 次独立重复试验(2)公式一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)nk，(k0,1,2，n)十三、二项分布十三、二项分布1.若将事件 A 发生的次数设为 X，发生

45、的概率为 P，不发生的概率 q1p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(Xk)Cknpkqnk(k0,1,2，n)于是得到 X 的分布列X01knPC0np0qnC1np1qn1CknpkqnkCnnpnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式(qp)nC0np0qnC1np1qn1CknpkqnkCnnpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 XB(n，p)2.二项分布的期望、方差：若,XB n p，则E Xnp.22若,XB n p，则1D Xnpp十四、超几何分布十四、超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n

46、件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为kn kMN MnNC CP XkC，0,1,2,km，其中min,mM n，且,nN MN n M NN，称分布列为超几何分布列.X01mP00nMNMnNC CC11nMNMnNC CCmn mMNMnNC CC十五、正态分布十五、正态分布1正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数，(x)12ex222，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x对称；曲线在 x处达到峰值12；曲线与 x 轴之间的面积为 1；当一定时，

47、曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小 曲线越“瘦高”总体分布越集中，如图乙所示：甲乙2正态分布一般地，如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)错误错误!，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution)正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作 N(，2)如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 XN(，2)3正态总体三个特殊区间内取值的概率值23P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(30 时，值域为4acb24a，当 a0

48、fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0fx1fx2x1x20，左移h0，上移k0，下移yf(x)k，简记为“上加下减”(2)伸缩变换yf(x)01，缩yf(x)，yf(x)0A1，伸yAf(x)(3)对称变换27yf(x)x 轴yf(x)，yf(x)y 轴yf(x)，yf(x)原点yf(x)6准确记忆指数函数与对数函数的基本性质6准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：yax(a0，且 a1)恒过(0,1)点；ylogax(a0，且 a1)恒过(1,0)点(2)单调性：当 a1 时，yax在 R 上单调递增；ylogax 在(0，)上单调递

49、增；当 0a1 时，yax在 R 上单调递减；ylogax 在(0，)上单调递减7函数与方程7函数与方程(1)零点定义：x0为函数 f(x)的零点f(x0)0(x0,0)为 f(x)的图象与 x 轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程 f(x)0；零点存在性定理法：根据连续函数 yf(x)满足 f(a)f(b)0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由 f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存在解集；若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，则 I 是其单调区间的子集10利用导数研究函数的极值与最值10利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤确定函数的定义域；解方程 f(x)0；判断 f(x)在方程 f(x)0 的根 x0附近两侧的符号变化：若左正右负，则 x0为极大值点；若左负右正，则 x0为极小值点；28若不变号，则 x0不是极值点(2)求函数 f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；比较函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值