2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）.pdf

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1、2023 年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解母题呈现母题呈现考法 1 利用不等关系求最值（范围）【例 1】（2022三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点 A

2、(0，1)，焦点在 x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线 ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点 M，N.当|AM|AN|时，求 m 的取值范围【解题指导】【解题技巧】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练】【跟踪训练】（2022石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为2

3、 33，且过点6,1.(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A，B，且动点,C m n，,D mn在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，2,0M，2,0N，求PM PN的取值范围.考法 2 利用基本不等式求最值【例 2】（2022全国甲（理）T）20.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，3MF（1）求 C 的方程；（2）设直线,MD ND与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线 AB 的方程【解题指导】（1）由抛物线的定义=2pMFp

4、解方程求 p；（2）设点的坐标直线:1MN xmy韦达定理及斜率公式可得2MNABkk差角的正切公式及基本不等式得22ABk设直线:2AB xyn代入抛物线方程，韦达定理可解.【例 3】（2022河南焦作三模）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，直线8y 与抛物线C交于点P，且5|2PFp(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为 P，Q，求PQ的最小值【解题指导】AB方程与抛物线方程联立根与系数的关系P点坐标类比Q点坐标两点间距离基本不等式求最值【解题技巧】【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时

5、，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。基本不等式求最值的五种典型情况分析【跟踪训练】【跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为32，求AOB 面积的最大值考点 3 利用函数性质求最值（范围）【例 3】（2022湖北武汉二模）已知抛物线2:2(0)E ypx p，点1,4Qm为E上一点，且Q到E的准线的距离等于其到坐标原点O的距离.(1)求E的方程；(2)设AB为圆

6、22(2)4xy的一条不垂直于y轴的直径，分别延长,AO BO交E于,C D两点，求四边形ABCD面积的最小值.【解题指导】【解题技巧】【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。【跟踪训练】【跟踪训练】（2022绍兴一中模拟预测）如图所示，点 A，B 分别是椭圆x236y2201 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M

7、 的距离 d 的最小值模拟训练模拟训练1（2023河南统考模拟预测）已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点1,0F，点6 1,22M在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2,1P的直线l与椭圆C交于A，B两点若PAPB ，0AQQB，求OQ的最小值（O是坐标原点）2（2023湖南模拟预测）已知椭圆 C：222210 xyabab的上顶点为 B，O 为坐标原点，,02aP为椭圆 C 的长轴上的一点，若45BPO，且OPB 的面积为12(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)椭圆 C 与 x 轴负半轴交于点 A，过点 A 的直线 AM，AN 分别与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 A

8、M，AN 的斜率分别为AMk，ANk，且112AMANkk，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标，求出AMN 面积的最大值3（2023云南玉溪统考一模）如图，已知1,0F，直线 l：=1x，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且QP QFFP FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线与轨迹 C 交于 A，B 两点，与直线 l 交于点 M，设1MAAF，2MBBF，证明12定值，并求12 的取值范围4（2023辽宁沈阳统考一模）已知双曲线2222:10,0 xyEabab的离心率为 2，右焦点 F 到渐近线的距离为3，过右焦点 F 作斜率为

9、正的直线 l 交双曲线的右支于 A，B 两点，交两条渐近线于 C，D 两点，点 A，C 在第一象限，O 为坐标原点(1)求双曲线 E 的方程；(2)设OAC，OAD，OAB的面积分别是OACS，OADS，OABS，若不等式OACOADOABSSS恒成立，求的取值范围5（2023四川泸州统考二模）已知椭圆 C：222210 xyabab的焦点1,0F，点6 1,22P在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过点 F 与 l 垂直的直线与 C 交于 M，N 两点，求AM BN 的取值范围6（2023辽宁校联考模拟预测）已知双曲线2222:10

10、,0 xyCabab的右焦点为2,0F，过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M，N两点，点M关于y轴对称的点为P.当0MN MP 时，2 33MN.(1)求双曲线C的方程；(2)若MNP的外心为Q，求QFMN的取值范围.7（2023河南长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知椭圆2222:10 xyCabab的长轴长为 4，1F，2F为 C 的左、右焦点，点 P（不在 x 轴上）在 C 上运动，且12cosF PF的最小值为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过2F的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，记1FMN的内切圆的半径为 r，求 r 的取值范围.8（2023陕西安康统考二模）设

