2023 届南京市、盐城市二模数学试题含答案.pdf

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1、 南京市、盐城市 2023届高三年级第一次模拟考试高三数学2023.3.23一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设M=xx=k2,kZ ,N=xx=k+12,kZ ,则()A.MNB.NMC.M=ND.MN=【答案】【答案】B【解析】【解析】N=xx=k+12,kZ N=xx=2k+12,kZ ，可知NM，故选B2.若 f(x)=x(x+1)(x+a)(aR)为

2、奇函数,则a的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1【答案】【答案】A【解析】【解析】f x=x3+a+1x2+ax,易知a+1=0a=-1，故选A3.某种品牌手机的电池使用寿命 X(单位:年)服从正态分布 N 4,2(0),且使用寿命不少于 2 年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【答案】【答案】D【解析】【解析】因为手机的电池使用寿命X(单位:年)服从正态分布N 4,2(0),所以P X6=P X4+2=P X4-2=1-P X2=1-0.9=0.1,故选D4.已知函数:f(x)=sin(2x+)(0)的图象关于直线x=6对称

3、,则的值为()A.12B.6C.3D.23【答案】【答案】B【解析】【解析】由题意 f6=3+sin=1,所以3+=2+k,kZ,所以=6+k,kZ,因为0 b 0)的两条弦 AB,CD 相交于点 P(点 P 在第一象限),且 AB x 轴 CD y轴.若PA:PB:PC:PD=1:3:1:5,则椭圆E的离心率为()A.55B.105C.2 55D.2 105【答案】【答案】B【解析】【解析】PA=r,P(x0,y0)，由对称性可知x0=2r,y0=r，代入(x0,y0+r),(x0+r,y0)在椭圆上，即可得:4a2+4b2=9a2+1b2b2a2=35e=105,选B8.设a,bR,4b=

4、6a-2a,5a=6b-2b,则()A.1abB.0baC.b0aD.ba1【答案】【答案】A【解析】【解析】由6x-2x=2x(3x-1)可得:a,b为正数，排除C.4b-a=6a-2a4a,5a-b=6b-2b5b若0a1,则1(46)a+(26)a4b-a1b15a-b1a1,则1(46)a+(26)a4b-a1ba1,答案选A二、二、选择题选择题:本大题共本大题共4 4小题小题,每小题每小题5 5分分,共共2020分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求,请把答案请把答案填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.全部选对得全部选对

5、得5 5分分,部分选对得部分选对得2 2分分,不选或有错选的得不选或有错选的得0 0分分.9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、然料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初,近年来发展迅速,连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则2图1图2A.20172022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.20172022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量【答案

6、】【答案】BCD10.已知z为复数,设z,z,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,则()A.|OA|=|OB|B.OA OC C.|AC|=|BC|D.OB AC【答案】【答案】AB【解析】【解析】设z=a+bi,则z=a-bi,iz=-b+ai,所以OA=a,b,OB=a,-b,OC=-b,a对于A，|OA|=|OB|=a2+b2,A正确对于B，OA OC=-ab+ab=0,所以OA OC,B正确；对于C，|AC|=OC-OA=-b-a2+a-b2=2 a2+b2,|BC|=OC-OB=-b-a2+a+b2=2 a+b,所以|AC|BC|,C错误；对于D，OB=a,-b

7、,AC=-b-a,a-b,而a a-b-b-b-a,所以OB 与AC 不平行，D错误故选AB11.已知点A(-1,0),B(1,0),点P为圆C:x2+y2-6x-8y+17=0上的动点,则()A.PAB面积的最小值为8-4 2B.AP的最小值为2 2C.PAB的最大值为512D.AB AP 的最大值为8+4 2【答案】【答案】BCD【解析】【解析】圆 C:(x-3)2+(y-4)2=8,故PAB面积最小值4-22,A错APmin=4 2-2 2,B正确；利用投影法，可得AB AP 24+2 2,D正确对于 C，由题意可知，当 AP 与圆相切时，PAB 最大，此时 PC=2 2,AC=4 2,

