新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）期中专题04 圆锥曲线大题综合 解析版.pdf

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1、新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）期期中专题中专题 0404 圆锥曲线大题综合圆锥曲线大题综合1（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线2yx 为渐近线，焦点是3,0，3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为 6 的椭圆2（2022 秋广东江门高二校考期中）已知抛物线22(0)ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4(1)求 p 的值；(2)过焦点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A，B 两点，求|AB3（2022 秋广东深圳高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C

2、的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点0,1且长轴长为2 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1,0M且斜率为 1 的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长AB.4（2022 秋广东江门高二校考期中）椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为32，短轴长为2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)经过点 A（2，3）且倾斜角为4的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求|MN|5（2022 秋广东江门高二校考期中）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为32，2a.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A且倾斜角为4的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求线

3、段 MN 的长.6（2022 秋广东梅州高二校考期中）已知 P 为椭圆 E:22221xyab(0)ab上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M 为 PF1中点.如图所示:若1122OMPF，离心率32e.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)已知直线 l 倾斜角为 135，经过(2,1)且与椭圆交于 A，B 两点，求弦长|AB|的值.7（2022 秋广东广州高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)Fm（m 是大于 0 的常数）(1)求椭圆的方程；(2)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M若|2|MQQF ，求直线 l 的斜率8（2

4、022 秋广东深圳高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆 C：222210 xyabab过点2,1P，且离心率32e.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为12，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若5AB，求直线 l 方程.9（2022 秋广东深圳高二深圳外国语学校校考期中）已知点11,0F，圆222116Fxy：，点Q在圆2F上运动，1QF的垂直平分线交2QF于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)直线l与曲线C交于MN、两点，且MN中点为1,1，求直线l的方程.10（2022 秋广东广州高二校联考期中）已知两定点4,0A，1,0B，动点 P 满足2PAPB，直线:l2

5、11530mxmym(1)求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点 P 的轨迹为曲线 E，把曲线 E 向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线E，求直线l被曲线E截得的最短的弦长；(3)已知点 M 的坐标为5,3，点 N 在曲线E上运动，求线段 MN 的中点 H 的轨迹方程11（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，且经过点31,2P(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykxm与椭圆C交于MN、两点，O为坐标原点，直线OMON、的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由12（20

6、22 秋广东江门高二校考期中）动点 N（x，y）与定点 F（1，0）的距离和 N到定直线2x 的距离的比是常数22(1)求动点 N 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点(2,0)M，设直线 MA 与直线 MB 的斜率分别为1k，2k随着直线 l 的变化，12kk是否为定值？请说明理由13（2022 秋广东广州高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyabab的右顶点坐标为(2,0)A，左、右焦点分别为12,F F，且122FF，(1)求椭圆的方程；(2)若直线 L 与椭圆相切，求证：点12,F F到直线 L 的距离之积为定值14（2022 秋广东

7、广州高二校联考期中）如图，已知圆22:430M xxy，点1,Pt为直线:1l x 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；(2)求线段AB中点的轨迹方程；15（2022 秋广东江门高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点(2,2)在椭圆 C 上，点 F 是椭圆 C 的右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，则在 x 轴上是否存在一点 P，使得直线 l绕点 F 无论怎样转动都有0PMPNkk？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由16

8、（2022 秋广东广州高二南海中学校考期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点4,0A，4,0B，M 是一个动点，且直线 AM，BM 的斜率之积是34，记 M 的轨迹为 E(1)求 E 的方程；(2)若过点2,0F且不与 x 轴重合的直线 l 与 E 交于 P，Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为1P（1P与 Q 不重合），直线1PQ与 x 轴交于点 G，求点 G 的坐标17（2022 春广东汕头高二校考期中）已知椭圆 C：222210 xyabab过点2,1P，且离心率32e(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为12，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点求PAB面积的最

