2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）.docx

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1、2023年高考数学热点专题解析几何模型通关2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题 思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 母题呈现考法1 参数法求证定点【例1】(2022临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为，且.证明：直线A

2、B恒过定点，并求出该定点的坐标【解题指导】【例2】（2022福建漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：是直角三角形；（2）轴上是否存在一定点，使三点共线.【解题指导】【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020新课标卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一

3、交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.考法2 先求后证法求证定点【例3】（2022合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率焦点到直线的距离列方程组求a,b的值椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时为直径的圆的方程当直线l斜率为0时为直径的圆的方程两圆的交点Q当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【例4】（2022全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点（1）求E的方

4、程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点设出直线方程与椭圆C的方程联立求HN的方程是否过定点.【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)0上，即f(x1，y1)0消参.【跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.

5、(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足APAQ，求证：直线PQ过定点. 模拟训练1（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.2（2023山西晋中统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标3（2023贵州毕节统考一模

6、）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点当直线垂直于轴时，(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由从点关于轴的对称点与，三点共线；轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分4（2023江苏泰州统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.5（2023全国模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上.(1)求的标准方程；(2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个

7、交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.6（2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.7（2023浙江模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）(1)求双曲线E的标准方程(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由8（2023山东威海统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A

8、，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.(1)求证：；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.9（2023山东烟台二中校考模拟预测）已知椭圆过点，且的焦距是椭圆的焦距的3倍(1)求的标准方程；(2)设M，N是上异于点P的两个动点，且，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由10（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为(1)求E的方程；(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定

9、点圆锥曲线中的定点问题 思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 母题呈现 考法1 参数法求证定点【例1】(2022临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为，且.证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标【解题指导】【解析】(1)设P点坐标为(x0，y0

10、)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx0，y0)，(cx0，y0)由题意得解得c23，c.又e，a2.b2a2c21.所求椭圆C的方程为y21.(2)设直线AB方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去y得(4k21)x28kmx4m240.x1x2，x1x2.又由，tan tan 1，设直线MA，MB斜率分别为k1，k2，则k1k21，1，即(x12)(x22)y1y2.(x12)(x22)(kx1m)(kx2m)，(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240，(k21)(km2)m240，化简得20k216km3m20，解得m2k，或mk.当m2k时，ykx2

11、k，过定点(2,0)，不合题意(舍去)当mk时，ykxk，过定点，直线AB恒过定点【例2】（2022福建漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：是直角三角形；（2）轴上是否存在一定点，使三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线的方程为，设，切线斜率为，则切线方程为， （2分）将其与联立消得.所以，化简得， （4分）所以，所以.即是直角三角形. （6分）（2） 由（1）知时，方程的根为设切点，则.因为，所以. （10分）设， 【点拨】由M点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零 与联立消得，则，所以，解得

12、，所以直线过定点.即轴上存在一定点，使三点共线. （12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020新课标卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）设，则直线的方程为：，即

13、：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点考法2 先求后证法求证定点【例3】（2022合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率焦点到直线的距离列方程组求a,b的值椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时为直径的圆的方程当直线l斜率为0时为直径的圆的方程两圆的交点Q当直线的斜

14、率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【解析】（1） 由题意，所以，.又，所以，故椭圆的方程为（2）当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为下证符合题意设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入并整理得，设，则， ，所以 故，即在以为直径的圆上综上，以为直径的圆恒过定点【例4】（2022全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点【解题指导】（1）将给定点代入设出的方

15、程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点设出直线方程与椭圆C的方程联立求HN的方程是否过定点.【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，则，解得，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)

16、0上，即f(x1，y1)0消参.【跟踪训练】（2022江苏淮安模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足APAQ，求证：直线PQ过定点.【解析】(1)因为，所以由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中所以所以曲线C的方程为：(2)若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，联立求解可得，直线PQ过点.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，代入，整理得：则因为APAQ，所以整理得解得或因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意故，

17、代入，得，过定点.综上，直线PQ过定点. 模拟训练1（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.【分析】（1）设，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据建立方程求出得解；（2）由直线方程求出的坐标，计算，设是以线段为直径的圆上任意一点，根据化简，根据对称性令可得解.【详解】（1）设，则联立得，所以，所以，又，所以由得，即所以，化简得，又，所以，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，所以，易得，由题意知，所以令得，即，所以设是以线段为直径的圆上得任意一点，则有

18、，即，由对称性令得，所以或所以以线段为直径的圆经过定点，定点坐标为与.【点睛】关键点点睛：求出的点的坐标，计算出为定值，是解题的关键之一，其次写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程，由对称性，令求定点是解题的关键.2（2023山西晋中统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标【分析】（1）把点代入双曲线的标准方程，结合其离心率来联立方程求解即可；（2）根据题意当时，设出直线方程为，并设交点，联立直线与曲线的方程，利用韦达定

19、理可得，从而由题意推出直线PQ恒过定点，最后检验当时，也符合题意即可.【详解】（1）由题意可知 ，解得 ,故双曲线C的方程为（2）证明：A，B为双曲线的左、右顶点，又当时，可得，又点P在双曲线上，设，：，与双曲线C的方程联立得，解得，此时满足，直线PQ恒过点当时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为综上，直线PQ恒过点3（2023贵州毕节统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点当直线垂直于轴时，(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由从点关于轴的对称点与，三点共线；轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“_”处并作答注：如

20、果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分【分析】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为，根据抛物线的定义，则C的方程可求；（2）若选，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，得直线的方程即可判断；若选，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，设，由题意，结合韦达定理得对任意的恒成立，则，得出答案【详解】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为根据抛物线的定义，则抛物线方程为：（2）若选，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，设直线的方程为：，设，联立，得，恒成立得，直线的斜率直线的方程为由，化简得直线过定点，存在若选，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，设