8、所以 PAC=6,而kAC=4-03-1=1，所以CAB=4,所以PAB=6+4=512,C正确综上所述答案为BCD3xyABPC12.已知 f()=cos4+cos3,且1,2,3是 f()在(0,)内的三个不同零点,则()A.7 1,2,3B.1+2+3=C.cos1cos2cos3=-18D.cos1+cos2+cos3=12【答案】【答案】ACD【解析】【解析】f()=2cos72cos2,故三个根为7,37,57,故A正确，B错处理2：cos3=(2cos2-1)cos=4cos3-3cos,cos4=8cos4-8cos2+1故:cos7,cos37,cos57为方程8x3-4x2

9、-4x+1=0的根，由根与系数关系可得:CD正确处理1：cos7cos37cos57=cos7cos47cos27=sin878sin7=-18cos7+cos37+cos57=(cos7+cos37+cos57)2sin72sin7=sin672sin7=12三、三、填空题填空题:本大题共本大题共4 4小题小题,每小题每小题5 5分分,共共2020分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.编号为1,2,3,4的四位同学,分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上,每位座位恰好坐一位同学,则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为【答案】【答案】6【解析】【解

10、析】四个座位，当有两个同学座位相同，另外两个同学座位不同，那么坐法唯一，只需确认两个座位与编号相同的同学即可，所以坐法有C24=6种.14.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,ab=0.设c=b-2a,则a,ccos=【答案】【答案】-45【解析】【解析】由题意可令a=2,0,b=0,3，则c=-4,3,所以a,ccos=a c a c=-825=-4515.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P是其准线上一点,过点P作PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的长度为【答案】【答案】3【解析】【解析】由BP=BF,结合直角三角形性质可得:AF的中点B在抛物

11、线上，设A(0,a)代入B(12,a2)得a=2 2,故AF=316.直线x=t与曲线C1:y=-ex+ax(aR)及曲线C2:y=e-x+ax分别交于点A,B.曲线C1在A处的切线为l1,曲线C2在B处的切线为l2.若l1,l2相交于点C,则ABC面积的最小值为【答案】【答案】24【解析】【解析】A(t,-et+at),B(t,e-t+at),l1:y=(-et+a)x+tet-et,l2:y=(-e-t+a)x+te-t+e-txC=t-et+e-tet-e-t,由点差表达面积为S=t-xCet+e-t2=(et-e-t)2+42 et-e-t2,当且仅当t=(2+1)ln时取等.四、四、

12、解答题解答题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 7070 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明，证明过程或解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤演算步骤.17.(本小题满分10分)在数列 an中,若an+1-a1a2a3an=d nN,则称数列 an为“泛等差数列”,常数d称为“泛差”.已知数列 an是一个“泛等差数列”,数列 bn满足a21+a22+a2n=a1a2a3an-bn(1)若数列 an的“泛差”d=1,且a1,a2,a3成等差数列,求a1;(2)若数列 an的“泛差”d=-1,且a1=12,求数列 bn的通项bn.【解

13、析】【解析】(1)由题意得 a2=a1+1,a3=a1a2+1,又 a1,a2,a3成等差数列，2a2=a1+a3 2 a1+1=a1+a1a1+1+1a12=1，所以a1=1(2)因为an+1+1=a1a2a3an,所以an+1=a1a2a3an-1n2，所以an+1+1=an+1an=an2+anan2=an+1-an+1所以a22+a23+a2n=a3-a2+1+a4-a3+1+an+1-an+1=an+1-a2+n-1又a1=12,a2=a1-1=-12,所以a21+a22+a2n=an+1+12+n-1+14=an+1+n-14由a21+a22+a2n=a1a2a3an-bn可得an

14、+1+n-14=an+1+1-bnbn=54-n当n=1时，b1=a1-a12=14符合通项，所以bn=54-n18.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c=b(sinA-cosA).(1)若sinB=10sinC,求sinA的值;(2)在下列条件中选择一个,判断ABC是否存在.如果存在,求b的最小值;如果不存在,说明理由.ABC的面积S=2+1;bc=4 2;a2+b2=c2.【解析】【解析】(1)由正弦定理2c=b(sinA-cosA)2Csin=Bsin(sinA-cosA)，把sinB=10sinC代入式得2Csin=10Csin(sinA-cosA)