11、椭圆C：222210 xyabab过点0,1B，P为直线1l：0ykx k上不同于原点O的任意一点，线段OP的垂直平分线为2l，椭圆的两焦点1F，2F关于2l的对称点都在以P为圆心，3为半径的圆上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线1l与椭圆交于M，N两点，A为椭圆的右顶点，求四边形AMBN的面积的取值范围9（2023全国模拟预测）在平面直角坐标系中，圆22:3100Axy，3,0B-，C 为圆 A 上一点，线段 BC 的垂直平分线与线段 AC 交于点 P，记点 P 的轨迹为曲线 E(1)求曲线 E 的方程；(2)若过点5,82D且斜率存在的直线 l 交曲线 E 于点 M，N，线段 MN 上存在

12、点 S 使得DMSMDNSN，求SASB的最小值10（2023湖北校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点31,2A.(1)若椭圆 E 的离心率10,2e，求 b 的取值范围；(2)已知椭圆 E 的离心率32e，M，N 为椭圆 E 上不同两点，若经过 M，N 两点的直线与圆222xyb相切，求线段MN的最大值.圆锥曲线中的范围与最值问题圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(

13、3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解母题呈现母题呈现考法 1 利用不等关系求最值（范围）【例 1】（2022三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点 A(0，1)，焦点在 x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线 ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点 M，N.当|AM|AN|时，求 m 的取值范围【解题指导】【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，联立b1，ca32，a2b2c2，解得a2，b1，c 3.故椭圆的标准方程为x24y21.(2)设 P(x0，y0)为弦 MN 的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立yk

14、xm，x24y21，得(4k21)x28kmx4(m21)0.则 x1x28km4k21，x1x24m214k21.(8km)216(4k21)(m21)0，所以 m214k2.所以 x0 x1x224km4k21，y0kx0mm4k21.所以 kAPy01x0m14k24km.又|AM|AN|，所以 APMN，则m14k24km1k，即 3m4k21.把代入得 m23m，解得 0m3.由得 k23m140，解得 m13.综上可知，m 的取值范围为1(,3)3.【解题技巧】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范

15、围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练跟踪训练】（2022石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为2 33，且过点6,1.(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A，B，且动点,C m n，,D mn在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，2,0M，2,0N，求PM PN的取值范围.【解析】(1)设双曲线的标准方程为222210,0 xyabab，联立22222611,2 3,3abcabca得23a，

16、21b，所以双曲线的标准方程为2213xy.(2)已知,C m n，,D mn，3,0A，3,0B.当3m 时，动点P与点A，B重合，当3m 时，直线:33nAD yxm，直线:33nBC yxm，联立两直线方程得222233nyxm.又因为2213mn，即2233nm，所以22133yx，即2213xy.又2222PM PNPO OMPO OMPOOMPO，且1,3PO，所以1,1PM PN.考法 2 利用基本不等式求最值【例 2】（2022全国甲（理）T）20.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时

17、，3MF（1）求 C 的方程；（2）设直线,MD ND与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线 AB 的方程【解题指导】（1）由抛物线的定义=2pMFp解方程求 p；（2）设点的坐标直线:1MN xmy韦达定理及斜率公式可得2MNABkk差角的正切公式及基本不等式得22ABk设直线:2AB xyn代入抛物线方程，韦达定理可解.【解析】（1）抛物线的准线为2px ，当MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p，此时=32pMFp，所以2p，所以抛物线 C 的方程为24yx；（2）设222231241234,4444yyyyMyNyAyBy，直

18、线:1MN xmy，由214xmyyx可得2440ymy，120,4y y ，由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy，34223434444AByykyyyy，直线112:2xMD xyy，代入抛物线方程可得1214280 xyyy，130,8y y ，所以322yy，同理可得412yy，所以34124422MNABkkyyyy又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk，若要使最大，则0,2，设220MNABkkk，则2tantan112tan11 tantan1 241222kkkkkk，当且仅当12kk即22k 时，等号成立，所以当最大时，2

19、2ABk，设直线:2AB xyn，代入抛物线方程可得24 240yyn，34120,4416y yny y ，所以4n，所以直线:24AB xy.（2022河南焦作三模）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，直线8y 与抛物线C交于点P，且5|2PFp(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为 P，Q，求PQ的最小值【解题指导】AB方程与抛物线方程联立根与系数的关系P点坐标类比Q点坐标两点间距离基本不等式求最值【解析】1)依题意，设0,8P x由抛物线的定义得05|22pPFxp，解得：02xp，（2 分）【技巧】实现距离转