9、大值18（2022 春广东广州高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆2222:1(0)xyCabab的左顶点(2,0)A，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N两点，当直线lx轴时，|3MN.(1)求椭圆 C 的方程；(2)记,AMFANF的面积分别为12,S S，求12SS的取值范围.19（2022 春广东广州高二二师番禺附中校考期中）已知点 A 的坐标为2 3,0，点B 的坐标为2 3,0，且动点 M 到点 A 的距离是 8，线段 MB 的垂直平分线交线段 MA于点 P.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)已知(2,1)D，过原点且斜率为 k(0k)的直线 l 与曲线

10、 C 交于 E、F 两点，求DEF面积的最大值.20（2022 春广东深圳高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知椭圆C:22221(0)xyabab的焦距为 2，点31,2P在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求OMN面积的最大值.21（2022 春广东深圳高二校考期中）已知抛物线2:20C xpy p的焦点为 F，过F 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，当 A，B 两点的纵坐标相同时，4AB(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 P，Q 为抛物线 C 上两个动点，0PQm m，E 为 PQ 的中点，求点 E

11、 纵坐标的最小值22（2022 秋广东深圳高二校考期中）已知椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为22，短轴顶点分别为M、N，四边形12MFNF的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为2,1，求直线l的方程.23（2022 秋广东广州高二校联考期中）已知椭圆221:1164xyE,22222:10,4xyEabaab的离心率相同.点00,Pxy在椭圆1E上，11,A x y、22,B xy在椭圆2E上.(1)若2OPOQ，求点Q的轨迹方程；(2)设1E的右顶点和上顶点分别为1A、1B，直线1AC、1B D分别

12、是椭圆2E的切线，C、D为切点，直线1AC、1B D的斜率分别是1k、2k，求2212kk的值；(3)设直线PA、PB分别与椭圆2E相交于E、F两点，且ABtEF tR ，若M是AB中点，求证：P、O、M三点共线（O为坐标原点）.24（2022 秋广东广州高二校联考期中）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为2 3,0F，长轴长为8椭圆上有两点P、Q，连接OP、OQ，记它们的斜率为OPk、OQk，且满足14OPOQkk(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：22OPOQ为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ与椭圆的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线4 3x=交于点M、N，若PQR和PMN的面

13、积相等，求点P的横坐标25（2022 秋广东高二校联考期中）设椭圆：222210 xyabab，1F，2F是椭圆的左、右焦点，点31,2A在椭圆上，点4,0P在椭圆外，且243PF(1)求椭圆的方程；(2)若31,2B，点C为椭圆上横坐标大于 1 的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于 M，N 两点，O为坐标原点，记OMN，PMN的面积分别为1S，2S，求221122SS SS的最小值26（2022 秋广东阳江高二统考期中）已知椭圆2222:10yxCabab的上下焦点分别为1F，2F，左右顶点分别为1A，2A，且四边形1122AF A F是面积为 8 的正方形.

14、(1)求 C 的标准方程.(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，12/MFNF，2MF与1NF的交点为P，试问12PFPF是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.27（2022 春广东广州高二广东番禺中学校考期中）已知定点3,0P，圆Q:22316xy，N为圆Q上的动点，线段NP的垂直平分线和半径NQ相交于点M(1)求点M的轨迹的方程；(2)直线l:xkyn与曲线相交于 A，B 两点，且以线段 AB 为直径的圆经过点 C（2，0），求ABC面积的最大值.28（2022 春广东广州高二广州科学城中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2 3，其短轴的两个端点与

15、右焦点的连线构成正三角形（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过点(0,2)P的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，当OMN的面积最大时，求 l 的方程29（2022 秋广东深圳高二深圳市高级中学校考期中）曲线上动点 M 到 A（2，0）和到 B（2，0）的斜率之积为14（1）求曲线的轨迹方程；（2）若点 P（x0，y0）（y00）为直线 x4 上任意一点，PA，PB 交椭圆于 C，D 两点，求四边形 ACBD 面积的最大值30（2022 春广东汕头高二金山中学校考期中）已知椭圆2222:10,0 xyCabab的焦距为2 3b，经过点2,1P（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 O