15、,Csin0所以sinA-cosA=15联立方程sinA-cosA=15sin2A+cos2A=1 22Asin-25Asin-2425=0Asin-452Asin+65=0,在ABC中，Asin0,所以Asin=45(2)选a2+b2=c2,则C=2,由正弦定理2c=b(sinA-cosA)2Csin=Bsin(sinA-cosA)则2=2BsinA-4sinBsinA-4sin=2，因为BsinA-4sin12590,故方案二的概率更大21.(本小题满分12分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b0)的离心率为2,直线l1:y=2x+4 3 与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线

16、C的方程;(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点,求证:AMN的垂心在双曲线 C上.【解析】【解析】(1)因为双曲线离心率 e=ca=c2a2=1+b2a2=2,则a=b，可以设双曲线方程为：x2-y2=a2，又因为直线l1:y=2x+4 3 与双曲线C仅有一个交点，且这个直线不平行渐进线，故联立x2-y2=a2y=2x+4 3 3x2+16 3x+a2+48=0=768-12(a2+48)=0a2=16所以双曲线方程为：x216-y216=1(2)因为直线l2平行于l1，设l2:y=2x+t，联立x216-y216=1y=2x+t 3x2+4xt+t2+1

17、6=0=16t2-12(t2+16)0t248设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=-4t3,x1x2=t2+163则可得 MN 边上的高的方程为：y=-12(x+4)，则可以求出高与双曲线交点坐标，设交点为 Q，联立7x216-y216=1y=-12(x+4)3x2-8x-80=0 xA=-4，xQ=203则Q点坐标为203,-163，则QN=x2-203,y2+163,AM=(x1+4,y2)则QN AM=x2-203(x1+4)+y1y2+163又y1=2x1+t,y2=2x2+t则QN AM=x2-203(x1+4)+y1y2+163=x1x2-203x1+4x2-803+

18、(2x1+t)2x2+t+163=5x1x2+(2t+4)(x1+x2)+t2+163t-803又 x1+x2=-4t3,x1x2=t2+163则 QN AM=5x1x2+(2t+4)(x1+x2)+t2+163t-803=5t2+80-8t2-16t+3t2+16t-803=0所以QNAM所以AMN的垂心在双曲线上.22.(本小题满分1212分)已知kR,函数 f(x)=3ln(x+1)+2sin2x+kx,x(-1,2).(1)若k=0,求证:f(x)仅有1个零点;(2)若 f(x)有两个零点,求实数k的取值范围.【解析】【解析】(1)证：k=0时，f(x)=3ln(x+1)+2sin2x

19、，x(-1,2)，显然 f(0)=0法一：x(0,2)时，2x(0,)，则sin2x0，x+11，则ln(x+1)0，因此 f(x)0即x(0,2)时，f(x)无零点；x(-1,0)时，2x-2,0，则sin2x0，x+1(0,1)，则ln(x+1)0，因此 f(x)0，f(x)在(-1,2)上单调递增故 f(x)仅有1个零点0；(2)解：f(0)=0，f(x)=3x+1+cos2x+k，x(-1,2)f(x)=-3(x+1)2-2sin2x，x(-1,2)x0,2)时，f(x)0 x(-1,0)时，-3(x+1)2(-,-3)，2sin2x-2,0，则 f(x)0因此，f(x)0，f(x)至多一个零点，不符合题意，故k0f(2)0f(2)f31-k-10，f(x)递增；x(x0,2)时，f(x)0，则x0(0,2)，则 f(x0)f(0)=0f(x)在(-1,x0)上仅有1个零点0f(x)有两个零点，则 f(2)=3ln3+2k0，得：k-ln272,故k-4,-ln272；8k(-,-4)时，f(0)f(0)=0f(x)在(x0,2)上恰有1个零点0,ek3-1-1,e-43-1-2,0则 f ek3-1=2sin ek3-12+kek30,f ek3-1f(x0)0，f(x)在 ek3-1,x0上恰有1个零点综上，k(-,-4)-4,-ln2729