2023年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压轴小题（解析版）.docx

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1、2023年高考数学热点专题解析几何模型通关2023年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压轴小题 思路引导圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。 母题呈现类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例1】(1)(2022济南联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(xc)2y24a2，圆F2：(xc)2y2a2都内切，其中0ra，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D. (2)(2022广

2、州模拟)已知A，B分别为椭圆C：y21的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x3交于M，N两点，PMN与PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则的最小值为()A. B. C. D.【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题【针对训练】(1)(2022深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x21的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若lF2B，则等于()A42 B4 C62 D62(2)(多选)(2022德州模拟)已知椭圆C：1(0b0，b

3、0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线xa上，且满足，R.若5430，则双曲线C的离心率为()A3 B4 C5 D6(2)(2022江苏百师联盟联考)过抛物线C：x22py(p0)上点M作抛物线D：y24x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若MPQ的重心为G，则p_.【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力【针对训练】(1)（2022南京外国语学校模拟预测）已知F1(1,0)，F2(1,0)，M是

4、第一象限内的点，且满足|MF1|MF2|4，若I是MF1F2的内心，G是MF1F2的重心，记IF1F2与GF1M的面积分别为S1，S2，则()AS1S2 BS1S2CS10，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_类型3 圆锥曲线在生活中的应用【例3】(1)(2022湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，若从点F2发出

5、的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()A B C. D.(2)（2022莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()图1图2A. B. C. D.【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定

6、义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性【针对训练】(1)（2022德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x24y24，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|1，过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M，则|F1M|F2M|等于()A. B1 C13 D1(2)（2022东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦

7、净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1 B2 C3 D2.5 模拟训练1（2023陕西榆林陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（）ABCD2（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD23（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（）ABCD4（202

8、3河南统考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（）ABCD5（2023湖南模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（）ABCD6（2023广东梅州统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结

9、合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（）ABCD7（2022山东聊城统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20c

10、m，则该双曲线的离心率为（）AB2CD8（2022四川成都树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为（）ABCD9（2022湖北省直辖县级单位湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（）ABCD10（2022河北唐

11、山统考三模）阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（）A3B6CD11（多选题）（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知椭圆，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（）A若直线与的斜率分别为，则B直线与轴垂直CD12（多选题）（2023山西校联考模拟预测）过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B

12、两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（）A可能为锐角三角形B过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条C若，则的面积为D最小值为13（多选题）（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线和圆，则（）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为C当时，双曲线与圆没有公共点D当时，双曲线与圆恰有两个公共点14（多选题）（2023安徽蚌埠统考二模）球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠已知该球冠的底半径为，高为假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（）A若伞柄垂直于地面，太

13、阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆B若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆C若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为D若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为15（多选题）（2023山东淄博统考一模）已知曲线的方程为（且)，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（）A若，则为双曲线，且渐近线方程为B若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆C若点的坐标为，线段与轴垂直，则D若直线，的斜率分别为，则16（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左右

14、焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积_.17（2023湖北统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则_18（2023四川校联考模拟预测）为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，若，则到轴的距离为_.19（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为_20（2023云南玉溪统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆与抛物线的公共点，关于轴对称且位于轴右侧，则椭圆的离心率的最大值为_突破圆锥曲线压轴小题 思路引导圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方

15、程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。 母题呈现类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例1】(1)(2022济南联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(xc)2y24a2，圆F2：(xc)2y2a2都内切，其中0r0，令x3，得yM5k，yN，即M(3,5k)，N，则|MN|5k.设PMN与PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，由正弦定理得2r1，2r2，MPNAPB180，sinMPNsinAPB，当且仅当5k，即k时，

16、等号成立，即的最小值为.【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题【针对训练】(1)(2022深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x21的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若lF2B，则等于()A42 B4 C62 D62【答案】C【解析】在双曲线C中，a1，b，c，则F1(，0)，F2(，0)，因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，因为lF2B，则F1BF2为直角三角形，可得|BF1|2|BF2|2|F1F2|212，由双曲线的

17、定义可得|BF1|BF2|2，所以4(|BF1|BF2|)2|BF1|2|BF2|22|BF1|BF2|122|BF1|BF2|，可得|BF1|BF2|4，联立解得|BF2|1，因此()2(1)262.(2)(多选)(2022德州模拟)已知椭圆C：1(0b0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线xa上，且满足，R.若5430，则双曲线C的离心率为()A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】由，R，则点H在F1PF2的角平分线上，由点H在直线xa上，则点H是PF1F2的内心，由5430，由奔驰定理(已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB0)

18、知，543，即|F1F2|r|PF1|r|PF2|r543，则|F1F2|PF1|PF2|543，设|F1F2|5，|PF1|4，|PF2|3，则|F1F2|2c5，即c，|PF1|PF2|2a，即a，则e5.(2)(2022江苏百师联盟联考)过抛物线C：x22py(p0)上点M作抛物线D：y24x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若MPQ的重心为G，则p_.【答案】【解析】设M，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设过点M的直线方程为xtx0，与y24x联立得y24t4x0，即y24ty4x00，由题意知16t240，即2pt2xt2px00，则t1t2，t1t2x0(t1，t2分别表

19、示l1，l2斜率的倒数)，由于方程0，则其根为y2t，当tt1时，y12t1，当tt2时，y22t2，MPQ的重心为G，y1y22(t1t2)2，而x1x2t1x0t2x02(tt)(t1t2)2x02(t1t2)22t1t2(t1t2)2x022x02x0.x0x1x2x03，联立得p.【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力【针对训练】(1)（2022南京外国语学校模拟预测）已知F1(1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|