20、化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题因为0,8P x在抛物线2:2(0)C ypx p上，所以2082px，所以2822pp，解得：4p 故抛物线C的方程为28yx（4 分）(2)由题意可知(2,0)F，直线AB的斜率存在，且不为 0设直线AB的方程为2(0)xmym，11,A x y，22,B xy（6 分）【技巧】直线过 x 轴上定点（(,0)t），可巧设为(0)xmyt m.联立228xmyyx，整理得：28160ymy，则128yym，从而21212484xxm yym因为P是弦AB的中

21、点，所以242,4Pmm，（8 分）同理可得2442,Qmm则222222224411|42244PQmmmmmmmm42424242111144 224 228mmmmmmmm，当且仅当441mm且221mm，即1m 时等号成立，故PQ的最小值为 8（12 分）【解题技巧】【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。基本不等式求最值的五种典型情况分析【跟踪训练跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆 C 的方程

22、；(2)设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为32，求AOB 面积的最大值【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意知ca63，a 3，c 2，b1，所求椭圆方程为x23y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线 AB 的方程为 ykxm.由已知|m|1k232，得 m234(k21)把 ykxm 代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.36k2m24(3k21)(3m23)36k212m2120.x1x26km3k21，x1x23m213k21.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)13)1(12)1

23、3(3622222kmkmk12k213k21m23k2123k219k213k212312k29k46k213129k21k26(k0)3122364.当且仅当 9k21k2，即 k33时等号成立当 k0 时，|AB|3，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB 的面积取得最大值S12|AB|max3232.考点 3 利用函数性质求最值（范围）【例 3】（2022湖北武汉二模）已知抛物线2:2(0)E ypx p，点1,4Qm为E上一点，且Q到E的准线的距离等于其到坐标原点O的距离.(1)求E的方程；(2)设AB为圆22(2)4xy的一条不垂直于y轴的直径，分别延长,AO BO交E

24、于,C D两点，求四边形ABCD面积的最小值.【解题指导】【解析】（1）设抛物线焦点,02pF，由题意QOQF，故1224p，解得：1p.故抛物线的标准方程为22yx.(2)由题意，直线AC斜率存在且不为 0，设直线AC的方程为：ykx，设点1122,A x yC xy，2224ykxxy，联立得：22140kxx，由10 x，得124.1xk22ykxyx，联立得：2220k xx，由20 x，得222.xk2221222 311.1kACkxxkk因为ACBD，用1k代替k，得22222321231111kkkBDkkk.【技巧】运用类比思想，1k代替k，求得BD故四边形ABDC面积222

25、2266202 3131121kkkkSACBDk kkk.令216882,6tkt tStktt.设函数 222886862,60tf tttftttt，故()f t单调递增.故当2t，即1k=时，S取到最小值 16，所以四边形ABCD面积的最小值是 16.【技巧】利用换元,转化为函数问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定最值.【解题技巧】【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性，从而确定的最值或范围。【跟踪训练跟踪训练】（2022绍兴一中模拟预测）如图所示，点 A，B 分别是

26、椭圆x236y2201 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值【解析】(1)由已知可得点 A(6,0)，F(4,0)，设点 P 的坐标是(x，y)，则AP(x6，y)，FP(x4，y)，PAPF，APFP0，则x236y2201，x6x4y20，可得 2x29x180，得 x32或 x6.由于 y0，故 x32，于是 y5 32.点 P 的坐标是)235,23(.(2)由(1)可得直线 AP 的

27、方程是 x 3y60，点 B(6,0)设点 M 的坐标是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是|m6|2，于是|m6|2|m6|，又6m6，解得 m2.由椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，得 d2(x2)2y2x24x42059x2492)29(x15，由于6x6，由 f(x)492)29(x15 的图象可知，当 x92时，d 取最小值，且最小值为 15.模拟训练模拟训练1（2023河南统考模拟预测）已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点1,0F，点6 1,22M在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2,1P的直线l与椭圆C交于A，B两点若PAPB ，0AQQB