16、为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足OMNO，直线PMPN，分别交椭圆于 A，BPQAB，Q 为垂足是否存在定点 R，使得QR为定值，说明理由期中专题期中专题 0404 圆锥曲线大题综合圆锥曲线大题综合1（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线2yx 为渐近线，焦点是3,0，3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为 6 的椭圆【答案】(1)22136xy(2)221259xy或221259yx【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221xyab(0a，0b)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a，b即可；（2）分椭圆的焦点

17、在x轴时和y轴时讨论求解即可.【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，由焦点坐标可知3c，双曲线的渐近线方程为2yx，可得2ba，又222abc，解得3a，6b，所以双曲线的方程为22136xy.（2）解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为22221xyab(0)ab，由题可得2224526cababc，解得5a，3b，所以椭圆方程为221259xy；当焦点在y轴时，设椭圆方程为22221yxab(0)ab，由题可得2224526cababc，解得5a，3b，所以椭圆方程为221259yx；所以，所求椭圆方程为221259xy或221259yx.2（2022 秋广东江

18、门高二校考期中）已知抛物线22(0)ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4(1)求 p 的值；(2)过焦点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A，B 两点，求|AB【答案】(1)4p；(2)|16|AB【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线AB的方程，与抛物线进行联立可得21240 xx，利用韦达定理可得1212xx，即可得到答案【详解】（1）由抛物线22(0)ypx p可得焦点,02pF，准线方程为2px ，又因为抛物线22(0)ypx p的焦点到其准线的距离为4，所以4p；（2）由（1）可得抛物线的方程为28yx，

19、所以焦点(2,0)F，则直线AB的方程为2,yx设1122,A x yB xy，联立228yxyx，整理可得21240 xx，所以1212xx，由抛物线的性质可得12|12416ABxxp3（2022 秋广东深圳高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点0,1且长轴长为2 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1,0M且斜率为 1 的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长AB.【答案】(1)2212xy(2)4 23【分析】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得2,1ab，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得直线l的方程为1xy，代入椭圆方程中，利用根与系数的

20、关系，结合弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意设椭圆的方程为22221(0)xyabab，因为椭圆C经过点0,1且长轴长为2 2，所以2,1ab，所以椭圆方程为2212xy，（2）因为直线l过点1,0M且斜率为 1，所以直线l的方程为1yx，设1122(,),(,)A x yB xy，将1yx代入2212xy，得22(1)12xx，整理得2340 xx，所以12124,03xxx x，所以2212121()4ABkxxx x2244 21 14 033 4（2022 秋广东江门高二校考期中）椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为32，短轴长为2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)

21、经过点 A（2，3）且倾斜角为4的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求|MN|【答案】(1)2214xy(2)8 25【分析】（1）直接根据条件列关于,a b c的方程求解即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出 M，N 两点的坐标，利用两点距离公式即可得答案.【详解】（1）由已知得2223222cababc，解得21ab所以椭圆 C 的标准方程为2214xy；（2）由已知直线 l 的方程为32yx，即1yx，联立22114yxxy，消去y得2580 xx，解得0 x 或85x ，830,1,55MN22838 21555MN.5（2022 秋广东江门高二校考期中）已知椭圆 C：22221(

22、0)xyabab的离心率为32，2a.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A且倾斜角为4的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求线段 MN 的长.【答案】(1)2214xy(2)8 25【分析】(1)根据椭圆的离心率32，2a 可得3c，由222abc可得1b，进而可求椭圆解方程；(2)求出直线l的方程，然后将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解【详解】（1）由椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为32，2a 可得：3c，又因为222abc，所以1b，故所求椭圆方程为2214xy.（2）由题意可知：直线l的方程为：32yx，也即1yx，设11(,)M

23、 x y，22(,)N xy，联立方程组22114yxxy，消元可得：2580 xx，则1285xx，120 x x，由弦长公式可得：221212128 21245MNkxxxxx x，所以线段MN的长为8 25.6（2022 秋广东梅州高二校考期中）已知 P 为椭圆 E:22221xyab(0)ab上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M 为 PF1中点.如图所示:若1122OMPF，离心率32e.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)已知直线 l 倾斜角为 135，经过(2,1)且与椭圆交于 A，B 两点，求弦长|AB|的值.【答案】(1)2214xy;(2)8 25.【分析】（1）由题意可得