20、MF1|MF2|4，若I是MF1F2的内心，G是MF1F2的重心，记IF1F2与GF1M的面积分别为S1，S2，则()AS1S2 BS1S2CS1|F1F2|2，所以M的轨迹是椭圆1在第一象限内的部分，如图所示因为I是MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，所以，所以r，所以S1，又因为G是MF1F2的重心，所以OGGM12，所以，所以S1S2.(2)（2022湖北荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_【答案】【解析】设OA 所在的直线方程为yx ，则OB 所

21、在的直线方程为yx，解方程组得所以点A 的坐标为 ，抛物线的焦点F的坐标为.因为F是OAB的垂心，所以kOBkAF1 ，所以1.所以e21，解得e.类型3 圆锥曲线在生活中的应用【例3】(1)(2022湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()A B C. D.【答案】B

22、【解析】由已知可得A(x0,2)在第一象限，将点A的坐标代入双曲线方程可得x1，解得x0，所以A(，2)，又由双曲线的方程可得a1，b，所以c，则F2(，0)，所以|AF2|2，且点A，F2都在直线x上，又|OF1|OF2|，所以tanF1AF2，所以F1AF260，设F2AM的角平分线为AN，则F2AN(18060)60，所以F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150，所以直线的斜率为tan 150.(2)（2022莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的

23、钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()图1图2A. B. C. D.【答案】B【解析】若内层椭圆方程为1(ab0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为1(m1)，A(ma,0)，B(0，mb)，设切线AC为yk1(xma)，切线BD为yk2xmb，整理得(a2kb2)x22ma3kxm2a4ka2b20，由0知(2ma3k)24(a2kb2)(m2a4ka2b2)0，整理得k，同理可得k(m21)，(k1k2)2，即，故e.【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容

24、在高考占一席之地研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性【针对训练】(1)（2022德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x24y24，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|1，过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M，则|F1M|F2M|等于()A. B1 C13 D1【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得直线l平分F1PF2，因为，由|PF1|1，|PF1|PF2|4得|PF2|3，故

25、|F1M|F2M|13.(2)（2022东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2x21，y1,10，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A1 B2 C3 D2.5【答案】A【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r1)，圆的方程为x2(yr1)2r2，代入双曲线方程y2x21，得y2(r1)yr0，y1或yr，要使清洁钢球到达底部，即r1. 模拟训练1（2023陕西榆林陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点

26、分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】根据三角形两边之和大于第三边，、和共线时取等号，列出的不等式即可.【详解】，.即的最大值为故选：A.2（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD2【答案】C【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入可得b与a的关系式，再由及离心率公式可求得结果.方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.【详解】方法一：依题意，易得以为直

27、径的圆的方程为.又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.当时，如图，设，则.联立，解得或，所以，.又因为，所以轴.所以，.所以，所以.因为，所以.同理，当时，亦可得.故双曲线C的离心率为.故选：C.方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且，所以，所以，所以.故选：C.3（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方

28、程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意可知，所以所以椭圆的上焦点为，设直线的方程为，联立消去，得，所以.由题设知，所在的直线方程为.因为直线与直线相交于点，所以；同理可得.所以.因为为锐角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直线的斜率的取值范围是.故选:D.4（2023河南统考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（）ABCD【答案】B【分析】根据给定的抛物线，设出点M，N的坐标，利用求出点M，N的纵坐标和即可求解作答.【详解】依题意，点，设点，则，由得：，解

29、得，因此点Q的纵坐标为，所以Q到x轴的距离为.故选：B5（2023湖南模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.【详解】设，则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点

30、中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.6（2023广东梅州统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，即，则，则，即可得出双曲线的离心率为.【详解】双曲线（，）的渐近线的方程为，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，则，则，则该双曲线的离心率为，故选：D.7（2

31、022山东聊城统考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解【详解】设双曲线的标准方程为，则由题意最小横截面的

32、直径为20cm，可知，设点，则解得，所以，故选：D8（2022四川成都树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B【分析】设，根据题意可得，求得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出、的关系，求得离心率【详解】连接、，易知、共线，、共线，设，所以，由勾股定理可得，由双曲线的定义可

33、得，即，解得，因为，由勾股定理可得，即，即，.故选：B.9（2022湖北省直辖县级单位湖北省天门中学校考模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（）ABCD【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距，根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出,在中根据余弦定理可得到的值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义，设，则在中由余弦定理得，化简，该式变成.故选：C.10（2022河北唐山统考三模）阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积当我们垂直地缩小一个

34、圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（）A3B6CD【答案】B【分析】由题意得到方程组和，即可解出a、b，求出长轴长.【详解】椭圆的面积，即.因为点P为椭圆C的上项点，所以.因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：联立解得：.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选：B11（多选题）（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知椭圆，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合

35、，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（）A若直线与的斜率分别为，则B直线与轴垂直CD【答案】ABC【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.【详解】如图，设，则，故A正确；直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，故选：ABC.12（多选题）（2023山西校联考模拟预测）过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（）A可能为锐角三角形B过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线

36、有2条C若，则的面积为D最小值为【答案】CD【分析】对于A：联立直线AB与抛物线的方程，由韦达定理得，从而得到，由此判断即可；对于B：判断得点在抛物线外，由此得以判断；对于C：利用抛物线的定义可求得，进而求得，从而根据即可判断；对于D：利用抛物线的定义得到，从而利用基本不等式即可判断.【详解】对于A：因为抛物线C：的焦点为F，所以，设，AB方程为，由，得，所以，故，所以AOB为钝角，故A错误；对于B：因为对于，当时，所以在抛物线外，显然过与抛物线C相切的直线有2条，当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；对于C：当时，设，则，即，不妨设，此时，故AB方程为，联立抛物线C：，解得，所以，故C正确；对于D：由选项A知，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确故选：CD13（多选题）（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知双曲线和圆，则（）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为