28、，求OQ的最小值（O是坐标原点）【分析】（1）根据椭圆定义求出a，再由焦点得c，即可得解；（2）设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出001xy，即Q是直线10 xy 上动点，再由点到直线距离求最小值即可.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为1,0，1c，由椭圆定义知222261612(1)(0)(1)(0)2 2.2222a 所以2,1,abc所以椭圆的标准方程为221.2xy（2）由题意知1，设112200(,),(,),(,).A x yB xyQ xy由PAPB ，0AQQB，得12122(1),1xxyy 且120120(1),(1).xxxyyy又A，B都在椭

29、圆上，所以222112222221,2.2xyxy两式作差，得212121212()()()()1()2xxxxyyyy 把12122(1)1xxyy 代入()式，得1212()()1.xxyy 又由120120(1)(1)xxxyyy，得121200()()(1)().xxyyxy所以001.xy所以O到直线10 xy 的距离2212.211d 经检验，此时垂足1 1(,)2 2Q在椭圆内部.所以OQ的最小值为22.2（2023湖南模拟预测）已知椭圆 C：222210 xyabab的上顶点为 B，O 为坐标原点，,02aP为椭圆 C 的长轴上的一点，若45BPO，且OPB 的面积为12(1)

30、求椭圆 C 的标准方程；(2)椭圆 C 与 x 轴负半轴交于点 A，过点 A 的直线 AM，AN 分别与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 AM，AN 的斜率分别为AMk，ANk，且112AMANkk，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标，求出AMN 面积的最大值【分析】（1）根据题意得到2ab与2ab，从而求得,a b，由此得解；（2）结合题意设直线 MN 的方程为xmyn，联立椭圆 C 的方程得到1212,yyy y，进而得到1212,xxx x，结合112AMANkk 即可得到关于n的方程，从而证得直线 MN 过定点1,0，再利用1212AMNSADyy，结合对勾函数的单调性即可得

31、解.【详解】（1）由已知0,0,452aBbPBPO，得2ab，即2ab，又因为12OPBS，所以111222ab，即2ab，解方程组22abab，得2,1ab，所以椭圆C的方程为2214xy.（2）由题意可知，直线 MN 的斜率不为 0，设1122,M x yN xy，直线 MN 的方程为xmyn，联立2214xmynxy，消去x，得2224240mymnyn，所以22222244441616640m nmnmn，212122224,44mnnyyy ymm，则22221212121212228442,44nnmxxm yynx xm y ymn yynmm，因为112AMANkk，所以12

32、1212212yyxx，即12121212412y yx xxx，所以22222222222244414441644164164161612444nnnmnmnnmnmnnmm，即220nn，解得1n 或2n ，因为当2n 时，直线MN的方程为2xmy，则直线MN经过2,0A，不符合题意，所以1n，满足0，此时直线MN的方程为1xmy，所以直线MN过定点1,0，记直线MN与x轴的交点为D，则D点坐标为1,0，当1n 时，12122223,44myyy ymm，22212121222222133412346222444AMNmmSADyyyyy ymmm，令23,3tmt，令13yttt，则21

33、10yt，故1ytt 在3,上单调递增，所以2113 366611(1)22323AMNtSttt，当且仅当233tm，即0m 时，AMN 面积取得最大值3 32.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.3（2023云南玉溪统考一模）如图，已知1,0F，直线 l：=1x，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且QP QFFP FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线与轨迹 C 交于 A，B 两点，与直线 l 交于点 M，设1MAAF，2MBB

34、F，证明12定值，并求12 的取值范围【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.（2）设直线 AB 的方程，求出点 M 的坐标，联立直线 AB 与轨迹 C 的方程后由韦达定理得12yy、12y y，由已知向量关系式可得1121my ，2221my ，进而求得12的值与12|的范围.【详解】（1）设点,P x y，则1,Qy，且1,0F由QP QFFP FQ 得 1,02,1,2,xyxyy，即22121xxy，化简得24yx故动点 P 的轨迹 C 的方程为：24yx（2）设直线 AB 的方程为：10 xmym，则21,Mm 联立直线 AB 与轨迹 C 的方程得241yxxmy，消去

35、x 得2440ymy，则24160m 设11,A x y，22,B xy，由韦达定理知，121244yymy y 由1MAAF，2MBBF 得：1112yym，2222yym，整理得1121my ，2221my 所以1212121221122422204yymmyymy ym 故12为定值 00m，212121221212242211m y ym yymymymy y 222|4244|111|4|mmmmm，12 的取值范围是1,【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到