24、1224PFPFa，根据离心率求得3c，进而可得椭圆方程；（2）由题设有:10AB xy，联立椭圆方程求得(0,1)A，8 3(,)5 5B，应用两点距离公式即可求弦长|AB|.【详解】（1）在12PFF中21|2OMPF，则12111()222OMPFPFPF，所以1224PFPFa，故2a，又32cea，则3c，故21b，所以椭圆 E 的标准方程2214xy.（2）由题设，直线:1tan135(2)AB yx，即:10AB xy，联立2214xy并整理得：2580 xx，可得0Ax，85Bx ，所以1Ay ，35By，即(0,1)A，8 3(,)5 5B，故22838 2|(0)(1)55

25、5AB .7（2022 秋广东广州高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)Fm（m 是大于 0 的常数）(1)求椭圆的方程；(2)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M若|2|MQQF ，求直线 l 的斜率【答案】(1)2222143xymm(2)2 6k 或0k【分析】（1）根据条件得cm，椭圆的焦点在 x 轴，根据离心率求得 a 的值，写出方程即可；（2）设出 Q 点坐标和直线方程，根据直线方程得出 M 点坐标，对|2|MQQF 分类讨论，分别用 k 表示出 Q 点坐标，代入椭圆方程即可求得.【详解】（1）由已知得，椭圆的焦点

26、在 x 轴，设方程为222210 xyababcm，12cea，则2am，22223bacc所以，椭圆的方程为2222143xymm（2）设00,Q xy，直线:()lyk xm，则点(0,)Mkm当2MQQF 时，由(,0)Fm，(0,)Mkm，知000(,)2,oxykmmxy解得，023xm，013ykm点 Q 在椭圆上，所以有22222499143mk mmm，解得，2 6k 当2MQQF 时，由(,0)Fm，(0,)Mkm，知000(,)2,oxykmmxy 解得，02xm，0ykm 点 Q 在椭圆上，所以有222224143mk mmm，解得，0k 综上所述，2 6k 或0k.8（

27、2022 秋广东深圳高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆 C：222210 xyabab过点2,1P，且离心率32e.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为12，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若5AB，求直线 l 方程.【答案】(1)22182xy(2)132yx【分析】(1)根据离心率求出参数的关系，再根据椭圆过点(2,1)P，进而求解；(2)设l的方程为12yxm，联立方程组，利用韦达定理求出两交点坐标的关系，再利用弦长公式即可求解.【详解】（1）因为32e，所以22222222314cabbeaaa，所以224ab，又椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,

28、1)P，所以22411ab，所以228,2ab，故所求椭圆方程为：22182xy.（2）设l的方程为12yxm，点1122(,),(,)A x yB xy，联立方程组2218212xyyxm，整理，得222240 xmxm，所以22=48160mm，解得：22m，所以122xxm，21224x xm，则22121211+()45(4)54ABxxx xm，解得：3m .故所求直线l的方程为132yx.9（2022 秋广东深圳高二深圳外国语学校校考期中）已知点11,0F，圆222116Fxy：，点Q在圆2F上运动，1QF的垂直平分线交2QF于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)直线l与曲线

29、C交于MN、两点，且MN中点为1,1，求直线l的方程.【答案】(1)22143xy(2)3470 xy【分析】（1）由椭圆的定义求解，（2）由点差法得直线斜率后求解，【详解】（1）由题可知，1PFPQ则122212422PFPFPQPFQFFF由椭圆定义知P的轨迹是以1F、2F为焦点，且长轴长为4的椭圆，21ac，2223bacP的轨迹方程为C：22143xy（2）设1122,()()M x yN xy，,MN，都在椭圆22+143xy上，2211+143xy，2222+143xy，相减可得12121212()()()()+043xxxxyyyy，又MN中点为1,1，12122,2xxyy，1