21、直线的方程为：设，设联立，得，恒成立得，轴平分，即对任意的恒成立，则存在4（2023江苏泰州统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【分析】（1）根据题意，可得，进而求解；（2）设方程为，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，即，由题意，可得，解得，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，对恒成立，以

22、为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，而，即对恒成立，即以为直径的圆经过定点.5（2023全国模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上.(1)求的标准方程；(2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【分析】（1）由题意求出点E的坐标，将点E的坐标代入直线的方程，求出a的值，代入即可得的标准方程.（2）判断直线的斜率是否存在,设出直线的方程并与椭圆方程联立,利用斜率间的关系建立等式,并借助根与系数的关系求参数间的关系,从而可写出直线的点斜式

23、方程得到其所过定点，进而整合证明结论.【详解】（1）由题意知，直线，即，则直线过点A，因为当时，点E在y轴上，又 E在椭圆上，所以当E在y轴上时，E为椭圆的上顶点或下顶点，又，所以E为椭圆的上顶点，所以，又点E在直线上，所以，解得， 所以的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，点关于x轴对称，此时的斜率为，这与的斜率为相矛盾，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，由，消去y，得，需满足，设，则，. 由题意得，则，得，即， 所以，所以，即，解得或. 若，则直线的方程为，即，则直线恒过定点，不符合题意. 若，则直线的方程为，即，则直线恒过定点，综上，直线恒过定点，定点坐标为.【点睛】在证明直线恒

24、过定点时，设直线方程，和曲线方程联立，得到根与系数的关系式，此时的关键是要利用直线的斜率与直线的斜率之间的关系建立等式，进行化简，得到之间的关系，从而证明直线过定点.6（2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.【分析】（1）根据离心率可得，设点结合椭圆方程整理得，根据题意分类讨论求得，即可得结果；（2）设直线及的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由

25、椭圆的离心率为，得，设点为椭圆上一点，则，则，因为，所以，当时，解得（舍去）；当时，解得；综上所述：，则，故椭圆的标准方程为.（2）当斜率不存在时，设且，则，则直线为，令，得，即，同理可得.与关于轴对称，则，解得，矛盾；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，其中且，联立方程组，消去化简可得，则，所以，由，可得，所以直线的方程为，令，得，即，直线的方程为，令，得，即，因为和关于轴对称，则，把代入上式，则，整理可得，则，则，可得，化简可得，则直线的方程为，即，所以直线过定点；综上所述：直线过定点.【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为

26、ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)（2）动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点7（2023浙江模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）(1)求双曲线E的标准方程(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出

27、AC方程，求出，由B点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.【详解】（1）法一由解得，双曲线E的标准方程为法二左右焦点为，双曲线E的标准方程为（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为，联立消去x得，AC的方程为，令，得，BD的方程为，令，得， ，解得或，即或（舍去）或（舍去），CD的方程为，直线CD过定点，定点坐标为方法二直线CD不可能水平，设CD的方程为，联立，消去x得，AC的方程为，BD的方程为

28、，分别在AC和BD上，两式相除消去n得，又，将代入上式，得整理得，解得或（舍去）CD的方程为，直线CD过定点，定点坐标为【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.8（2023山东威海统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.(1)求证：；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.【分析】（1）设点，根据已知得出，直线的方程，直线的方程，分别令方程，即可得出M，N两点坐标，即可根据两

29、点求出直线与的斜率，得出，即可证明；（2）设直线的方程为，点，直线的方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理得出，再根据原方程得出，根据第一问求得的M，N两点坐标，得出，即可的，代入化简即可得出与的关系式，代回原直线的方程即可得出原方程恒过定点.【详解】（1）设点，即，且，则直线的方程为，直线的方程为，分别令，得，即，则，则；（2）设直线的方程为，点，由，消去，整理得：，则，则，则，则，代入化简得：，则或，则直线的方程为或，化为恒过点，不合题意，舍去，化为恒过点，则直线PQ恒过定点.9（2023山东烟台二中校考模拟预测）已知椭圆过点，且的焦距是椭圆的焦距的3倍(1)求的标准方程；(2)设M，N是上异

30、于点P的两个动点，且，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的标准方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用直线与椭圆的交点以及列方程，整理后可求得定点坐标.【详解】（1）由题意得，化简得，又过点所以，联立解得，所以的标准方程为（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，所以，因为，所以，所以，即，所以，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为恒过点（舍去）；当时，直线的方程为恒过点，此时直线恒过点；当直线的斜率不存在时，设，则，所以由，得，所以，所以，解得或（舍去），此时直线的方程为，恒过点，综上，直线恒过定点，定点的

31、坐标为10（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为(1)求E的方程；(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点【分析】（1）由已知求得得椭圆方程；（2）题意说明A与D，B与C分别关于x轴对称，设，则，利用直线方程求得与的交点坐标（用表示），设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，把它代入与的交点坐标得常数，从而得证结论【详解】（1），又，椭圆E的方程为（2）直线与的倾斜角互补，且交于点，直线与关于x轴对称，A与D，B与C分别关于x轴对称设，则，直线的方程为，直线的方程为，联立解得，直线与交于点设直线的方程为，与椭圆E的方程联立得，由题意得，解得，又，直线与交于定点【点睛】方法点睛：椭圆中的定点问题，一般设动点坐标为，利用此坐标求得直线的交点坐标，再证此交点坐标为常数即可，然后引入参数，设出直线方程，与椭圆方程联立后消元应用韦达定理得（或），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点