36、关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.4（2023辽宁沈阳统考一模）已知双曲线2222:10,0 xyEabab的离心率为 2，右焦点 F 到渐近线的距离为3，过右焦点 F 作斜率为正的直线 l 交双曲线的右支于 A，B 两点，交两条渐近线于 C，D 两点，点 A，C 在第一象限，O 为坐标原点(1)求双曲线 E 的方程；(2)设OAC，OAD，OAB的面积分别是OACS，OADS，OABS，若不等式OACOADOABSSS恒成立，求的取值范围【分析】（1）根

37、据离心率和焦点到渐近线的距离，列出,a b c的方程组，解得结果即可.（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据题目条件，写出OABOCAODASSS，根据t的范围即可求出结果.【详解】（1）设双曲线22221xyab的右焦点(c,0)F，渐近线方程为0bxay，则右焦点F到渐近线的距离223bcdbab又2222,ccaba，则1,2ac，双曲线的方程为2213yx.（2）设直线l的方程为2,0 xtyt，设1122(,)(,)A x y B x y联立方程得，222233(31)12902xytytyxty1222213131129,ytyy yt2212310103.0tty y 303t

38、 渐近线方程为3yx 则 A 到两条渐近线的距离12,d d满足，2211111112|3|3|3|3,2244xyxyxydd联立方程得2133,22 313CCxtyxxytyt224|,13CCOCxyt联立方程得2133,22 313DDxtyxxytyt 224|,13DDODxyt121221114143|22221 31313OACOADSSOCdOD dd dttt12221212216 1|1 342OABOFAOFBtSSSOFyyyyy yt22 1OABOCAODAStSS.140,(2,3),33OABOCAODAStSS OACOADOABSSS恒成立即22 1OA

39、BOCAODAStSS恒成立，所求的取值范围为43,35（2023四川泸州统考二模）已知椭圆 C：222210 xyabab的焦点1,0F，点6 1,22P在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过点 F 与 l 垂直的直线与 C 交于 M，N 两点，求AM BN 的取值范围【分析】（1）将点6 1,22P代入椭圆方程，结合1c，222abc得出椭圆 C 的方程；（2）讨论直线 l 的斜率存在和为 0 的情况，联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合数量积运算得出2423341024kAM BNkk ，再由基本不等式得出所求范围.【详解】（1）

40、由题意可知，2222222161221cababc，解得2,1abc，故椭圆 C 的方程为2212xy；（2）当直线 l 的斜率不存在时，22(1,),(1,),(2,0),(2 0)22,ABMN，2231212222AM BN ，当直线 l 的斜率为 0 时，22(1,),(1,),(2,0),(2 0)22,NMAB，2231212222AM BN ，当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设其方程为ykxk，则直线MN的方程为11yxkk，由2212xyykxk，得2222(12)4220kxk xk，设23344112(,),(,),(,),(),A x yB xyM xyN xy，则

41、22121222422,1212kkxxx xkk，同理可得2343422422,22kxxx xkk，因为31314224,AMxx yyBNxxyy，所以 3421412342123341AM BNx xxx xyxx xy yy yyyy 21212343421(1)(1)(1)(1)kx xxxx xxxk2222222222241224(1)(1)(1)(1)1 21 222kkkkkkkkk224222423211361 2225kkkkkkkk 2421243340kkk因为24222224633310410410244104kkkkkkk（当且仅当21k 时，取等号），所以34

42、,23AM BN ，综上，34,23AM BN .【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键是将向量的数量积转化为韦达定理的形式，再由基本不等式得出范围.6（2023辽宁校联考模拟预测）已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点为2,0F，过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M，N两点，点M关于y轴对称的点为P.当0MN MP 时，2 33MN.(1)求双曲线C的方程；(2)若MNP的外心为Q，求QFMN的取值范围.【分析】(1)设双曲线的半焦距为c，由条件列关于,a b c的方程，解方程求,a b c可得双曲线方程；(2)设直线l的方程为2xty，利用设而不求法求点Q的坐标，利用t表示

43、QFMN，再求其范围.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，因为双曲线C的右焦点为2,0F，所以2c，因为点M和点P关于y轴对称，所以当0MN MP 时，直线l的方程为xc，联立22221xyabxc可得2bya，又2 33MN，所以22 323ba，又222cab，所以3,1ab，故双曲线方程为2213xy；（2）若直线l的斜率为 0，则直线l与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，所以可设直线l的方程为2xty，联立22132xyxty，消x，得223410tyty，方程223410tyty 的判别式222164312120ttt，设112211,M x yN xyPx y，则12122241