30、21234yyxx，即直线l的斜率为34，直线l的方程为31(1)4yx ，即3470 xy,因为点1,1在椭圆内，所以直线3470 xy与椭圆相交于两点，满足条件.故直线l的方程为3470 xy.10（2022 秋广东广州高二校联考期中）已知两定点4,0A，1,0B，动点 P 满足2PAPB，直线:l211530mxmym(1)求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点 P 的轨迹为曲线 E，把曲线 E 向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线E，求直线l被曲线E截得的最短的弦长；(3)已知点 M 的坐标为5,3，点 N 在曲线E上运动，求线段 MN 的中点

31、H 的轨迹方程【答案】(1)动点 P 的轨迹方程是224xy，轨迹是以原点为圆心，半径为 2 的圆；(2)2 3；(3)22321xy【分析】（1）设点,P x y，由题可得2222421xyxy，进而即得；（2）由题可得圆E：22114xy，然后根据圆的性质及弦长公式即得；（3）设,H x y，00,N xy，根据坐标关系可得002523xxyy，代入曲线E的方程进而即得.【详解】（1）设点,P x y，由2PAPB得2222421xyxy，化简得224xy，动点 P 的轨迹方程是224xy，轨迹是以原点为圆心，半径为 2 的圆；（2）曲线 E 的方程为224xy，曲线E的方程为22114x

32、y，圆心为1,1E在，半径为 2，又直线l可化为2530 xymxy，由25030 xyxy，可得21xy，直线l恒过定点2,1D，由平面几何知识可知，当直线l垂直于ED时被截得的弦长最短，1E D，半径为 2，最短弦长为22 212 3；（3）设,H x y，00,N xy，又点 M 的坐标为5,3，所以005232xxyy，002523xxyy，点 N 在圆E：22114xy上运动，2200114xy，所以2225 123 14xy，即22321xy，点 H 的轨迹方程是22321xy11（2022 秋广东江门高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为1

33、2，且经过点31,2P(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykxm与椭圆C交于MN、两点，O为坐标原点，直线OMON、的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由【答案】(1)22143xy(2)为定值3，求解过程见详解【分析】（1）将31,2P代入标准方程得,a b关系，由离心率得,a c关系，结合222abc即可求解；（2）设1122,M x yN xy，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于34求出k与m关系，由弦长公式求出MN，由点到直线距离公式求出OMN的高，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】（1）因为椭圆过31,2P，故221914ab，又22214cea，222a

34、bc，联立解得2221,3,4cba，所以椭圆C的方程为22143xy；（2）设1122,M x yN xy，联立22143xyykxm得2224384120kxkmxm，2222284341248 430kmkmkm，12221228434343kmxxkmx xk，221 212121212121 2OMONk x xkm xxmyykxm kxmkkxxxxx x22222222222222438438434343434343mkmkkmmkmk mmkkkmmk222343443mkm，即22243mk，222222121 2222434 381414143432mmkmMNkxxx

35、xkkkkm，原点到直线的距离21mdk，所以2224 311132221OMNmmSMNdkmk，所以OMN的面积为定值.12（2022 秋广东江门高二校考期中）动点 N（x，y）与定点 F（1，0）的距离和 N到定直线2x 的距离的比是常数22(1)求动点 N 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点(2,0)M，设直线 MA 与直线 MB 的斜率分别为1k，2k随着直线 l 的变化，12kk是否为定值？请说明理由【答案】(1)2212xy(2)12kk为定值，理由见详解【分析】（1）根据题意，列方程，即可得轨迹；（2）当直线l与x轴重合时，此时明

36、显有120kk，当直线l不与x轴重合时，设为111,(,)xmyA x y，22(,)B xy，与椭圆联立，利用消去x，利用韦达定理计算12121222yykkxx即可得答案.【详解】（1）由已知得222(1)|2|2xyx，化简得2212xy，即动点 N 的轨迹 C 的方程为2212xy；（2）当直线l与x轴重合时，此时明显有12120,00,kkkk，当直线l不与x轴重合时，设为111,(,)xmyA x y，22(,)B xy，联立22112xmyxy，消去x得22(2)210mymy，1221222212myymy ym 121221121212(1 2)(1 2)22(1 2)(1

37、2)yyy myy mykkxxmymy 2212211212122()2()220(1)(1)(1)(1)mmmy yyymmmymymymy12kk为定值0.13（2022 秋广东广州高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyabab的右顶点坐标为(2,0)A，左、右焦点分别为12,F F，且122FF，(1)求椭圆的方程；(2)若直线 L 与椭圆相切，求证：点12,F F到直线 L 的距离之积为定值【答案】(1)22143xy(2)证明见解析【分析】（1）根据22222,2,3cabac，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxb 与椭圆

38、方程联立，由0，可得2234bk，结合点到直线的距离公式，即可求得点12,F F到直线 l 的距离之积为定值【详解】（1）因为12|22FFc，则 c1，因为2222,3abac，所以椭圆的方程22143xy；（2）证明：椭圆的左、右焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，当直线 l 垂直于 x 轴时，因为直线 l 与椭圆相切，所以直线 l 的方程为2x ，此时点12,F F到直线 l 的距离一个为11d，另一个为23d，所以123d d，当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 ykxb,联立2234120ykxbxy，消去 y,整理得222(34)84120kxkbxb，所以

39、，222222644(34)(412)16(9 123)k xkbkb，因为直线 l 与椭圆相切，0，所以，2234bk，因为1(1,0)F 到直线 l 的距离为12|1kbdk，2(1,0)F到直线 l 的距离为22|1kbdk，所以，222221222222|(34)|33|311111kbkbkbkkkd dkkkkk，所以点12,F F到直线 l 的距离之积为定值，且定值为 314（2022 秋广东广州高二校联考期中）如图，已知圆22:430M xxy，点1,Pt为直线:1l x 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标

40、；(2)求线段AB中点的轨迹方程；【答案】(1)直线AB的方程为350 xty，过定点5,03(2)22111(2)636xyx【分析】（1）直线AB是以PM为直径的圆和圆M的公共弦所在直线，求出直线方程即可得到定点；（2）利用几何的知识得到AB中点的轨迹，根据轨迹求方程即可【详解】（1）因为PA，PB为圆M的切线，所以90PBMPAM，设PM的中点为N，所以点A，B在以PM为直径的圆N上，又点A，B在圆M上，所以线段AB为圆N和圆M的公共弦，因为圆22:430M xxy，所以(2,0)M，29PMt，PM中点为1,2 2tN，则圆22219:224ttNxy，整理得2220 xxyty，得直

41、线AB的方程为350 xty，所以(35)0 xty，所以直线AB过定点5,03；（2）直线AB过定点5,03H，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，AB的中点设为F点，由HF始终垂直干FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，当P点在x轴上时，F点与H点的重合，M点不可能为AB的中点，则F点与M点不可能重合，由5,03H，(2,0)M，得HM的中点坐标为11,06，51233HM，所以F点的轨迹是以11,06为圆心16为半径的圆去掉点M，点F的轨迹方程为221112636xyx15（2022 秋广东江门高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点(2,2)在椭圆

42、C 上，点 F 是椭圆 C 的右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，则在 x 轴上是否存在一点 P，使得直线 l绕点 F 无论怎样转动都有0PMPNkk？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)22184xy；(2)存在，(4,0)P.【分析】（1）由题给条件列出关于 a、b、c 的方程组，解得 a、b 即可求得椭圆 C 的方程；（2）由题意可知在 x 轴上存在一点(,0)P t，使0PMPNkk成立，据此结合根与系数的关系可求解.【详解】（1）由题意得2222222421caabcab，解得：2 2,2ab所以椭圆

43、C 的方程为22184xy（2）由题意可知(2,0)F若直线 l 斜率存在，设直线 l 的方程为1122(2),yk xM x yN xy，联立得22184(2)xyyk x，整理得2222128880kxk xk由题意可知0 恒成立，所以22121222888,1212kkxxx xkk，假设在 x 轴上存在一点(,0)P t，使得 x 轴平分MPN，则0PMPNkk，所以12120yyxtxt，整理得12210yxtyxt，即1221220k xxtk xxt，整理得，12122(2)40 x xtxxt，则2222222 884 1 28(2)01 21 21 2ktkktkkk，即21