44、,33tyyy ytt，22121212121222123124,2433txxt yyx xt y yt yytt，由已知222123120,033ttt，所以33t，所以线段MN的中点坐标为2262,33ttt，所以线段MN的垂直平分线方程为222633tyt xtt，又线段MP的垂直平分线方程为0 x，所以点Q的坐标为280,3tt，所以2242228220010933tQFtttt，222221222 3112121133ttMNtyyttt所以42222109393131QFtttMNtt，所以238131QFMNt，33t，因为33t，所以2114t，所以283191t，所以13Q

45、FMN所以QFMN的取值范围为1,3.【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.7（2023河南长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知椭圆2222:10 xyCabab的长轴长为 4，1F，2F为 C 的左、右焦点，点 P（不在 x 轴上）在 C 上运动，且12cosF PF的最小值为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过2F的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，记1FMN的内切圆的半径为 r，求 r 的取值范围.【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得2a，再由余弦定理和基本不等式得出2

46、22112ba，即可求出椭圆C 的方程；（2）易知1FMN的周长为定值48a，利用等面积法可求得内切圆的半径与面积的表达式，联立直线l与椭圆C的方程写出1FMN面积的表达式再通过构造函数利用函数单调性即可求得内切圆的半径为 r 的取值范围.【详解】（1）由题意得2a，设1PF，2PF的长分别为 m，n，24mna，则在12FPF中，由余弦定理可得222222221222424222cos111222mncmnmncbbbFPFmnmnmnamn 当且仅当mn时取等号，从而222112ba，得2234ba，23b，所以椭圆的标准方程为22143xy.（2）设11,M x y，22,N xy，由题

47、意，根据椭圆的定义可得1FMN的周长为48a，111142NMFSFMF NNMrr，所以114NMFrS，设 l 的方程为1xty，联立椭圆方程223412xy，整理可得2243690tyty，易知0 且122643tyyt，122943y yt，11 21 212212112212121212111222142NMFF F MF F NSSSFFyFFyFFyyFFyyy y22222169121242434343ttttt，所以122131443NMFtrSt，令21tk，则1k，2331313krkkk，令函数 131,f xxxx，则 213fxx，当1,x时，2130fxx 恒成立

48、，所以 13f xxx在1,x上单调递增，则134kk，所以330143kk，即304r，故 r 的取值范围为304r.【点睛】方法点睛：求三角形内切圆半径可利用等面积法，把整个三角形看成三个以内切圆圆心为顶点的小三角形，根据三个小三角形面积之和与大三角形面积相等，建立三角形周长、面积与内切圆半径之间的关系式即可求得结果.8（2023陕西安康统考二模）设椭圆C：222210 xyabab过点0,1B，P为直线1l：0ykx k上不同于原点O的任意一点，线段OP的垂直平分线为2l，椭圆的两焦点1F，2F关于2l的对称点都在以P为圆心，3为半径的圆上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线1l与椭圆交于

49、M，N两点，A为椭圆的右顶点，求四边形AMBN的面积的取值范围【分析】（1）根据垂直平分线性质可知两焦点1F，2F关于2l的对称点距离等于线段12FF的长度，且对称点所连线段为圆 P 的直径，由此可得焦距长，继而求出椭圆C方程解析式；（2）利用韦达定理，找出M，N两点坐标关系，根据弦长公式求出MN长度，根据点到直线距离公式求出A，B两点到MN的距离，列式即可得出四边形AMBN的面积表达式，根据直线斜率范围即可得出面积范围.【详解】（1）设1F，2F关于2l的对称点分别为1F，2F，O为线段12FF的中点，P是12FF 的中点，12FF 是圆的直径，12122 3FFFF，3c 由已知1b，所以

50、椭圆C的方程为2214xy（2）设点11,M x y，22,N xy，其中12xx联立222211444xykxykx12214xk，2221 4xk221224 1114kMNkxxk点A、B到直线1l的距离分别为1221kdk，2211dk221222211 4 11 2441422 11221 41 414AMBNkkkkSMNddkkkkk114244kkkk当且仅当12k时取等号110144kk，41 1214kk，2,2 2AMBNS9（2023全国模拟预测）在平面直角坐标系中，圆22:3100Axy，3,0B-，C 为圆 A 上一点，线段 BC 的垂直平分线与线段 AC 交于点