44、6401 2tk，解之得4t 若直线 l 斜率不存在时，则 M，N 两点关于 x 轴对称，当点 P 坐标为(4,0)时，x 轴平分MPN综上所述，在 x 轴上存在一点(4,0)P，使得 x 轴平分MPN16（2022 秋广东广州高二南海中学校考期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点4,0A，4,0B，M 是一个动点，且直线 AM，BM 的斜率之积是34，记 M 的轨迹为 E(1)求 E 的方程；(2)若过点2,0F且不与 x 轴重合的直线 l 与 E 交于 P，Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为1P（1P与 Q 不重合），直线1PQ与 x 轴交于点 G，求点 G 的坐标【答案】(1)

45、22101612xyy(2)8,0【分析】（1）设,M x y，则可表示出 AM，BM 的斜率，再利用其乘积为34列方程化简可得 E 的方程；（2）由题意知，过点 F 的直线 PQ 的斜率存在且不为 0，可设其方程为2xmy，设11,P x y，22,Q xy，则111,P xy，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出直线1PQ的方程，令0y，结合前面的式子化简可求出x的值，从而可得结果【详解】（1）设,M x y，则直线 AM 的斜率为4yx，直线 BM 的斜率为4yx，3444yyxx，整理得22101612xyy，故 E 的方程为22101612xyy（2）由题意知，过点

46、 F 的直线 PQ 的斜率存在且不为 0，可设其方程为2xmy，设11,P x y，22,Q xy，则111,P xy，将2xmy代入2211612xy，得223412360mymy则2212436 340mm，1221234myym，2123634y ym 则直线1PQ方程为112121yyxxyyxx，令0y，则221211211211211121212122yxxmyyymy ymymy ymyxxmyyyyyyy2122123622342281234mmy ymmyym，点 G 的坐标为8,017（2022 春广东汕头高二校考期中）已知椭圆 C：222210 xyabab过点2,1P，

47、且离心率32e(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为12，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点求PAB面积的最大值【答案】(1)22182xy(2)2【分析】（1）根据题意，列出关于 a，b 的方程，解方程可得答案；（2）设直线 l 的方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，从而求得弦长，求得点 P 到直线 l 的距离，根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.【详解】（1）22222234cabeaa，224ab,又椭圆 C：222210 xyabab过点2,1P，22411ab，28a，22b,故所求椭圆方程为22182xy;（2）设 l 的方程为12yxm，11,A

48、x y，22,B xy,联立221,21,82yxmxy得222240 xmxm,由2248160mm，解得22m,由韦达定理，得122xxm，21224x xm,则22121222)1145 4,(4ABxxx xmm 点 P 到直线 l 的距离21514mmd,2222221145 4422225PABmmmSdABmmm,当且仅当22m，即2m 时等号成立,PAB面积的最大值为 2.18（2022 春广东广州高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆2222:1(0)xyCabab的左顶点(2,0)A，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N两点，当直线lx轴时，|3MN.(1)

49、求椭圆 C 的方程；(2)记,AMFANF的面积分别为12,S S，求12SS的取值范围.【答案】(1)22143xy(2)1(,3)3【分析】（1）由顶点坐标得a，再由通径长得b，从而得椭圆方程；（2）设直线l方程为1xmy，设1122(,),(,)M x yN xy，111222ySySyy，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,yyy y，求出21212()yyy y的范围，解不等式得12yy的范围，从而得出结论（1）由已知2a，当直线lx轴时，MN是椭圆的通径，所以223ba，3b，椭圆方程为22143xy；（2）由（1）得431c，即2(1,0)F，由题意直线l斜率不可能

50、为 0，设直线l方程为1xmy，设1122(,),(,)M x yN xy，由221143xmyxy得22(34)690mymy，122634myym，122934y ym，22212112212121221()22yyyy yyyyy yy yyy222634934mmm22434mm，0m 时，121yy，121yy，0m 时，222444343mmm 4(,0)3，记12yty，显然0t，则41203tt，解得133t ，133t，综上，121(,3)3yty，所以211122221212AFySySyAFy1(,3)319（2022 春广东广州高二二师番禺附中校考期中）已知点 A 的坐